球体与正六面体[正方体]切接

前言

当两个非常特殊的多面体 [正六面体] 和旋转体 [球] 邂逅，会发生许多有趣的故事。

给定一个棱长为 \(a\) 的正方体[即正六面体]，则其面对角线长为\(\sqrt{2}a\)，其体对角线长为\(\sqrt{3}a\)；且正六面体棱长、面对角线、体对角线三者之比为\(1\)\(\;:\;\)\(\sqrt{2}\)\(\;:\;\)\(\sqrt{3}\)；
设正方体的棱长为 \(a\)，则内切球的半径\(R_{内}=\cfrac{a}{2}\)；棱切球的半径\(R_{棱}=\cfrac{\sqrt{2}a}{2}\)；外接球的半径\(R_{外}=\cfrac{\sqrt{3}a}{2}\)；且内切球半径 \(R_{内}\)、棱切球半径\(R_{棱}\)、外接球半径\(R_{外}\) 三者之比为 \(1\)\(\;:\;\)\(\sqrt{2}\)\(\;:\;\)\(\sqrt{3}\)；
相关计算和说明：正方体棱长为 \(a\)，点 \(O\) 为正六面体的中心，则内切球的半径\(R_{内}\)\(=\)\(OF\)\(=\)\(\cfrac{a}{2}\)；棱切球的半径\(R_{棱}\)\(=\)\(OG\)\(=\)\(\cfrac{\sqrt{2}a}{2}\)；外接球的半径\(R_{外}\)\(=\)\(OC\)\(=\)\(\cfrac{\sqrt{3}a}{2}\)；

正方体与各条棱相切的球的半径\(R_{棱}=\cfrac{\sqrt{2}a}{2}=OG\)；

正方体的外接球的半径\(R_{外}=\cfrac{\sqrt{3}a}{2}=OC_1\)；

【人教 2019A 版教材\(P_{119}\) 页练习第3题】将一个棱长为 \(6\) \(cm\) 的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积 .

提示：可以转化为正方体的内切球问题，设内切球的半径为 \(R\)，则 \(2R=6\)，即 \(R=3\) ，

故 \(V_{\max}=V_{内切球}=\cfrac{4}{3}\pi R^3=36\pi\) \(cm^3\) .

【人教 2019A 版教材\(P_{120}\) 页习题8.3复习巩固第5题】一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是 \(a\) \(cm\)，求球的体积。

提示：可以转化为正方体的外接球问题，设外接球的半径为 \(R\)，则 \(R=\cfrac{\sqrt{3}a}{2}\)，

故 \(V_{外接球}=\cfrac{4}{3}\pi R^3=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\pi a^3\) \(cm^3\) .