平面向量共线|共面基本定理

前言

有了平面向量基本定理的加持，向量之间的各种运算慢慢就脱离形的运算，进入到对应系数的运算，等到将所选定的基底向量正交化+单位化后，对应系数的运算就变成了对应坐标的运算，使得运算变得越来越简单。

\[\require{AMScd} \begin{CD} 向量从形上思考运算 @>{加持 平面向量基本定理}>> 向量从数上思考运算 \end{CD} \]

共线定理

• 平面向量共线基本定理内容：【一维空间，直线】

向量 \(\vec{a}\) (\(\vec{a}\neq \vec{0}\)) 与 \(\vec{b}\) 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 \(\lambda\) ，使得 \(\vec{b}=\lambda\vec{a}\) .

共面定理

• 平面向量共面基本定理内容：【二维空间，平面】

如果 \(\vec{e_1}\)，\(\vec{e_2}\) 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 \(\vec{a}\)，有且只有一对实数 \(\lambda_1\)，\(\lambda_2\)，使得 \(\vec{a}=\lambda_1\vec{e_1}+\lambda_2\vec{e_2}\) . ^[1]

图形说明：\(\overrightarrow{OC}\)\(=\)\(\lambda\cdot\overrightarrow{OA}\)\(+\)\(\mu\cdot\overrightarrow{OB}\)，用 \(\overrightarrow{OA}\) 和 \(\overrightarrow{OB}\) 为基向量，其线性表示可以刻画此平面内的所有向量。

引申思考

✍️ 在立体几何中，我们学习面面平行的判定定理时知道，如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行， 但是并没有定理： 如果一个平面内的两条平行直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，这是为什么？

两条相交直线和两条平行直线都可以确定一个平面。为什么可以利用两条相交直线判定两个平面平行，而不能利用两条平行直线呢? 原因可以用平面向量基本定理来解释，选取平面内的两条相交直线对应的向量后，以它们为基底，就可以刻画这个平面内的所有直线，这样一个平面内的所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面自然就是平行的。

✍️ 在立体几何中，我们学习线面垂直的判定定理时知道，如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直， 但是并没有定理： 如果一条直线与一个平面内的两条平行直线垂直，那么该直线与此平面垂直，这是为什么？

两条相交直线和两条平行直线都可以确定一个平面。那么为什么可以利用一条直线和两条相交直线垂直来判定线面垂直，而不能利用一条直线和两条平行直线垂直来判定呢? 原因可以用平面向量基本定理来解释，选取平面内的两条相交直线对应的向量后，以它们为基底，就可以刻画这个平面内的所有直线，这样一个平面内的所有直线都和这条直线垂直，那么这条直线和这个平面自然就是垂直的。

如图所示，四边形 \(ABCD\) 是正方形，\(M\)，\(N\) 分别是 \(BC\)、\(DC\) 的中点，若 \(\overrightarrow{AB}\)\(=\)\(\lambda\overrightarrow{AM}\)\(+\)\(\mu\overrightarrow{AN}\)，\(\lambda\)、\(\mu\in R\)，则 \(2\lambda-\mu\) 的值为 【\(\qquad\)】

$A.\cfrac{4}{3}$ $B.\cfrac{5}{2}$ $C.-\cfrac{2}{3}$ $D.\cfrac{10}{3}$

解：如果我们取基底为 \(\{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\}\)，则 \(\overrightarrow{AB}\)\(=\)\(1\times\overrightarrow{AB}\)\(+\)\(0\times\overrightarrow{AD}\)，

又由于\(\overrightarrow{AM}\)\(=\)\(\overrightarrow{AB}\)\(+\)\(\overrightarrow{BM}\)\(=\)\(\overrightarrow{AB}\)\(+\)\(\cfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\)，

同理，\(\overrightarrow{AN}\)\(=\)\(\overrightarrow{AD}\)\(+\)\(\overrightarrow{DN}\)\(=\)\(\overrightarrow{AD}\)\(+\)\(\cfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)，

故 \(\lambda\overrightarrow{AM}\)\(+\)\(\mu\overrightarrow{AM}\)\(=\)\((\lambda+\cfrac{\mu}{2})\overrightarrow{AB}\)\(+\)\((\cfrac{\lambda}{2}+\mu)\overrightarrow{AD}\)\(=\)\(1\times\overrightarrow{AB}\)\(+\)\(0\times\overrightarrow{AD}\)，

则 \(\lambda+\cfrac{\mu}{2}=1\)，\(\cfrac{\lambda}{2}+\mu=0\)，联立方程组解得，\(\lambda=\cfrac{4}{3}\)，\(\mu=-\cfrac{2}{3}\)

故 \(2\lambda-\mu=\cfrac{10}{3}\) ，故选 \(D\) .

【2024高一数学训练题】已知 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 是单位向量，且 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，设向量 \(\vec{c}=x\vec{a}+y\vec{b}\)，当 \(x=y=1\) 时，向量的夹角 \(<\vec{c},\vec{a}>\)=\(\rule[-0.3em]{100px}{1px}\); 当 \(x+y\)\(=\)\(3\) 时，\(|\vec{c}\)\(-\)\(\vec{a}|\) 的最小值=\(\rule[-0.3em]{100px}{1px}\); 当 \(2x+3y=15\)时，\(|\vec{c}-\vec{a}|\) 的最小值=\(\rule[-0.3em]{100px}{1px}\)；

解析：本题目的第一问，建立正交系，由向量的平行四边形法则可知 \(<\vec{c},\vec{a}>=45^{\circ}\)，

法1： 难点是第二问，求 \(|\vec{c}\)\(-\)\(\vec{a}|\) 的最小值，利用数形结合法，由课件可以看出由于 \(\vec{c}=x\vec{a}+y\vec{b}\)， \(x+y\) \(=\) \(3\) ，则 向量 \(\vec{c}\) 的终点应该在直线 \(x+y\) \(=\) \(3\) 上，故向量 \(\vec{c}\) 可以正交分解为向量 \(x\vec{a}\) 与 \(y\vec{b}\) 的和向量，这样向量 \(\vec{c}-\vec{a}\) 即为向量 \(\overrightarrow{AC}\)，故 \(|\vec{c}-\vec{a}|\) 即向量的模 \(|\overrightarrow{AC}|\) 的大小，又可以转化为定点 \(A\) 到直线 \(x+y\) \(=\) \(3\) 的距离，很显然此时垂线段最短，即 \(|\vec{c}-\vec{a}|\) 的最小值即点 \(A\) 到直线 \(x+y=3\) 的距离；高一如果没有学习点到直线的距离公式，可以利用等腰直角三角形来计算，结果是 \(\sqrt{2}\) . 等到学习了点到直线的距离公式，就可以运算更一般的情形，比如第三问 .

法2：直接计算，\(|\vec{c}-\vec{a}|\) 先平方再开方，利用函数求最小值；由题可知，\(y=3-x\)，\(x\in [0,3]\)，

\(|\vec{c}-\vec{a}|^2=|x\vec{a}+y\vec{b}-\vec{a}|^2=|(x-1)\vec{a}+(3-x)\vec{b}|^2=(x-1)^2+(3-x)^2=2(x-2)^2+2\)，

故当 \(x=2\) 时，\(|\vec{c}\)\(-\)\(\vec{a}|\) 的最小值为 \(\sqrt{2}\) .

反思：第三问也可以用同样的方法计算 .

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1. 基底的选定不唯一，必须不共线，即都不是零向量，若称这一对有序实数对为系数，那么选定的基底不一样，则系数不一样。 ↩︎