棱柱棱锥棱台 | 概念释疑

公式定理💯随心记

【线面平行的性质定理】文字语言：如果一条直线 $l$ 与一个平面 $\alpha$ 平行，经过这条直线的平面 $\beta$ 和这个平面 $\alpha$ 相交，那么这条直线 $l$ 和交线平行。符号语言：$\begin {gather*} l//\alpha\\l\subsetneqq\beta\\\alpha\cap\beta=n\end {gather*}\Bigg\}\Longrightarrow l//n$，简称为 “线面平行，则线线平行”。

---

前言

当你学习了棱柱、棱锥、棱台后，你会发现有许多容易出错的地方，那么如何才能避免出现错误呢，唯有认真研读理解数学概念的内涵和外延。因为数学概念都是充要条件，严格解读、理解数学概念，往往能廓清概念理解中的模糊认知。

转化与统一

概念释疑

✍️ 正三棱锥的底面是正三角形，侧面是等腰三角形，但其逆命题不成立。底面是正三角形，侧面是等腰三角形的三棱锥不是正三棱锥。

如上图所示，满足命题的条件，但它不是正三棱锥。我们可以保证 $\triangle ABC$ 为等边三角形，一般我们都容易认为侧面三角形的等腰是条件 $SA=SB$，$SB=SC$，这样容易认为这是个真命题，但其实也可以 $AB=AS$，$AC=AS$，$SB=SC$，故原命题是假命题。

✍️ 由棱台的定义可知，棱台的两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，但其逆命题不成立。比如，两个底面平行且相似，其余各面都是等腰梯形的多面体是棱台。这是错误的，反例如下图。棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台。

四边形 $ABCD$ 和四边形 $EFGH$ 可以是旋转后相似，其侧棱延长线不一定交于一点。

✍️ 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱；棱柱的定义中有三个条件。

✍️ 各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥一定是正棱锥。错误；各个面都是三角形的几何体是三棱锥，错误；反例图如下 (比如三角楔子)。

✍️ 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形才是棱锥。

✍️ 一个几何体由 7 个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其他各面都是全等的矩形，则这个几何体是正五棱柱。

错误，只能是直五棱柱。依托正五棱柱来理解，将正五棱柱从侧面压扁，也满足题意，但下底面显然已经不是正五边形 [正五边形要求五边相等且五个内角都相等] 了。注意，三边相等的三角形是正三角形，但四边相等的四边形不一定是正方形，可能只是菱形，五边相等的五边形不一定是正五边形 [从某一个顶点出发压扁就不是正五边形了]。引申： $n$ 边相等的 $n$ 边形不一定是正 $n$ 边形。

✍️ 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥。[或如果一个棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，那么这个棱锥可能为六棱锥。]

错误，因为只有正六棱锥的顶点落在底面内，才能满足各个侧面都是等边三角形，此时这个多面体已经塌缩为平面图形了。如上图所示，当点 $S$ 落在底面正六边形的中心 $O$ 的位置时，才满足各个侧面都是等边三角形，但此时已经不是多面体了，而是平面图形了。故这个棱锥不可能为六棱锥。

✍️ 棱柱的各条棱都相等。

错误，棱柱的各条侧棱都相等，但是棱柱的各条棱不一定都相等。底面的边也叫棱，但是不叫侧棱。

✍️ 面数最少的棱柱为三棱柱，共有 5 个面，正确；一个多面体最少有 4 个面，此时这个多面体是三棱锥 (四面体) ， 正确；

四棱柱的演化

四棱柱 $\Rightarrow$ 平行六面体 $\Rightarrow$ 直平行六面体 $\Rightarrow$ 长方体 $\Rightarrow$ 正四棱柱 $\Rightarrow$ 正方体

（1）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱； 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；

（2）平行六面体：六个面都是平行四边形； 直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体； 长方体：底面是矩形的直棱柱； 正四棱柱：底面是正方形的直棱柱； 正方体：侧棱和底面边长相等的正四棱柱；

（3）正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心；正四面体：各棱长均相等的正三棱锥.

三棱锥的演化

典例剖析

【人教 2019A 版教材 $P_{169}$ 页复习参考题 8 第 1 题】【欧拉公式】从多面体的角度去考察棱柱、棱锥、棱台，填写下列表格：

多面体	顶点数 $V$	棱数 $E$	面数 $F$	$V$$+$$F$$-$$E$
三棱柱	$6$	$9$	$5$	$2$
四棱柱	$8$	$12$	$6$	$2$
$n$ 棱柱	$2n$	$3n$	$n+2$	$2$
三棱锥	$4$	$6$	$4$	$2$
四棱锥	$5$	$8$	$5$	$2$
$n$ 棱锥	$n+1$	$2n$	$n+1$	$2$
三棱台	$6$	$9$	$5$	$2$
四棱台	$8$	$12$	$6$	$2$
$n$ 棱台	$2n$	$3n$	$n+2$	$2$

备注：多面体的棱包括多面体的侧棱和非侧棱两类 .