函数奇偶性判断中的运算思路选择
有时候，一个正确的运算思路能让我们感觉非常爽。
前言
在判断函数的奇偶性时，我们一般常用的依据是由 \(f(-x)=\pm f(x)\) 来得到对应的结论，很少有人想到用其等价判断依据： \(f(-x)\pm f(x)=0\)，尤其是涉及到指数型函数或对数型函数的奇偶性的判断时，更是蕴含了许多运算技巧，以下用例子说明；
典例剖析
常规解法：定义域为 \(R\) ，关于原点对称，
\(f(-x)=\cfrac{2^{-x}-1}{2^{-x}+1}\)\(=\cfrac{\frac{1}{2^x}-1}{\frac{1}{2^x}+1}\)\(=\cfrac{\frac{1-2^x}{2^x}}{\frac{1+2^x}{2^x}}\)\(=\cfrac{1-2^x}{1+2^x}=-\cfrac{2^x-1}{2^x+1}\)\(=-f(x)\)
则 \(f(-x)=-f(x)\)，故函数 \(f(x)\) 为奇函数；
快捷解法：定义域为 \(R\) ，关于原点对称，
且有 \(f(-x)\)\(=\)\(\cfrac{2^{-x}-1}{2^{-x}+1}\)\(=\)\(\cfrac{(2^{-x}-1)\cdot 2^x}{(2^{-x}+1)\cdot 2^x}\)\(=\)\(\cfrac{1-2^x}{1+2^x}\)\(=\)\(-\cfrac{2^x-1}{2^x+1}\)\(=\)\(-f(x)\)，
则 \(f(-x)=-f(x)\)，故函数 \(f(x)\) 为奇函数；
【解后反思】：遇到含有指数式的分式型函数判断奇偶性时，乘法比除法快；
分析：先求定义域，令 \(\sqrt{x^2+1}-x>0\)，可得到 \(x\in R\)，[1]
常规解法：采用 \(f(-x)=-f(x)\) 来判断，变形的难度很大；
\(f(-x)=\ln(\sqrt{x^2+1}+x)=\ln(\cfrac{1}{\sqrt{x^2+1}-x})\) [2]
\(=\ln(\sqrt{x^2+1}-x)^{-1}=-\ln(\sqrt{x^2+1}-x)=-f(x)\)
即函数\(f(x)\)为奇函数；
快捷解法：采用 \(f(-x)+f(x)=0\) 来判断，充分利用了对数的运算性质，变形的难度很小；
由于\(f(x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)\)，则\(f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}+x)\)，
即\(f(x)+f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)+ln(\sqrt{x^2+1}+x)=ln1=0\)，即函数\(f(x)\)为奇函数；
【解后反思】：虽然说 \(f(-x)=-f(x)\) 和 \(f(-x)+f(x)=0\) 是等价的，但是有时候我们感觉二者是有区别的，尤其是涉及到对数型函数的奇偶性的判断时，更是如此；
分析：同上例，可知\(g(-x)=lg(\sqrt{sin^2x+1}-sinx)\)，即\(g(x)+g(-x)=lg1=0\)，即函数\(g(x)\)为奇函数；
对应练习
提示：利用利用 \(f(-x)+f(x)=0\)判断；
解析：令 \(\cfrac{x-1}{x+1}>0\)，解得，\(-1<x<1\)，故定义域关于原点对称，
\(f(x)+f(-x)\)\(=\)\(\lg{\cfrac{x-1}{x+1}}\)\(+\)\(\lg{\cfrac{-x-1}{-x+1}}\)\(=\)\(\lg{\cfrac{x-1}{x+1}}\)\(+\)\(\lg{\cfrac{x+1}{x-1}}\)
\(=\)\(\lg\left({\cfrac{x-1}{x+1}}\cdot{\cfrac{x+1}{x-1}}\right)\)\(=\)\(\lg 1\)\(=\)\(0\)
则 \(f(-x)=-f(x)\)，故函数 \(f(x)\) 为奇函数；
由于当 \(x\leqslant 0\)时，\(\sqrt{x^2+1}-x>0\)恒成立，当 \(x>0\)时， \(\sqrt{x^2+1}-x=\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2}>0\)恒成立，故定义域为 \(x\in(-\infty,+\infty)\) . ↩︎
备注： 若 \(ab=1\)，则 \(a=\cfrac{1}{b}\)，则有\(\ln a=\ln\cfrac{1}{b}\)，且有
\((\sqrt{x^2+1}+x)(\sqrt{x^2+1}-x)=1\)；\((\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})=1\)； ↩︎
