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函数奇偶性判断中的运算思路选择

💎更新于 2023-12-25 09:15 | 发布于 2023-11-14 10:09
约 2215 字 | 阅读估时 7 分钟

公式定理💯随心记

【辅助角公式】文字语言:将三角函数的线性组合转化为单一三角函数。符号语言:asinx+bcosx=a2+b2sin(x+ϕ),其中 tanϕ=ba


前言

在判断函数的奇偶性时,我们一般常用的依据是由 f(x)=±f(x) 来得到对应的结论,很少有人想到用其等价判断依据: f(x)±f(x)=0,尤其是涉及到指数型函数或对数型函数的奇偶性的判断时,更是蕴含了许多运算技巧,以下用例子说明;

典例剖析

判断 f(x)=2x12x+1 的奇偶性,

常规解法:定义域为 R ,关于原点对称,

f(x)=2x12x+1=12x112x+1=12x2x1+2x2x=12x1+2x=2x12x+1=f(x)

f(x)=f(x),故函数 f(x) 为奇函数;

快捷解法:定义域为 R ,关于原点对称,

且有 f(x)=2x12x+1=(2x1)2x(2x+1)2x=12x1+2x=2x12x+1=f(x)

f(x)=f(x),故函数 f(x) 为奇函数;

【解后反思】:遇到含有指数式的分式型函数判断奇偶性时,乘法比除法快;

已知定义域为 R 的函数 f(x)=ln(x2+1x),判断函数 f(x) 的奇偶性;

分析:先求定义域,令 x2+1x>0,可得到 xR

常规解法:采用 f(x)=f(x) 来判断,变形的难度很大;

f(x)=ln(x2+1+x)=ln(1x2+1x)

=ln(x2+1x)1=ln(x2+1x)=f(x)

即函数 f(x) 为奇函数;

快捷解法:采用 f(x)+f(x)=0 来判断,充分利用了对数的运算性质,变形的难度很小;

由于 f(x)=ln(x2+1x),则 f(x)=ln(x2+1+x)

f(x)+f(x)=ln(x2+1x)+ln(x2+1+x)=ln1=0,即函数 f(x) 为奇函数;

【解后反思】:虽然说 f(x)=f(x)f(x)+f(x)=0 是等价的,但是有时候我们感觉二者是有区别的,尤其是涉及到对数型函数的奇偶性的判断时,更是如此;

已知函数 g(x)=lg(sin2x+1+sinx),判断其奇偶性;

分析:同上例,可知 g(x)=lg(sin2x+1sinx),即 g(x)+g(x)=lg1=0,即函数 g(x) 为奇函数;

对应练习

判断函数 f(x)=lgx1x+1 的奇偶性;

提示:利用利用 f(x)+f(x)=0 判断;

解析:令 x1x+1>0,解得,1<x<1,故定义域关于原点对称,

f(x)+f(x)=lgx1x+1+lgx1x+1=lgx1x+1+lgx+1x1

=lg(x1x+1x+1x1)=lg1=0

f(x)=f(x),故函数 f(x) 为奇函数;


  1. 由于当 x0 时,x2+1x>0 恒成立,当 x>0 时, x2+1x=x2+1x2>0 恒成立,故定义域为 x(,+) . ↩︎

  2. 备注: 若 ab=1,则 a=1b,则有 lna=ln1b,且有
    (x2+1+x)(x2+1x)=1(n+1n)(n+1+n)=1↩︎

作者:陕西凤翔,微信:wh1979448597,邮箱:wanghai0666@126.com,敬请雅正,欢迎联系。
情怀:一直设想如何利用自己浅陋的教学感悟和粗鄙的电脑知识,将数学学习的手段和要素都整合到云端。

出处:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/17829953.html

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