再议求函数的定义域

前言

对于给定解析式的函数，求其定义域时，一般不能对其作变形，尤其是涉及与对数函数有关的函数，更是如此。

典例剖析

【2023学生作业】求函数 \(f(x)=\lg\cfrac{x-1}{x+1}\) 的定义域；

【错误解法】解：由于 \(f(x)=\lg\cfrac{x-1}{x+1}=\lg(x-1)-\lg(x+1)\)，^[1]

故由 \(x-1>0\) 且 \(x+1>0\)， 得到 \(x>1\)，

故 所求定义域为 \(\{x\mid x>1\}\)；

【正确解法】解：由于 \(f(x)=\lg\cfrac{x-1}{x+1}\)，

则 \(\cfrac{x-1}{x+1}>0\)，即 \((x-1)(x+1)>0\)，

解得，\(x<-1\) 或 \(x>1\)，

故 所求定义域为 \(\{x\mid x<-1\) 或 \(x>1\}\)；

求函数 \(f(x)=\ln(x+2)+\ln(x-4)\) 的定义域；

【错误解法】解：由于 \(f(x)=\ln(x+2)+\ln(x-4)=\ln(x+2)(x-4)\) ，^[2]

由 \((x+2)(x-4)>0\) ，解得 \(x<-2\) 或 \(x>4\) ；

故 所求定义域为 \(\{x\mid x<-2\) 或 \(x>4\}\)；

【正确解法】解：由 \(\left\{\begin{array}{l}{x+2>0}\\{x-4>0}\end{array}\right.\)

解得 \(x>4\) ， 故 所求定义域为 \(\{x\mid x>4\}\)；

【相关解疑】其一：\(\log_a{MN}=\log_a{M}+\log_a{N}\)，注意，此时必须满足条件 \(M>0\) 且 \(N>0\) . 其二：我们知道 \(a\cdot b>0\) 等价于 \(\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{b>0}\end{array}\right.\) 或 \(\left\{\begin{array}{l}{a<0}\\{b<0}\end{array}\right.\) .

特殊例外

凡事都有个例外，有些题目，求定义域时不对函数解析式化简可能就比较难了；

【2019届高三理科函数及其表示课时作业第15题】已知函数\(f(x^2-3)=lg\cfrac{x^2}{x^2-4}\)，则\(f(x)\)的定义域为____________。

分析：令\(x^2-3=t\)，则\(t\ge -3\)，则\(x^2=t+3\)，\(x^2-4=t-1\)，

故原函数可以改写为\(f(t)=lg\cfrac{t+3}{t-1}(t\ge -3)\)，

即\(f(x)=lg\cfrac{x+3}{x-1}(x\ge -3)\)，

则在\(x\ge -3\)时，还必须\(\cfrac{x+3}{x-1}>0\)，解得\(x<-3\)或\(x>1\)，

故所求定义域必须同时满足条件

\(\left\{\begin{array}{l}{x\ge -3}\\{x<-3，x>1}\end{array}\right.\)，故定义域为\(x>1\)，即\((1，+\infty)\)；

---

1. 此处的变形是错误的，不是恒等变形，上式只有在 \(x-1>0\) 且 \(x+1>0\) 时是成立的，但如果你注意了恒等变形的条件，你就改变了题目的定义域，因为当 \(x-1<0\) 且 \(x+1<0\) 时，函数 \(f(x)=\lg\cfrac{x-1}{x+1}\) 也是有意义的，所以求定义域的题目一般不对给定的解析式做变形，道理就在这里。再比如 \(y=\lg x^2\) 的定义域为 \(\{x\mid x\neq 0\}\)，而 \(y=2\lg x\) 的定义域却是 \(\{x\mid x>0\}\)， ↩︎

2. 这个变形人为的扩大了定义域的范围， 原因是 \(\left\{\begin{array}{l}{x+2>0}\\{x-4>0}\end{array}\right.\) 和 \((x+2)(x-4)>0\) 不等价。 ↩︎