正六面体教会我们什么 | 解题经验
梳理总结从正方体中得到的解题经验
前言
正六面体，也就是正方体，是我们从小学和初中就学习的数学素材，高中阶段的深入学习中也多次研究这个重要素材。编辑中。。。
经验总结
➊ 依托正方体研究、理解棱柱、棱锥、棱台的结构特征；
➋正六面体中的正四面体，正八面体，[涉及补体]
➌正方体中的内切球、棱切球、外接球；
➍确定基向量，来表示空间中的所有向量；
➎建立空间直角坐标系，用坐标刻画空间中的所有向量，比如直线的方向向量，平面的法向量
➏依托正方体研究点线、线线、线面、面面的位置关系；
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线面平行：与 \(AA_1\) 平行的平面是平面 \(DCC_1D_1\)，平面 \(BCC_1B_1\)， 平面 \(BDD_1B_1\)；
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面面平行：平面 \(A_1CD//ACB_1\)，
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线线垂直：体对角线[如 \(B_1D\) ]垂直于和它不共顶点的 6 条面对角线[如 \(AD_1\)，\(D_1C\)， \(AC\)，\(A_1C_1\)， \(A_1B\)，\(C_1B\)，]；
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线面垂直：直线 \(BD_1\perp\) 平面 \(A_1CD\)，直线 \(BD_1\perp\) 平面 \(ACB_1\)，
➐等面积法，等体积法
➑
➒
➓
典例剖析
解析：由于容易发现 \(BC_1//AD_1\)，故当点 \(P\) 在面对角线 \(BC_1\) 上运动时，点 \(P\) 到平面 \(AD_1C\) 的距离应该是定值，再结合下底面 \(AD_1C\) 的面积固定，则可知三棱锥 \(P-AD_1C\) 的体积不变，即三棱锥 \(A-D_1PC\) 的体积不变，故①正确；
证明②的正确的思路比较多：其一，连接\(A_1B\)，\(A_1C_1\)，则容易知道平面 \(AD_1C//\) 平面 \(A_1BC_1\)，故当点 \(P\) 在面对角线 \(BC_1\) 上运动时，直线 \(A_1P\subset\) 平面 \(BA_1C_1\)，故 \(A_1P//\) 平面 \(ACD_1\)；其二，特殊位置法，分别让点 \(P\) 移动到点 \(B\) 和点 \(C_1\)，在这两个特殊位置时都可以说明 \(A_1P//\) 平面 \(ACD_1\)，这样猜想当点 \(P\) 移动到其他位置时，一定有 \(A_1P//\) 平面 \(ACD_1\)；其三，在平面 \(AD_1C\) 中如何找这样的直线，过点 \(C\) 在平面 \(AD_1C\) 中做 \(CV//A_1P\)，连接 \(A_1V\)，则四边形 \(A_1PCV\) 是平行四边形，故一定有 \(A_1P//\) 平面 \(ACD_1\)；故 ②正确；
对于③，采用特殊位置法，当点 \(P\) 移动到点 \(B\) 和点 \(C_1\)，\(DP\) 和 \(BC_1\) 都是面对角线，如果再连接 \(C_1D\)(或 \(BD\))，则 \(DP\) 和 \(BC_1\) 的夹角为 \(60^{\circ}\)，故③错误；
对于④，我们已经积累了体对角线 \(B_1D\perp\) 平面 \(AD_1C\)，又 \(B_1D\subset\) 平面 \(PDB_1\)，则平面 \(PDB_1\perp\) 平面 \(ACD_1\)，故 ④正确，
综上所述， ①②④ 正确；
