角的终边所在位置的刻画
详细说明三角函数章节中的角的终边所在位置的刻画，或许你会不再糊涂。
前言
糊涂从三角函数开始。
刻画工具
和 \(\theta\) 角终边相同的角的集合为：
✍️射线角
- 引例，和 \(30^{\circ}\) 角的终边相同的角，有无穷多个，比如\(30^{\circ}+360^{\circ}=390^{\circ}\)，\(30^{\circ}+2\cdot360^{\circ}=750^{\circ}\)，\(30^{\circ}-360^{\circ}=-330^{\circ}\)，\(30^{\circ}-2\cdot 360^{\circ}=-690^{\circ}\)，等等，我们可以用一个集合来刻画：此时需要选一个基准角，本着简单的原则，它的范围一般是 \([0^{\circ}，360^{\circ})\)，或者 \([-180^{\circ}，180^{\circ})\) . 那我们选基准角为 \(30^{\circ}\)，其他的角度数不同于 \(30^{\circ}\) 的角，我们通过添加 \(k\cdot360^{\circ}\) 来刻画，即所加的\(k\cdot360^{\circ}\)起旋转作用。这样就能刻画所有和 \(30^{\circ}\) 角的终边相同的角，它们用集合刻画为：
\(\{\beta\mid\beta=30^{\circ}+k\cdot360^{\circ},k\in Z\}\)，或者 \(\{\beta\mid\beta=-330^{\circ}+k\cdot360^{\circ},k\in Z\}\)，等等，很显然，这种刻画是不唯一的，但其中总有一个我们认为简单的表达，比如第一种，因为这种表达我们通过基准角一眼就能看出来它所在的象限；
由于以上的无穷多个角的终边都在同一条射线上[即在 \(30^{\circ}\) 角的终边所在的射线上]，为了和后续的角区分，不妨称为射线角；
应用1：角的终边在 \(x\) 轴非负半轴上；[基准角为 \(0^{\circ}\)]：
\(\{\beta\mid\beta=0^{\circ}+k\cdot360^{\circ},k\in Z\}\)
应用2：角的终边在 \(x\) 轴非正半轴上；[基准角为 \(180^{\circ}\)]：
\(\{\beta\mid\beta=180^{\circ}+k\cdot360^{\circ},k\in Z\}\)
应用3：角的终边在 \(y\) 轴非负半轴上；[基准角为 \(90^{\circ}\)]：
\(\{\beta\mid\beta=90^{\circ}+k\cdot360^{\circ},k\in Z\}\)
应用4：角的终边在 \(y\) 轴非正半轴上；[基准角为 \(270^{\circ}\)]：
\(\{\beta\mid\beta=-90^{\circ}+k\cdot360^{\circ},k\in Z\}\) 或 \(\{\beta\mid\beta=270^{\circ}+k\cdot360^{\circ},k\in Z\}\)
应用5：角的终边在第一象限的角分线上；[基准角为 \(45^{\circ}\)]：
\(\{\beta\mid\beta=45^{\circ}+k\cdot360^{\circ},k\in Z\}\)
应用6：角的终边在第四象限的角分线上；[基准角为 \(315^{\circ}\) 或 \(-45^{\circ}\) ]：
\(\{\beta\mid\beta=-45^{\circ}+k\cdot360^{\circ},k\in Z\}\) ， \(315^{\circ}\in[0^{\circ}，360^{\circ})\) 或 \(-45^{\circ}\in[-180^{\circ}，180^{\circ})\)；
【做法小结】：射线角的刻画，先找准基准角，再添加 \(k\cdot360^{\circ},k\in Z\)；
✍️ 直线角
- 引例，和 \(30^{\circ}\) 角的终边所在的射线 \(OA\) 与 和 \(210^{\circ}\) 角的终边所在的射线 \(OB\) 是在同一条直线 \(AB\) 上的，我们不妨称为直线角；和 \(30^{\circ}\) 角的终边相同的角的集合为 \(S_1=\{\beta\mid\beta=30^{\circ}+k\cdot360^{\circ},k\in Z\}\) 和 \(210^{\circ}\) 角的终边相同的角的集合为 \(S_2=\{\beta\mid\beta=210^{\circ}+k\cdot360^{\circ},k\in Z\}\)，两个集合求并集，即我们俗称的合二为一就得到了角的终边在直线 \(AB\) 上的角的集合为 \(S=\{\beta\mid\beta=30^{\circ}+k\cdot180^{\circ},k\in Z\}\) [1]
