前言
在判断函数的奇偶性时,我们一般常用的依据是由 f(−x)=±f(x) 来得到对应的结论,很少有人想到用其等价判断依据: f(−x)±f(x)=0,尤其是涉及到指数型函数或对数型函数的奇偶性的判断时,更是蕴含了许多运算技巧,以下用例子说明;
典例剖析
判断 f(x)=2x−12x+1 的奇偶性,
常规解法:定义域为 R ,关于原点对称,
f(−x)=2−x−12−x+1=12x−112x+1=1−2x2x1+2x2x=1−2x1+2x=−2x−12x+1=−f(x)
则 f(−x)=−f(x),故函数 f(x) 为奇函数;
快捷解法:定义域为 R ,关于原点对称,
且有 f(−x)=2−x−12−x+1=(2−x−1)⋅2x(2−x+1)⋅2x=1−2x1+2x=−2x−12x+1=−f(x),
则 f(−x)=−f(x),故函数 f(x) 为奇函数;
【解后反思】:遇到含有指数式的分式型函数判断奇偶性时,乘法比除法快;
已知定义域为 R 的函数 f(x)=ln(√x2+1−x),判断函数 f(x) 的奇偶性;
分析:先求定义域,令 √x2+1−x>0,可得到 x∈R,
常规解法:采用 f(−x)=−f(x) 来判断,变形的难度很大;
f(−x)=ln(√x2+1+x)=ln(1√x2+1−x)
=ln(√x2+1−x)−1=−ln(√x2+1−x)=−f(x)
即函数 f(x) 为奇函数;
快捷解法:采用 f(−x)+f(x)=0 来判断,充分利用了对数的运算性质,变形的难度很小;
由于 f(x)=ln(√x2+1−x),则 f(−x)=ln(√x2+1+x),
即 f(x)+f(−x)=ln(√x2+1−x)+ln(√x2+1+x)=ln1=0,即函数 f(x) 为奇函数;
【解后反思】:虽然说 f(−x)=−f(x) 和 f(−x)+f(x)=0 是等价的,但是有时候我们感觉二者是有区别的,尤其是涉及到对数型函数的奇偶性的判断时,更是如此;
已知函数 g(x)=lg(√sin2x+1+sinx),判断其奇偶性;
分析:同上例,可知 g(−x)=lg(√sin2x+1−sinx),即 g(x)+g(−x)=lg1=0,即函数 g(x) 为奇函数;
对应练习
判断函数 f(x)=lgx−1x+1 的奇偶性;
提示:利用利用 f(−x)+f(x)=0 判断;
解析:令 x−1x+1>0,解得,−1<x<1,故定义域关于原点对称,
f(x)+f(−x)=lgx−1x+1+lg−x−1−x+1=lgx−1x+1+lgx+1x−1
=lg(x−1x+1⋅x+1x−1)=lg1=0
则 f(−x)=−f(x),故函数 f(x) 为奇函数;
作者:陕西凤翔,微信:wh1979448597,邮箱:wanghai0666@126.com,敬请雅正,欢迎联系。
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