函数 $f(x)$$=$$\log_x{(x+1)}$ 的单调性探究

前言

本博文就一个主题，探究函数 $f(x)$$=$$\log_x{(x+1)}$ 的单调性。

由底数 $x>0$ 且 $x\neq 1$ 且 $x+1>0$，可以得到该函数的定义域为 $(0,1)\cup(1,+\infty)$，用电脑验证单调递减区间是 $(0,1)$ 和 $(1,+\infty)$，如果不用电脑我们那么该如何探究呢？

将函数作变形，则 $f(x)=\log_x{(x\cdot\cfrac{x+1}{x})}=\log_xx+\log_x\cfrac{x+1}{x}=1+\log_x{(1+\cfrac{1}{x})}$，

(1). 先在定义域 $(1,+\infty)$上作探究：

令 $u=1+\cfrac{1}{x}$，则内函数 $u=1+\cfrac{1}{x}$在 $(1,+\infty)$上单调递减，外函数 $f(x)=\log_xu$ 由于底数 $x>1$ 而单调递增，

故复合函数 $y=\log_x{(1+\cfrac{1}{x})}$ 在 $(1,+\infty)$上单调递减，则 $y=1+\log_x{(1+\cfrac{1}{x})}$在 $(1,+\infty)$上单调递减，

即 $f(x)=\log_x{(x+1)}$ 在 $(1,+\infty)$上单调递减，和电脑的演示效果一致。应用

(2). 后在定义域 $(0,1)$上作探究：

此时，内函数 $u=1+\cfrac{1}{x}$在 $(0,1)$上单调递减，外函数 $f(x)=\log_xu$ 由于底数 $0<x<1$ 而单调递减，

故复合函数 $y=\log_x{(1+\cfrac{1}{x})}$ 在 $(0,1)$上单调递增，则 $y=1+\log_x{(1+\cfrac{1}{x})}$在 $(0,1)$上单调递增，

即 $f(x)=\log_x{(x+1)}$ 在 $(0,1)$上单调递增，但是和电脑的演示效果不一致。哪里出了问题呢?

$f(x)=\log_x{(x+1)}=\cfrac{\lg(x+1)}{\lg x}$

但 $x\in(0,1)$ 时，$y=\lg(x+1)>0$ 且单调递增，$y=\lg x<0$ 且单调递增，问题出在为负上。有空再探究。

$f(x)=\log_x(x+1)=\cfrac{\ln(x+1)}{\ln{x}}$，该函数的定义域为 $(0,1)\cup(1,+\infty)$，

$f'(x)=[\cfrac{\ln(x+1)}{\ln{x}}]'=\cfrac{x\ln{x}-(x+1)\cdot\ln(x+1)}{x\cdot(x+1)\ln^2{x}}$

令 $g(x)=x\cdot\ln x$，则 $g'(x)=\ln x+1$，

令 $g'(x)>0$，$x\in(\cfrac{1}{e},1)\cup(1,+\infty)$，令 $g'(x)<0$，$x\in(0,\cfrac{1}{e})$，

即 $g(x)$ 在 $(0,\cfrac{1}{e})$ 上单调递减，在 $(\cfrac{1}{e},+\infty)$ 上单调递增，

又 $g(\cfrac{1}{e})=-\cfrac{1}{e}$，故作出图象，如图所示

当 $x\in(0,1)$ 时，$g(x)-g(x+1)<0$，即 $\cfrac{x\ln{x}-(x+1)\cdot\ln(x+1)}{x\cdot(x+1)\ln^2{x}}<0$，$f'(x)<0$，故 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，

当 $x\in(1,+\infty)$ 时，$g(x)-g(x+1)<0$，即 $\cfrac{x\ln{x}-(x+1)\cdot\ln(x+1)}{x\cdot(x+1)\ln^2{x}}<0$，$f'(x)<0$，故 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递减，

综上可知，函数的单调递减区间是 $(0,1)$ 和 $(1,+\infty)$ .