函数的拟合 | 实际问题模型化

前言

我们认知和解决实际问题常常是通过函数这一抓手来完成的，但是对实际问题而言，一拿到手谁也不知道其对应的函数模型是什么，能知道的往往是一堆元数据，我们的做法是研究数据，对数据进行函数的拟合，看已经学习过的函数中的哪一类的拟合效果最贴近实际问题，从而确定最优的函数解析式。

典例剖析

【人教 \(A\) 版 \(P_{102}\)第 \(14\) 题】某商场经营一批进价为 \(30\) 元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价 \(x\) (单位: 元) 与日销售量 \(y\) (单位: 件)之间有如下表所示的关系.

\(x\)	\(\cdots\)	\(30\)	\(40\)	\(45\)	\(50\)	\(\cdots\)
\(y\)	\(\cdots\)	\(60\)	\(30\)	\(15\)	\(0\)	\(\cdots\)

(1) 根据表中提供的数据描出实数对 \((x, y)\) 的对应点， 根据画出的点猜想 \(y\) 与 \(x\) 之间的函数关系， 并写出一个函数解析式；

解析： 由题表中所给数据， 在平面直角坐标系中作出 \((30,60)\)，\((40,30)\)，\((45,15)\)，\((50,0)\) 的对应点， 它们近似地分布在一条直线上， 如图所示.

故设 \(y=kx+b(k\neq 0)\)， 则 \(\left\{\begin{array}{l}50k+b=0,\\ 45k+b=15,\end{array}\right.\)

解得 \(\left\{\begin{array}{l}k=-3, \\ b=150,\end{array}\right.\)

所以，所求解析式为 \(y=-3x+150\) \(\left(0\leqslant x\leqslant 50\right.\)， 且 \(x\in {N}^*)\).

(2). 设经营此商品的日销售利润为 \(P\) (单位: 元)， 根据上述关系，写出 \(P\) 关于 \(x\) 的函数解析式，并求销售单价为多少元时， 才能获得最大日销售利润.

解析： 依题意 \(P=y(x-30)\)\(=(-3 x+150)(x-30)\)\(=-3(x-40)^2+300\)，

所以， 当 \(x=40\) 时， \(P\) 有最大值 \(300\) .

故销售单价为 \(40\) 元时, 才能获得最大日销售利润.

【人教 \(A\) 版 \(P_{119}\)第 \(5\) 题】求下列函数可能的一个解析式：

(1). 函数 \(f(x)\) 的数据如下表：

\(x\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(f(x)\)	\(3.50\)	\(4.20\)	\(5.04\)

解析：在坐标系中描点如下图所示，观察这些点，分别用以下的函数拟合，

一次函数拟合，设 \(y=f(x)=kx+b\)，此时求参数 \(k\) 和 \(b\)，需要两个独立的方程来求解，故代入两点坐标\((0,3.5)\)、\((2,5.04)\) 得到方程组，解得 \(f(x)=0.77x+3.5\)；但是拟合效果最差；

二次函数拟合，设 \(y=g(x)=ax^2+bx+c\)，此时求参数 \(a\) 和 \(b\) 和 \(c\)，需要三个独立的方程来求解，代入三点坐标\((0,3.5)\)、\((1,4.2)\)、\((2,5.04)\) 得到方程组，解得 \(g(x)=0.07x^2+0.63x+3.5\)；拟合效果较好；

指数型函数拟合，设 \(y=h(x)=k\cdot a^x\)，此时求参数 \(k\) 和 \(a\)，需要两个独立的方程来求解，代入两点坐标\((0,3.5)\)、\((1,4.2)\) 得到方程组，解得 \(h(x)=3.5\times 1.2^x\)；拟合效果较好；