上述表示的基准角为 \(30^{\circ}\)，所加的\(k\cdot180^{\circ}\)起旋转作用；当然，这种刻画也是不唯一的，比如还可以表示为 \(\{\beta\)\(\mid\)\(\beta\)\(=210^{\circ}\)\(+\)\(k\cdot180^{\circ}\)\(,\)\(k\)\(\in\)\(Z\)\(\}\)，很显然前者表示最简单；此时只要我们变化基准角就可以轻松的得到以下的集合：
应用1：角的终边在 \(x\) 轴上；[基准角为 \(0^{\circ}\)]：
\(\{\beta\mid\beta=0^{\circ}+n\cdot180^{\circ},n\in Z\}\)，
应用2：角的终边在 \(y\) 轴上；[基准角为 \(90^{\circ}\)]：
\(\{\beta\mid\beta=90^{\circ}+n\cdot180^{\circ},n\in Z\}\)，
应用3：角的终边在第一、三象限的角分线上；[基准角为 \(45^{\circ}\)]：
\(\{\beta\mid\beta=45^{\circ}+m\cdot180^{\circ},m\in Z\}\)
应用4：角的终边在第二、四象限的角分线上；[基准角为 \(135^{\circ}\)]：
\(\{\beta\mid\beta=135^{\circ}+k\cdot180^{\circ},k\in Z\}\)
【做法小结】：直线角的刻画，先找准基准角，再添加 \(k\cdot180^{\circ},k\in Z\)；
双直线角
角的终边在 \(x\) 轴上的集合为：\(S_1=\{\beta\mid\beta=0^{\circ}+k\cdot180^{\circ},k\in Z\}\)，角的终边在 \(y\) 轴上的集合：\(S_2\)\(=\)\(\{\beta\)\(\mid\)\(\beta\)\(=\)\(90^{\circ}\)\(+\)\(k\cdot180^{\circ}\)\(,\)\(k\)\(\in\)\(Z\}\)，两个集合求并集，就得到了角的终边落在两条相互垂直的直线上的集合，我们不妨称为双直线角；
即\(S=\{\beta\mid\beta=0^{\circ}+n\cdot90^{\circ},n\in Z\}\)，[2]
上述表示的基准角为 \(0^{\circ}\)，所加的\(k\cdot90^{\circ}\)起旋转作用；当然，这种刻画也是不唯一的，比如还可以表示为 \(\{\beta\)\(\mid\)\(\beta\)\(=90^{\circ}\)\(+\)\(k\cdot90^{\circ}\)\(,\)\(k\)\(\in\)\(Z\)\(\}\)，很显然前者表示最简单；此时只要我们变化基准角就可以轻松的得到以下的集合：
应用1：角的终边在一、三象限角分线和二、四象限角分线上；[基准角为 \(45^{\circ}\)]：
\(\{\beta\mid\beta=45^{\circ}+n\cdot90^{\circ},n\in Z\}\)，
【做法小结】：双直线角的刻画，先找准基准角，再添加 \(k\cdot90^{\circ},k\in Z\)；
✍️ 区间角
当角 \(\theta\) 的终边不是落在射线上，也不是落在直线上，而是落在某一个区域内，我们称之为区间角。比如角的终边落在第一象限内，我们常称之为第一象限角。此时的基准角不再是一个单独的角，而是对应的变为一个区间，称为基准区间，比如第一象限角这种区间角的刻画，先找基准区间为 \((0^{\circ},90^{\circ})\)，然后再旋转，也就是加上\(k\cdot 360^{\circ}\)，\(k\in Z\)，即 \((0^{\circ}\)\(+\)\(k\cdot 360^{\circ}\)\(,\)\(90^{\circ}\)\(+\)\(k\cdot 360^{\circ})\)，初次学习三角函数，我们一般表示为\(S_1=\{\beta\mid 0^{\circ}+k\cdot 360^{\circ}<\beta<90^{\circ}+k\cdot 360^{\circ},k\in Z\}\)，当然，这种刻画也是不唯一的，比如我们要是一开始找的基准区间为 \((-360^{\circ},-270^{\circ})\)，则应该表示为 \(S_2\)\(=\)\(\{\beta\)\(\mid\)\(-360^{\circ}\)\(+\)\(k\cdot\)\(360^{\circ}\)\(<\)\(\beta\)\(<\)\(-270^{\circ}\)\(+\)\(k\cdot\)\(360^{\circ}\)\(,\)\(k\in Z\}\)，
很显然前者表示最简单；此时只要我们变化基准区间就可以轻松的得到以下的集合：
应用1：第一象限角；[基准区间为 \((0^{\circ},90^{\circ})\)]：
\(\{\beta\mid 0^{\circ}+k\cdot 360^{\circ}<\beta<90^{\circ}+k\cdot 360^{\circ},k\in Z\}\)，
