如何求函数的对称中心和对称轴 | 探究拓宽
本博文主要探讨如何求函数的对称中心和对称轴，属于高一阶段的探究拓宽内容。
梳理总结
求函数的对称中心和对称轴的思路基本有以下几种：
其一：图像法，若具有对称性的函数是以图像的形式给出的，则我们直接解读图像就可以看出对称轴或者对称中心；
其二：图像变换法，有些具有对称性的函数，我们通过研究图像变换，也可以求得对称中心或对称轴，
比如，\(f(x)\)\(=\)\(\cfrac{x}{x+1}\)，变形为 \(f(x)\)\(=\)\(\cfrac{x+1-1}{x+1}\)\(=\)\(1\)\(-\)\(\cfrac{1}{x+1}\)，故以函数 \(y\)\(=\)\(-\cfrac{1}{x}\) 为变换基础[此时对称中心为 \((0,0)\) ]，将其向左平移一个单位得到函数 \(y\)\(=\)\(-\cfrac{1}{x+1}\)[此时对称中心为 \((-1,0)\) ]，再将其向上平移一个单位得到函数 \(y\)\(=\)\(1\)\(-\)\(\cfrac{1}{x+1}\)[此时对称中心为\((-1,1)\)]，故原函数 \(f(x)\)\(=\)\(\cfrac{x}{x+1}\) 的对称中心为 \((-1,1)\) . 更多内容
再比如，求函数 \(f(x)=2^{|x-1|}\) 的对称轴，我们以函数 \(y=2^{|x|}\) 为变换基础[此时对称轴为直线 \(x=0\) ]，将其向右平移一个单位得到函数 \(y=2^{|x-1|}\) [此时对称轴为直线 \(x=1\) ]，故所求的函数的对称轴为直线 \(x=1\) .
其三：抽象函数法，比如函数 \(f(x)\) 总满足 \(f(x)=f(a-x)\)(\(a\)为常数) ，则函数 \(f(x)\) 为轴对称图形，对称轴为 \(x\)\(=\)\(\cfrac{a}{2}\Leftarrow\)\(\cfrac{x+(a-x)}{2}\)，图像解释；函数 \(f(x)\) 总满足 \(f(x)+f(4-x)=2\)，则函数 \(f(x)\) 为中心对称图形，对称中心 \((x_0,y_0)\) 为 \((2,2)\)[\(\Leftarrow\)\(x_0\)\(=\)\(\cfrac{x+(4-x)}{2}=2\)，\(y_0\)\(=\)\(\cfrac{f(x)+f(4-x)}{2}=1\)]；
其四：利用以下的内容探究；
预备知识
1、多项式函数\(y=f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) 为奇函数的充要条件是\(a=c=e=0\) .
分析：由于函数 \(f(x)\) 为奇函数，故有 \(f(-x)+f(x)=0\) 恒成立，
即\(\bigg[a(-x)^4+b(-x)^3+c(-x)^2+d(-x)+e\bigg]\)\(+\)\(\bigg(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\bigg)=0\) 恒成立，
即 \(2a\cdot x^4+2c\cdot x^2+2e=0\) 恒成立，
即\(a\cdot x^4+c\cdot x^2+e=0\)对 \(\forall x\in R\) 都成立，故 $a=c=e=0 $。[1]
引申：若多项式函数为奇函数，则其偶次幂的系数一定都为 \(0\) .
2、多项式函数 \(y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) 为偶函数的充要条件是 \(b=d=0\) .
分析：仿上例可说明。
引申：若多项式函数为偶函数，则其奇次幂的系数一定都为 \(0\) .
探究引申
(1). 从偶函数的定义[2]出发, 证明函数 \(y=f(x)\) 是偶函数的充要条件是它的图象关于 \(y\) 轴对称；
证明： 充分性: 如果 \(f(x)\) 的图象关于 \(y\)轴对称， 则 \(f(x)=f(-x)\)， 所以\(f(x)\) 是偶函数；
必要性: 由偶函数的定义知， 任取 \(x \in A\)， 都有 \(-x \in A\) 且 \(f(-x)=f(x)\)，
所以\(P(x, f(x))\) 与 \(P^{\prime}(-x, f(-x))\) 关于 \(y\) 轴对称 .
由任意性可得 \(f(x)\) 的图象关于 \(y\) 轴对称 .
(2). 从奇函数的定义[3]出发， 证明函数 \(y=f(x)\) 是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称 .
证明： 充分性: 如果 \(f(x)\) 的图象关于原点对称，则 \(f(-x)=-f(x)\)，所以 \(f(x)\) 是奇函数；
必要性: 由奇函数的定义知， 任取 \(x \in A\)， 都有 \(-x \in A\) 且 \(f(-x)=-f(x)\)，
所以 \(P(x, f(x))\) 与 \(P^{\prime}(-x, f(-x))\) 关于点 \((0,0)\)对称，
由任意性可得 \(f(x)\) 的图象关于 \((0,0)\) 对称 .
