函数奇偶性判断中的运算思路选择
前言
在判断函数的奇偶性时,我们一般常用的依据是由 \(f(-x)=\pm f(x)\) 来得到对应的结论,很少有人想到用其等价判断依据: \(f(-x)\pm f(x)=0\),尤其是涉及到指数型函数或对数型函数的奇偶性的判断时,更是蕴含了许多运算技巧,以下用例子说明;
典例剖析
常规解法:定义域为 \(R\) ,关于原点对称,
\(f(-x)=\cfrac{2^{-x}-1}{2^{-x}+1}\)\(=\cfrac{\frac{1}{2^x}-1}{\frac{1}{2^x}+1}\)\(=\cfrac{\frac{1-2^x}{2^x}}{\frac{1+2^x}{2^x}}\)\(=\cfrac{1-2^x}{1+2^x}=-\cfrac{2^x-1}{2^x+1}\)\(=-f(x)\)
则 \(f(-x)=-f(x)\),故函数 \(f(x)\) 为奇函数;
快捷解法:定义域为 \(R\) ,关于原点对称,
且有 \(f(-x)\)\(=\)\(\cfrac{2^{-x}-1}{2^{-x}+1}\)\(=\)\(\cfrac{(2^{-x}-1)\cdot 2^x}{(2^{-x}+1)\cdot 2^x}\)\(=\)\(\cfrac{1-2^x}{1+2^x}\)\(=\)\(-\cfrac{2^x-1}{2^x+1}\)\(=\)\(-f(x)\),
则 \(f(-x)=-f(x)\),故函数 \(f(x)\) 为奇函数;
【解后反思】:遇到含有指数式的分式型函数判断奇偶性时,乘法比除法快;
分析:先求定义域,令 \(\sqrt{x^2+1}-x>0\),可得到 \(x\in R\),[1]
常规解法:采用 \(f(-x)=-f(x)\) 来判断,变形的难度很大;
\(f(-x)=\ln(\sqrt{x^2+1}+x)=\ln(\cfrac{1}{\sqrt{x^2+1}-x})\) [2]
\(=\ln(\sqrt{x^2+1}-x)^{-1}=-\ln(\sqrt{x^2+1}-x)=-f(x)\)
即函数\(f(x)\)为奇函数;
快捷解法:采用 \(f(-x)+f(x)=0\) 来判断,充分利用了对数的运算性质,变形的难度很小;
由于\(f(x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)\),则\(f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}+x)\),
即\(f(x)+f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)+ln(\sqrt{x^2+1}+x)=ln1=0\),即函数\(f(x)\)为奇函数;
【解后反思】:虽然说 \(f(-x)=-f(x)\) 和 \(f(-x)+f(x)=0\) 是等价的,但是有时候我们感觉二者是有区别的,尤其是涉及到对数型函数的奇偶性的判断时,更是如此;
分析:同上例,可知\(g(-x)=lg(\sqrt{sin^2x+1}-sinx)\),即\(g(x)+g(-x)=lg1=0\),即函数\(g(x)\)为奇函数;
对应练习
提示:利用利用 \(f(-x)+f(x)=0\)判断;
解析:令 \(\cfrac{x-1}{x+1}>0\),解得,\(-1<x<1\),故定义域关于原点对称,
\(f(x)+f(-x)\)\(=\)\(\lg{\cfrac{x-1}{x+1}}\)\(+\)\(\lg{\cfrac{-x-1}{-x+1}}\)\(=\)\(\lg{\cfrac{x-1}{x+1}}\)\(+\)\(\lg{\cfrac{x+1}{x-1}}\)
\(=\)\(\lg\left({\cfrac{x-1}{x+1}}\cdot{\cfrac{x+1}{x-1}}\right)\)\(=\)\(\lg 1\)\(=\)\(0\)
则 \(f(-x)=-f(x)\),故函数 \(f(x)\) 为奇函数;
由于当 \(x\leqslant 0\)时,\(\sqrt{x^2+1}-x>0\)恒成立,当 \(x>0\)时, \(\sqrt{x^2+1}-x=\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2}>0\)恒成立,故定义域为 \(x\in(-\infty,+\infty)\) . ↩︎
备注: 若 \(ab=1\),则 \(a=\cfrac{1}{b}\),则有\(\ln a=\ln\cfrac{1}{b}\),且有
\((\sqrt{x^2+1}+x)(\sqrt{x^2+1}-x)=1\);\((\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})=1\); ↩︎