棱柱棱锥棱台 | 概念释疑
前言
当你学习了棱柱、棱锥、棱台后,你会发现有许多容易出错的地方,那么如何才能避免出现错误呢,唯有认真研读理解数学概念的内涵和外延。因为数学概念都是充要条件,严格解读、理解数学概念,往往能廓清概念理解中的模糊认知。
转化与统一
概念释疑
✍️ 正三棱锥的底面是正三角形,侧面是等腰三角形,但其逆命题不成立。底面是正三角形,侧面是等腰三角形的三棱锥不是正三棱锥。
如上图所示,满足命题的条件,但它不是正三棱锥。我们可以保证 \(\triangle ABC\) 为等边三角形,一般我们都容易认为侧面三角形的等腰是条件 \(SA=SB\),\(SB=SC\),这样容易认为这是个真命题,但其实也可以 \(AB=AS\),\(AC=AS\),\(SB=SC\),故原命题是假命题。
✍️ 由棱台的定义可知,棱台的两个底面平行且相似,其余各面都是梯形,但其逆命题不成立。比如,两个底面平行且相似,其余各面都是等腰梯形的多面体是棱台。这是错误的,反例如下图。棱台中各侧棱延长后必相交于一点,否则不是棱台。
四边形 \(ABCD\) 和四边形 \(EFGH\) 可以是旋转后相似,其侧棱延长线不一定交于一点。
✍️ 有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱;棱柱的定义中有三个条件。
✍️ 各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥一定是正棱锥。错误;各个面都是三角形的几何体是三棱锥,错误;反例图如下(比如三角楔子)。
✍️ 有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥,必须强调其余各面是共顶点的三角形才是棱锥。
✍️ 一个几何体由7个面围成,其中两个面是互相平行且全等的五边形,其他各面都是全等的矩形,则这个几何体是正五棱柱。
错误,只能是直五棱柱。依托正五棱柱来理解,将正五棱柱从侧面压扁,也满足题意,但下底面显然已经不是正五边形[正五边形要求五边相等且五个内角都相等]了。注意,三边相等的三角形是正三角形,但四边相等的四边形不一定是正方形,可能只是菱形,五边相等的五边形不一定是正五边形[从某一个顶点出发压扁就不是正五边形了]。引申: \(n\) 边相等的 \(n\) 边形不一定是正 \(n\) 边形。
✍️ 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形,那么这个棱锥可能为六棱锥。[或如果一个棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,那么这个棱锥可能为六棱锥。]
错误,因为只有正六棱锥的顶点落在底面内,才能满足各个侧面都是等边三角形,此时这个多面体已经塌缩为平面图形了。如上图所示,当点 \(S\) 落在底面正六边形的中心 \(O\) 的位置时,才满足各个侧面都是等边三角形,但此时已经不是多面体了,而是平面图形了。故这个棱锥不可能为六棱锥。
✍️ 棱柱的各条棱都相等。
错误,棱柱的各条侧棱都相等,但是棱柱的各条棱不一定都相等。底面的边也叫棱,但是不叫侧棱。
✍️ 面数最少的棱柱为三棱柱,共有5个面,正确;一个多面体最少有 4 个面,此时这个多面体是三棱锥(四面体) , 正确;
四棱柱的演化
四棱柱 \(\Rightarrow\) 平行六面体 \(\Rightarrow\) 直平行六面体 \(\Rightarrow\) 长方体 \(\Rightarrow\) 正四棱柱 \(\Rightarrow\) 正方体
(1)直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱; 正棱柱:底面是正多边形的直棱柱;
(2)平行六面体:六个面都是平行四边形; 直平行六面体:侧棱垂直于底面的平行六面体; 长方体:底面是矩形的直棱柱; 正四棱柱:底面是正方形的直棱柱; 正方体:侧棱和底面边长相等的正四棱柱;
(3)正棱锥:底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心;正四面体:各棱长均相等的正三棱锥.
三棱锥的演化
典例剖析
多面体 | 顶点数\(V\) | 棱数\(E\) | 面数\(F\) | \(V\)\(+\)\(F\)\(-\)\(E\) |
---|---|---|---|---|
三棱柱 | \(6\) | \(9\) | \(5\) | \(2\) |
四棱柱 | \(8\) | \(12\) | \(6\) | \(2\) |
\(n\)棱柱 | \(2n\) | \(3n\) | \(n+2\) | \(2\) |
三棱锥 | \(4\) | \(6\) | \(4\) | \(2\) |
四棱锥 | \(5\) | \(8\) | \(5\) | \(2\) |
\(n\)棱锥 | \(n+1\) | \(2n\) | \(n+1\) | \(2\) |
三棱台 | \(6\) | \(9\) | \(5\) | \(2\) |
四棱台 | \(8\) | \(12\) | \(6\) | \(2\) |
\(n\)棱台 | \(2n\) | \(3n\) | \(n+2\) | \(2\) |
备注:多面体的棱包括多面体的侧棱和非侧棱两类 .