(1). 求函数 \(f(x)=x^3-3 x^2\) 图象的对称中心；
解析：\(f(x+a)=(x+a)^3-3(x+a)^2\)
\(=x^3+2ax^2+a^2x+ax^2+2a^2x+a^3-3x^2-6ax-3a^2\)
\(=x^3+(3a-3)x^2+(3a^2-6a)x+a^3-3a^2\)
则 \(y=f(x+a)-b\)\(=x^3+(3a-3)x^2+(3a^2-6a)x+a^3-3a^2-b\)
又由于 \(y=f(x+a)-b\) 是奇函数，
则有，\(\left\{\begin{array}{l}{3a - 3 =0,}\\{a^{3} -3a^{2}-b = 0,}\end{array}\right.\) 解之得到，\(\left\{\begin{array}{l}a=1,\\b=-2.\end{array}\right.\)
所以，\(f(x)=x^3-3x^2\) 的对称中心为 \((1,-2)\) .
(2). 类比上述推广结论， 写出 “函数 \(y=f(x)\) 的图象关于 \(y\) 轴成轴对称图形的充要条件是函数 \(y=f(x)\) 为偶函数” 的一个推广结论.
推广结论： 函数 \(f(x)\) 的图象关于直线 \(x=a\) 对称的充要条件是 \(y=f(x+a)\) 为偶函数.
证明：充分性，由于 \(y=f(x+a)\) 为偶函数，则其满足 \(f(-x+a)=f(x+a)\)，由此得到函数 \(f(x)\) 的对称轴为直线 \(x=\cfrac{(-x+a)+(x+a)}{2}=a\) .
必要性，由于函数 \(f(x)\) 的图像关于直线 \(x=a\) 对称，故函数 \(f(x)\) 满足关系式 \(f(a+x)=f(a-x)\)，即 \(f(-x+a)=f(x+a)\)，故函数 \(f(x+a)\) 为偶函数释疑. 证毕。
法1：令\(g(x)=f(x+5)-\cfrac{5}{12}=\left[\ln\cfrac{(x+5)-4}{(x+5)-6}+\cfrac{(x+5)}{12}\right]-\cfrac{5}{12}\)\(=\ln\cfrac{x+1}{x-1}+\cfrac{x}{12}\)
则 \(g(-x)=\ln\cfrac{-x+1}{-x-1}-\cfrac{x}{12}=\ln\cfrac{x-1}{x+1}-\cfrac{x}{12}\) [6]
故 \(g(x)+g(-x)=\ln\cfrac{x+1}{x-1}+\cfrac{x}{12}+\ln\cfrac{x-1}{x+1}-\cfrac{x}{12}=\ln(\cfrac{x+1}{x-1}\times\cfrac{x-1}{x+1})=0\)
即 \(g(-x)=-g(x)\)，故 \(g(x)\) 为奇函数, 其图象关于原点对称,
故函数 \(f(x)=\ln\cfrac{x-4}{x-6}+\cfrac{x}{12}\) 的图象以 \(\left(5, \cfrac{5}{12}\right)\) 为对称中心, 命题是真命题。
法2：依据 \(f(10-x)+f(x)=\cfrac{5}{6}\) 来判断 ；
由于 \(f(x)=\ln\cfrac{x-4}{x-6}+\cfrac{x}{12}\)，
则 \(f(10-x)=\ln\cfrac{(10-x)-4}{(10-x)-6}+\cfrac{10-x}{12}=\ln\cfrac{6-x}{4-x}+\cfrac{10}{12}-\cfrac{x}{12}=\ln\cfrac{x-6}{x-4}+\cfrac{10}{12}-\cfrac{x}{12}\)，
则 \(f(10-x)+f(x)=\ln\cfrac{x-4}{x-6}+\cfrac{x}{12}+\ln\cfrac{x-6}{x-4}+\cfrac{10}{12}-\cfrac{x}{12}=\cfrac{5}{6}\) .
故函数 \(f(x)=\ln\cfrac{x-4}{x-6}+\cfrac{x}{12}\) 图像的对称中心为 \(\left(5, \cfrac{5}{12}\right)\) 。
分析：利用已有的成熟结论来求解；即函数 \(y=f(x)\) 的图象关于点 \(P(a, b)\) 成中心对称图形的充要条件是函数 \(F(x)\)\(=\)\(f(x+a)\)\(-\)\(b\) 为奇函数 .