应用2：第二象限角；[基准区间为 \((90^{\circ},180^{\circ})\)]：
\(\{\beta\mid 90^{\circ}+k\cdot 360^{\circ}<\beta<180^{\circ}+k\cdot 360^{\circ},k\in Z\}\)，
应用3：第三象限角；[基准区间为 \((180^{\circ},270^{\circ})\)]：
\(\{\beta\mid 0^{\circ}+k\cdot 360^{\circ}<\beta<90^{\circ}+k\cdot 360^{\circ},k\in Z\}\)，
应用4：第四象限角；
\(\{\beta\mid 270^{\circ}+k\cdot 360^{\circ}<\beta<360^{\circ}+k\cdot 360^{\circ},k\in Z\}\)，[基准区间为 \((270^{\circ},360^{\circ})\)]；
\(\{\beta\mid -90^{\circ}+k\cdot 360^{\circ}<\beta<0^{\circ}+k\cdot 360^{\circ},k\in Z\}\)，[基准区间为 \((-90^{\circ},0^{\circ})\)]；
【做法小结】：区间角的刻画，先找准基准区间，再添加 \(k\cdot360^{\circ},k\in Z\)；
对顶区域角
高阶应用1：第一或第三象限角；[基准区间为 \((0^{\circ},90^{\circ})\) 或 \((180^{\circ},270^{\circ})\) ]：
\(\{\beta\mid 0^{\circ}+k\cdot 180^{\circ}<\beta<90^{\circ}+k\cdot 180^{\circ},k\in Z\}\) \(\left(或\{\beta\mid 180^{\circ}+k\cdot 180^{\circ}<\beta<270^{\circ}+k\cdot180^{\circ},k\in Z\}\right)\)，二选一即可，本着简单原则，我们都会选前者，不会给自己找不自在。
高阶应用2：角的终边落在直线 \(y=x\) 和直线 \(x=0\) 所形成的区域内[包含边界]；
如果是指夹角为\(45^{\circ}\)的那个对顶区域，[基准区间为 \([45^{\circ},90^{\circ}]\)]，应该表示为：
\(\{\beta\mid 45^{\circ}+k\cdot 180^{\circ}\leqslant\beta\leqslant90^{\circ}+k\cdot 180^{\circ},k\in Z\}\)
如果是指夹角为\(135^{\circ}\)的那个对顶区域，[基准区间为 \([90^{\circ},225^{\circ}]\)]，应该表示为：
\(\{\beta\mid 90^{\circ}+k\cdot 180^{\circ}\leqslant\beta\leqslant225^{\circ}+k\cdot 180^{\circ},k\in Z\}\)
【做法小结】：对顶区域角的刻画，先找准基准区间，再添加 \(k\cdot180^{\circ},k\in Z\)；
高阶练习
以上所说都是从形到数的训练，其实我们还需要识别以下的数学表达，完成从数到形的结合训练。
① \(\{\beta\mid 0^{\circ}+k\cdot 360^{\circ}<\beta< 90^{\circ}+k\cdot 360^{\circ},k\in Z\}\)
分析：刻画的是区域角，是第一象限的角；
② \(\{\beta\mid 0^{\circ}+k\cdot 180^{\circ}<\beta< 90^{\circ}+k\cdot 180^{\circ},k\in Z\}\)
分析：刻画的是区域角，是第一、第三象限的角；
③ \(\{\beta\mid 0^{\circ}+k\cdot 90^{\circ}<\beta< 90^{\circ}+k\cdot 90^{\circ},k\in Z\}\)
分析：刻画的是区域角，是第一、第二、第三、第四象限的角；
④ \(\{\beta\mid \beta= 45^{\circ}+k\cdot 360^{\circ},k\in Z\}\)
分析：刻画的是射线角，角的终边落在第一象限的角分线上(或在射线 \(y=x\)，\(x\geq0\)上)，是第一象限的角；
⑤ \(\{\beta\mid \beta= 45^{\circ}+k\cdot 180^{\circ},k\in Z\}\)
分析：刻画的是直线角，角的终边落在第一、第三象限的角分线上(或在直线 \(y=x\) 上)，是第一、第三象限的角；
⑥ \(\{\beta\mid \beta= 45^{\circ}+k\cdot 90^{\circ},k\in Z\}\)
分析：刻画的是双直线角，角的终边落在四个象限的角分线上(或在直线 \(y=x\) 和 \(y=-x\) 上) .
