函数奇偶性判断中的运算思路选择

公式定理💯随心记

【辅助角公式】文字语言：将三角函数的线性组合转化为单一三角函数。符号语言：$a\sin x+b\cos x=\sqrt {a^2+b^2}\sin (x+\phi)$，其中 $\tan\phi=\cfrac {b}{a}$

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前言

在判断函数的奇偶性时，我们一般常用的依据是由 $f(-x)=\pm f(x)$ 来得到对应的结论，很少有人想到用其等价判断依据： $f(-x)\pm f(x)=0$，尤其是涉及到指数型函数或对数型函数的奇偶性的判断时，更是蕴含了许多运算技巧，以下用例子说明；

典例剖析

判断 $f(x)=\cfrac{2^x-1}{2^x+1}$ 的奇偶性，

常规解法：定义域为 $R$ ，关于原点对称，

$f(-x)=\cfrac{2^{-x}-1}{2^{-x}+1}$$=\cfrac{\frac{1}{2^x}-1}{\frac{1}{2^x}+1}$$=\cfrac{\frac{1-2^x}{2^x}}{\frac{1+2^x}{2^x}}$$=\cfrac{1-2^x}{1+2^x}=-\cfrac{2^x-1}{2^x+1}$$=-f(x)$

则 $f(-x)=-f(x)$，故函数 $f(x)$ 为奇函数；

快捷解法：定义域为 $R$ ，关于原点对称，

且有 $f(-x)$$=$$\cfrac{2^{-x}-1}{2^{-x}+1}$$=$$\cfrac{(2^{-x}-1)\cdot 2^x}{(2^{-x}+1)\cdot 2^x}$$=$$\cfrac{1-2^x}{1+2^x}$$=$$-\cfrac{2^x-1}{2^x+1}$$=$$-f(x)$，

则 $f(-x)=-f(x)$，故函数 $f(x)$ 为奇函数；

【解后反思】：遇到含有指数式的分式型函数判断奇偶性时，乘法比除法快；

已知定义域为 $R$ 的函数 $f(x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)$，判断函数 $f(x)$ 的奇偶性；

分析：先求定义域，令 $\sqrt{x^2+1}-x>0$，可得到 $x\in R$，^[1]

常规解法：采用 $f(-x)=-f(x)$ 来判断，变形的难度很大；

$f(-x)=\ln(\sqrt{x^2+1}+x)=\ln(\cfrac{1}{\sqrt{x^2+1}-x})$ ^[2]

$=\ln(\sqrt{x^2+1}-x)^{-1}=-\ln(\sqrt{x^2+1}-x)=-f(x)$

即函数 $f(x)$ 为奇函数；

快捷解法：采用 $f(-x)+f(x)=0$ 来判断，充分利用了对数的运算性质，变形的难度很小；

由于 $f(x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)$，则 $f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}+x)$，

即 $f(x)+f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)+ln(\sqrt{x^2+1}+x)=ln1=0$，即函数 $f(x)$ 为奇函数；

【解后反思】：虽然说 $f(-x)=-f(x)$ 和 $f(-x)+f(x)=0$ 是等价的，但是有时候我们感觉二者是有区别的，尤其是涉及到对数型函数的奇偶性的判断时，更是如此；

已知函数 $g(x)=lg(\sqrt{sin^2x+1}+sinx)$，判断其奇偶性；

分析：同上例，可知 $g(-x)=lg(\sqrt{sin^2x+1}-sinx)$，即 $g(x)+g(-x)=lg1=0$，即函数 $g(x)$ 为奇函数；

对应练习

判断函数 $f(x)=\lg{\cfrac{x-1}{x+1}}$ 的奇偶性；

提示：利用利用 $f(-x)+f(x)=0$ 判断；

解析：令 $\cfrac{x-1}{x+1}>0$，解得，$-1<x<1$，故定义域关于原点对称，

$f(x)+f(-x)$$=$$\lg{\cfrac{x-1}{x+1}}$$+$$\lg{\cfrac{-x-1}{-x+1}}$$=$$\lg{\cfrac{x-1}{x+1}}$$+$$\lg{\cfrac{x+1}{x-1}}$

$=$$\lg\left({\cfrac{x-1}{x+1}}\cdot{\cfrac{x+1}{x-1}}\right)$$=$$\lg 1$$=$$0$

则 $f(-x)=-f(x)$，故函数 $f(x)$ 为奇函数；

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1. 由于当 $x\leqslant 0$ 时，$\sqrt{x^2+1}-x>0$ 恒成立，当 $x>0$ 时， $\sqrt{x^2+1}-x=\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2}>0$ 恒成立，故定义域为 $x\in(-\infty,+\infty)$ . ↩︎

2. 备注： 若 $ab=1$，则 $a=\cfrac{1}{b}$，则有 $\ln a=\ln\cfrac{1}{b}$，且有
   $(\sqrt{x^2+1}+x)(\sqrt{x^2+1}-x)=1$；$(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})=1$； ↩︎