用零点存在定理解决二次方程根的分布

前言

以前写过一篇关于二次方程根的分布问题的博文，感觉思路混乱，也不想再修改，故重新开一篇博文探讨这个问题，初次尝试用零点存在定理来分析二次方程根的分布，自编题目，有待商榷，希望多提宝贵意见。

典例分析

为了降低思维的难度，我们首先看这个比较特殊的例子，

已知函数 \(f(x)=-x^2+2mx+2-3m\)，求解以下问题：

分析：为了便于利用零点存在定理解决以下问题，我们先分析函数“形”上具有的特点，图象是开口向下的抛物线，具有对称性，对称轴为 \(x\)\(=\)\(m\)，有最大值为\(f(x)_{\max}\)\(=\)\(f(m)\)\(=\)\(m^2\)\(-\)\(3m\)\(+\)\(2\)，同时还有两个非常容易被人忽略的隐含信息，或者没有有效利用的条件，即 \(f(-\infty)\)\(<\)\(0\)，\(f(+\infty)\)\(<\)\(0\)，这样的写法虽然有些欠妥当，但是在利用零点存在定理时非常有用，能帮助我们快速思考，解决问题。

(01) . 若函数有两个零点，求实数 \(m\) 的取值范围；

分析：只需要函数对称轴处的函数值大于零即可，即\(f(m)>0\)具体解释，\(f(-\infty)\)\(<\)\(0\)，且\(f(m)>0\)，故在 \((-\infty,m)\) 内必有一个变号零点，同理，\(f(+\infty)\)\(<\)\(0\)，且\(f(m)>0\)，故在 \((m,+\infty)\) 内必有一个变号零点，在初中我们常用的求解思维是\(\Delta>0\) . .

即 \(f(m)\)\(=\)\(m^2\)\(-\)\(3m\)\(+\)\(2>0\)，解得 \(m<1\) 或 \(m>2\)；

(02) . 若函数有一个零点，求实数 \(m\) 的取值范围；

分析：只需要函数对称轴处的函数值等于零即可，即\(f(m)=0\)具体解释，\(f(-\infty)\)\(<\)\(0\)，且\(f(m)=0\)，且 \(f(+\infty)\)\(<\)\(0\)，故在 \((-\infty,+\infty)\) 内必有一个不变号零点\(x=m\)，在初中我们常用的求解思维是\(\Delta=0\) . .

即 \(f(m)\)\(=\)\(m^2\)\(-\)\(3m\)\(+\)\(2=0\)，解得 \(m=1\) 或 \(m=2\)；

(03) . 若函数没有零点，求实数 \(m\) 的取值范围；

分析：只需要函数对称轴处的函数值小于零即可，即\(f(m)<0\)具体解释，\(f(x)_{\max}=f(m)<0\)，故方程 \(f(x)=0\) 无解，在初中我们常用的求解思维是\(\Delta<0\) . .

即 \(f(m)\)\(=\)\(m^2\)\(-\)\(3m\)\(+\)\(2<0\)，解得 \(1<m<2\)；

(04) . 若函数恰有一个零点为\(x=0\)，求实数 \(m\) 的取值范围；

分析：\(f(0)=0\)，即 \(2-3m=0\)，解得 \(m=\cfrac{2}{3}\)；

(05) . 若方程 \(f(x)=0\)有两个正数解，求实数 \(m\) 的取值范围；

分析：\(\left\{\begin{array}{l}{f(0)<0}\\{f(m)>0}\\m>0[对称轴在y轴右侧]\end{array}\right.\quad\)

解得 \(\cfrac{2}{3}<m<1\) 或 \(m>2\)；

(06) . 若方程 \(f(x)=0\)有两个负数解，求实数 \(m\) 的取值范围；

分析：\(\left\{\begin{array}{l}{f(0)<0}\\{f(m)>0}\\m<0[对称轴在y轴左侧]\end{array}\right.\quad\)

解得 \(m\in\varnothing\)；

(07) . 若方程 \(f(x)=0\)有两个解，一正一负，即一个大于\(0\)，一个小于\(0\)，求实数 \(m\) 的取值范围；

分析：\(f(0)>0\)，

解得 \(m<\cfrac{2}{3}\)；

(08) . 若方程 \(f(x)=0\)有两个解，一个大于\(2\)，一个小于\(2\)，求实数 \(m\) 的取值范围；

分析：仿上 \(f(2)>0\)，

解得 \(m>2\)；

(09) . 若方程 \(f(x)=0\)有两个解，一正一零，求实数 \(m\) 的取值范围；

分析：\(\left\{\begin{array}{l}{f(0)=0}\\{f(m)>0}\\m>0\end{array}\right.\quad\)

解得 \(m=\cfrac{2}{3}\)；

(10) . 若方程 \(f(x)=0\)有两个解，一负一零，求实数 \(m\) 的取值范围；

分析：\(\left\{\begin{array}{l}{f(0)=0}\\{f(m)>0}\\m<0\end{array}\right.\quad\)

解得，\(m\in\varnothing\)；

(11) . 若方程 \(f(x)=0\)有两个解，都在 \(2\) 的左侧，求实数 \(m\) 的取值范围；

分析：\(\left\{\begin{array}{l}{f(m)>0}\\{f(2)<0}\\m<2\end{array}\right.\quad\)

解得 \(m<2\)；

(12) . 若方程 \(f(x)=0\)有两个解，都在 \(2\) 的右侧，求实数 \(m\) 的取值范围；

分析：\(\left\{\begin{array}{l}{f(m)>0}\\{f(2)<0}\\m>2\end{array}\right.\quad\)

解得，\(m\in\varnothing\)；

(13) . 若方程 \(f(x)=0\)有两个解，都在 \((0,3)\) 内，求实数 \(m\) 的取值范围；

分析：\(\left\{\begin{array}{l}{f(0)<0}\\{f(m)>0}\\{f(3)<0}\\0<m<3\end{array}\right.\quad\)

解得 \(\cfrac{2}{3}<m<1\) 或 \(2<m<\cfrac{7}{3}\)；

或解： \(\Delta\geq 0\) 且 \(0<x_1+x_2<6\)[此条件已经能限制对称轴了]，且 \((x_1-3)(x_2-3)>0\)，

(14) . 若方程 \(f(x)=0\)有两个解，一个在 \((0,1)\) 内，另一个在 \((2,3)\) 内，求实数 \(m\) 的取值范围；

分析：\(\left\{\begin{array}{l}{f(0)<0}\\{f(1)>0}\\{f(2)>0}\\{f(3)<0}\end{array}\right.\quad\)

(15) . 若方程 \(f(x)=0\)有两个解，一个在 \((0,1)\) 内，另一个在 \((1,3)\) 内，求实数 \(m\) 的取值范围；

分析：\(\left\{\begin{array}{l}{f(0)<0}\\{f(1)>0}\\{f(3)<0}\end{array}\right.\quad\)

抽象概括

对于一般的二次函数 \(f(x)=ax^2+bx+c(a\neq 0)\) 的零点问题，需要考虑更多因素，比如开口方向，对称轴，端点值的正负等等。

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