几点说明
1、本篇博文定位的对象是初入高中的高一学生，帮助其廓清认知，厘清思路，故重点采用角度制来刻画，等弄清楚之后，将表达式中的角度转换为对应的弧度，就成了弧度制下的表达，相对就容易多了，故不再赘述。
2、既然是数形结合，所以建议大家，边画图边学习，以期望印象深刻，理解透彻。
对应练习
解析：\(n\cdot\pi+\alpha\)，\(n\in Z\)，刻画的是角的终边落在一周的两个位置，故需要分两种情况来讨论：
\(\sin(n\pi+\alpha)\)\(=\left\{\begin{array}{l}\sin\alpha，&n=2k，k\in Z\\-\sin\alpha，&n=2k+1，k\in Z\end{array}\right.\)
说明：\(\{\beta\mid \beta=2k,k\in Z\}\)\(\cup\)\(\{\beta\mid \beta=2k+1,k\in Z\}=Z\)；
解析：\(\cfrac{2n\pi}{3}+\alpha=n\cdot\cfrac{2\pi}{3}+\alpha\)，\(n\in Z\)，刻画的是角的终边落在一周的三个位置，故需要分三种情况来讨论：
\(\sin(\cfrac{2n\pi}{3}+\alpha)\)\(=\left\{\begin{array}{l}\sin\alpha，&n=3k，k\in Z\\\sin(\cfrac{\pi}{3}-\alpha)，&n=3k+1，k\in Z\\-\sin(\cfrac{\pi}{3}+\alpha)，&n=3k+2，k\in Z\end{array}\right.\)
说明：\(\{\beta\mid \beta=3k,k\in Z\}\)\(\cup\)\(\{\beta\mid \beta=3k+1,k\in Z\}\)\(\cup\)\(\{\beta\mid \beta=3k+2,k\in Z\}=Z\)；
解析：\(\cfrac{n\pi}{2}+\alpha=n\cdot \cfrac{\pi}{2}+\alpha\)，\(n\in Z\)，刻画的是角的终边落在一周的四个位置，故需要分四种情况来讨论：
\(\sin(\cfrac{n\pi}{2}+\alpha)\)\(=\left\{\begin{array}{l}\sin\alpha，&n=4k，k\in Z\\\cos\alpha，&n=4k+1，k\in Z\\-\sin\alpha，&n=4k+2，k\in Z\\-\cos\alpha，&n=4k+3，k\in Z\end{array}\right.\)
说明：\(\{\beta\mid \beta=4k,k\in Z\}\)\(\cup\)\(\{\beta\mid \beta=4k+1,k\in Z\}\)\(\cup\)\(\{\beta\mid \beta=4k+2,k\in Z\}\)\(\cup\)\(\{\beta\mid \beta=4k+3,k\in Z\}=Z\)；
从数的角度的求并集的过程如下：
\(S=S_1\cup S_2=\{\beta\mid\beta=30^{\circ}+k\cdot360^{\circ},k\in Z\}\cup\{\beta\mid\beta=210^{\circ}+k\cdot360^{\circ},k\in Z\}\)，
\(=\{\beta\mid\beta=30^{\circ}+k\cdot360^{\circ},k\in Z\}\cup\{\beta\mid\beta=30^{\circ}+180^{\circ}+k\cdot360^{\circ},k\in Z\}\)，
\(=\{\beta\mid\beta=30^{\circ}+2k\cdot180^{\circ},k\in Z\}\cup\{\beta\mid\beta=30^{\circ}+(2k+1)180^{\circ},k\in Z\}\)，
\(=\{\beta\mid\beta=30^{\circ}+n\cdot180^{\circ},n\in Z\}\)， ↩︎从数的角度的求并集的过程如下：
\(S=\)\(S_1\cup S_2\)\(=\)\(\{\beta\mid\beta=0^{\circ}+k\cdot180^{\circ}\)\(,\)\(k\in Z\}\)\(\cup\)\(\{\beta\mid\beta=90^{\circ}+k\cdot180^{\circ},k\in Z\}\)，
\(=\{\beta\mid\beta=0^{\circ}+2k\cdot90^{\circ},k\in Z\}\cup\{\beta\mid\beta=0^{\circ}+90^{\circ}+2k\cdot90^{\circ},k\in Z\}\)，
\(=\{\beta\mid\beta=0^{\circ}+2k\cdot90^{\circ},k\in Z\}\cup\{\beta\mid\beta=0^{\circ}+(2k+1)\cdot 90^{\circ},k\in Z\}\)，
\(=\{\beta\mid\beta=0^{\circ}+n\cdot90^{\circ},n\in Z\}\)， ↩︎
