球体与棱柱的切接问题

前言

球体与正三棱柱

• 正三棱柱不一定有内切球和棱切球，但一定有外接球。正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点，

关键关系：正三棱柱的高为 \(h\)，正三棱柱的底面外接圆的半径 \(r\) 与球的半径 \(R\) 之间的关系为 \((\cfrac{h}{2})^2+r^2=R^2\) .

球体与直棱柱

• 直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点。如下图直三棱柱的外接球的球心 \(O\) 应该是上下底面三角形外心 \(O'\) 与 \(O''\) 连线的中点 .

关键关系：直三棱柱的高为 \(h\)，直三棱柱的底面外接圆的半径 \(r\) 与球的半径 \(R\) 之间的关系为 \((\cfrac{h}{2})^2+r^2=R^2\) .

典型例题

【2024级高一数学训练题】已知体积为 \(\cfrac{4\pi}{3}\) 的球 \(O_1\) 与正三棱柱 \(ABC-A_1B_1C_1\) 的所有面都相切，则三棱柱 \(ABC-A_1B_1C_1\) 外接球的表面积为 【\(\qquad\)】

$A.24\pi$ $B.20\pi$ $C.16\pi$ $D.12\pi$

解：由题可知，正三棱柱的内切球的半径为 \(1\)，如图可知，正三棱柱的高等于球的直径，故正三棱柱的高为 \(h=2\)，点 \(O\) 既是正三棱柱的内切球的球心，也是正三棱柱的外接球的球心，点 \(M\) 是正三棱柱的下底面的外接圆的圆心，故 \(r\)\(=\)\(BM\)\(=\)\(2\)，

则由 \((\cfrac{h}{2})^2+r^2=R^2\) 可知，正三棱柱的外接球的半径 \(R=\sqrt{5}\)，故外接球的表面积为 \(4\pi R^2=20\pi\)，故选 \(B\) .