正五边形画法 | 尺规作图

前言

正五边形的尺规作图方法在初中是个很经典的题目。

网络画板演示尺规作图

GeoGebra演示尺规作图

尺规作图原理说明

法1：首先计算一个要用到的函数值， \(\sin 18^{\circ}=\cos 72^{\circ}=\cfrac{\sqrt{5}-1}{4}\)，具体过程详解如下：

由三倍角公式，\(sin3\theta=3sin\theta cos^2\theta-sin^3\theta\)，二倍角公式 \(cos2\theta=cos^2\theta-sin^2\theta\)，

又由 \(\sin54^{\circ}=\cos36^{\circ}\)，即 \(\sin3\times18^{\circ}=\cos2\times18^{\circ}\)

即得 \(3sin18^{\circ}cos^218^{\circ}-sin^318^{\circ}=cos^218^{\circ}-sin^218^{\circ}\).

整理得到，\(4sin^318^{\circ}-2sin^218^{\circ}-3sin18^{\circ}+1=0\)，

用 试商法 尝试分解\(x=1\)为其一个根，

故可以分解为\((sin18^{\circ}-1)(4sin^218^{\circ}+2sin18^{\circ}-1)=0\)，

\(sin18^{\circ}=1\)舍去，由\(4sin^218^{\circ}+2sin18^{\circ}-1=0\)，

得到\(sin18^{\circ}=\cfrac{-2\pm \sqrt{4+4\times4}}{2\times 4}=\cfrac{-1\pm \sqrt{5}}{4}\)，

舍去负值，得到\(sin18^{\circ}=\cos72^{\circ}=\cfrac{\sqrt{5}-1}{4}\) .

其次、为说明按照上述的方法做出来的是正五边形，我们只要重点说明\(\angle DOE\)\(=\)\(72^{\circ}\)，也就是其余弦值为 \(\cos72^{\circ}\)\(=\)\(\cfrac{\sqrt{5}-1}{4}\)即可 .

令上图中圆的半径为 \(r=2\)，则 \(OB=1\)， \(OD=2\)， 则 \(BD=\sqrt{5}\)，则 \(BC=\sqrt{5}\)，则 \(CO=\sqrt{5}-1\)，由勾股定理可知，\(CD\)\(=\)\(\sqrt{10-2\sqrt{5}}\)\(=\)\(DE\)，在\(\triangle DOE\) 中，\(OD=OE=2\)，\(DE\)\(=\)\(\sqrt{10-2\sqrt{5}}\)，则由余弦定理可知，

\(\cos\angle DOE=\cfrac{OD^2+OE^2-DE^2}{2\times OD\times OE}=\cfrac{4+4-(10-2\sqrt{5})}{2\times2\times2}=\cfrac{\sqrt{5}-1}{4}\)

即 \(\angle DOE=72^{\circ}\)，故按照上述的方法做出来的是正五边形 .

高斯单位根法

先说做法的结论：在 \(x\) 上找到点 \(D(\cfrac{\sqrt{5}-1}{4},0)\)，过点 \(D\) 作 \(x\) 轴的垂线与单位圆交于一点，这点到单位圆与 \(x\) 轴交点的距离就是正五边形的边长，以此边长在单位圆上按逆时针顺次求得交点，这些点就是正五边形的端点。

原理说明：在复平面内，假设这个单位圆内的正五边形已经做好了，如上图所示，标记第一个点对应的复数为 \(r\)\(=\)\(x\)\(+\)\(yi\)，其他四个顶点对应的复数分别为 \(r^2\)，\(r^3\)，\(r^4\)，\(r^5\)，其中\(r^5=1\)，这五个复数就是复数方程 \(z^5=1\) 的五个根^[1]，我们叫它们为五次单位根。这些单位根不多不少只五个，且它们的模都为 \(1\) .这五个单位根所表示的点把单位圆五等分 . 其中有一个根位于正实轴上。这五个单位根之间有一个关系，\(1+r+r^2+r^3+r^4=0\)，且 \(r\) 与 \(r^4\) 是共轭复数， \(r^2\) 与 \(r^3\) 也是共轭复数 . 下面来求解 \(x\)，

设 \(A=r+r^4\)， \(B=r^2+r^3\)，则有(\(A=r+r^4>0\)， \(B=r^2+r^3<0\))，

且有 \(A+B=-1\)，和 \(AB=(r+r^4)(r^2+r^3)=r^3+r^4+r^6+r^7=r^3+r^4+r+r^2=-1\)，

则由韦达定理可知， \(A\) 和 \(B\) 是方程 \(X^2+X-1=0\)的两个实数根，

用求根公式可知 \(A=\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}\)，\(B=\cfrac{-\sqrt{5}-1}{2}\)，

而 \(A=r+r^4=(x+yi)+(x-yi)=2x\)，故 \(x=\cfrac{A}{2}=\cfrac{\sqrt{5}-1}{4}\) . 参考

高阶延伸

• 正五边形的迭代，只限定5次迭代，电脑就有点吃不消了。

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1. 更多详细内容，请参见人教2019A版教材 \(P_{91}\)页探究与发现 “1的\(n\)次方根” . ↩︎