解： 令 \(F(x)=f(x+a)-b\)，
则 \(F(x)=f(x+a)-b=\ln\cfrac{(x+a)-4}{(x+a)-6}+\cfrac{(x+a)}{12}-b=\ln\cfrac{x+a-4}{x+a-6}+\cfrac{x+a}{12}-b\)，
则 \(F(-x)=\ln\cfrac{-x+a-4}{-x+a-6}+\cfrac{-x+a}{12}-b=\ln\cfrac{x-a+4}{x-a+6}+\cfrac{-x+a}{12}-b\)，
即 \(F(x)+F(-x)=\ln\cfrac{x+a-4}{x+a-6}+\cfrac{x+a}{12}-b+\ln\cfrac{x-a+4}{x-a+6}+\cfrac{-x+a}{12}-b\)
\(=\ln\cfrac{(x+a-4)(x-a+4)}{(x+a-6)(x-a+6)}+\cfrac{2a}{12}-2b\)
\(=\ln\cfrac{[x+(a-4)][(x-(a-4)]}{[x+(a-6)][x-(a-6)]}+\cfrac{a}{6}-2b\)
\(=\ln\cfrac{x^2-(a-4)^2}{x^2-(a-6)^2}+\cfrac{a}{6}-2b\)
由于函数 \(F(x)\) 为奇函数，则 \(F(x)+F(-x)=0\) 恒成立，即对所有 \(x\in D\) 都成立 ，
即 \(\ln\cfrac{x^2-(a-4)^2}{x^2-(a-6)^2}+\cfrac{a}{6}-2b=0\) 对所有 \(x\in D\) 恒成立，
故 \(\ln\cfrac{x^2-(a-4)^2}{x^2-(a-6)^2}=0\) 且 \(\cfrac{a}{6}-2b=0\)，[7]
即 \(\cfrac{x^2-(a-4)^2}{x^2-(a-6)^2}=1\) 且 \(a=12b\)，
即 \(a=5\)，\(b=\cfrac{5}{12}\)，故函数 \(f(x)=\ln\cfrac{x-4}{x-6}+\cfrac{x}{12}\) 图像的对称中心为 \(\left(5, \cfrac{5}{12}\right)\) 。
相关延申阅读
1️⃣：函数的对称性判断
2️⃣：轴对称和中心对称
引例，已知函数 \(f(x)=x^3+(a-1)x^2+ax\)为 奇函数，则 \(a=1\) ； ↩︎
一般地，设函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(D\)，如果 \(\forall x \in D\)， 都有 \(-x \in D\)， 且 \(f(-x)=f(x)\)，那么函数 \(f(x)\) 就称为偶函数； ↩︎
一般地，设函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(D\)，如果 \(\forall x \in D\)， 都有 \(-x \in D\)， 且 \(f(-x)=-f(x)\)，那么函数 \(f(x)\) 就称为奇函数； ↩︎
具体见本页例题2的（2）. ↩︎
证明如下：
充分性：由于 \(F(x)\) 为奇函数，设其定义域为 \(D\)，则 \(\forall x\in D\)，\(-x\in D\)，且 \(F(-x)=-F(x)\) ，即 \(F(-x)+F(x)=0\)，代入即得到 \(f(-x+a)\)\(+\)\(f(x+a)\)\(=\)\(2b\)，由此式子可得到，\(y=f(x)\) 图象关于点 \((a,b)\) 成中心对称；
必要性：由于 \(y=f(x)\) 图象关于点 \((a,b)\) 成中心对称[从形上刻画]，则 \(f(x)\) 对任意 \(x\) 都满足 \(f(-x+a)\)\(+\)\(f(x+a)\)\(=\)\(2b\) [从对应的形得到的数的刻画]，即 \(f(-x+a)\)\(-\)\(b\)\(+\)\([f(x+a)\)\(-\)\(b]\)\(=\)\(0\) ，即 对任意 \(x\) 都有 \(F(-x)\)\(+\)\(F(x)\)\(=\)\(0\) 成立，即 \(y\)\(=\)\(F(x)\) 为奇函数，也即 \(y\)\(=\)\(f(x+a)\)\(-\)\(b\) 为奇函数。 ↩︎到此，我们应该能看到，\(y=\ln\cfrac{x-1}{x+1}\) 和 \(y=-\cfrac{x}{12}\) 都是奇函数，两个奇函数的和也是奇函数； ↩︎
要让这个式子对所有 \(x\in D\) 恒为零，则含有 \(x\) 的部分 \(\ln\cfrac{x^2-(a-4)^2}{x^2-(a-6)^2}\) 必须为零，即 \(\ln\cfrac{x^2-(a-4)^2}{x^2-(a-6)^2}=0\)，从而导致 \(\cfrac{a}{6}-2b\) 必须为零，即 \(\cfrac{a}{6}-2b=0\) . ↩︎
