应知应会数学常识 | 人教版新教材

前言

以前在高三教学中曾经梳理积累过常用也常见的数学常识，现在教授新教材，依托人教版新教材再次梳理和积累。必修系列 + 选择性必修系列；

必修系列1

\(\S 1.\)集合与常用逻辑用语

① 自创概念：为便于教学，引入以下自创数学概念：

✍️ 形如 \(\{x\mid 2\leqslant x\leqslant 5\}\) 的集合称为定集，形如 \(\{x\mid 2m-1\leqslant x\leqslant 3-2m\}\) 的集合称为动集刻画集合的双连不等式的左右端点值如果是常数，那也就是固定不动的，自然就能称之为定集。那么左右端点值动态变化的集合就可以称为动集。既然动态变化，就可能出现左端点值大于右端点值的情形，此时集合必然为空集，当左端点值小于右端点值时，此时集合必然是非空集合了，所以动集中一般会包含空集的情形，但不尽然，比如集合 \(\{x\mid m-2<x<m+2\}\) 就不是空集。以后自然可以理解定区间、动区间概念了。，形如 \(y\)\(=\)\(ax^2\)\(+\)\(bx\)\(+\)\(c\) 的函数称为仿二次函数初中学习了二次函数，学生对解析式 \(y=ax^2+bx+c(a\neq 0)\) 对应二次函数已经形成了顽固的思维定势，以至于高中见到解析式 \(y=ax^2+bx+c\)\((a\in R)\) 或 \(y=ax^2+bx+c\)都会自然而然的认为是二次函数，其实它们只是样子像二次函数，当\(a\neq0\) 时为二次函数，当 \(a=0\)时为一次(如果\(b\neq 0\))或常函数，故我们称解析式 \(y=ax^2+bx+c\)对应的函数为仿二次函数，以后一提到它，就知道有可能\(a=0\)，也有可能\(a\neq 0\)，为研究问题方便，就常常需要针对 \(a\) 分类讨论了。类似的，我们也能将 \(y=kx+b\) 理解成仿一次函数了。，形如 \(ax^2\)\(+\)\(bx\)\(+\)\(c\)\(=\)\(0\) 的方程称为仿二次方程、形如 \(ax^2\)\(+\)\(bx\)\(+\)\(c\)\(>\)\(0\)(或\(\leqslant0\)) 的不等式称为仿二次不等式，以后提到仿XX系列，一般需要分类讨论了。

② 高一开始涉及几种数学思想，如分类讨论，数形结合、转化化归等；

③ 引入恒成立命题，注意恒成立命题的等价说法，比如解集是 \(R\) ，比如命题 \(p\) 为真命题，再比如非\(p\) 为假命题等等（甚至注意每一种说法所对应的文字语言刻画）.

④ 恒正式，如 \(x^2\pm x+1>0\) 因为其\(\Delta=(\pm 1)^2-4\times1\times1<0\)，这样我们可以轻松的将高次不等式 \((x^2+x+1)(x-2)>0\) 等价转化为 \(x-2>0\) ，再比如以后要学到 \(2^x>0\) ，\(e^x>0\)，\(e^x+e^{-x}>0\) 等等；

⑤ 等价式 \(|x|^2=x^2\;\)可以将 \(x^2-3|x|+2\geqslant0\)轻松转化为 \(|x|^2-3|x|+2\geqslant0\)，令 \(t=|x|\)，从而再次转化为 \(t^2-3t+2\geqslant0\)，从而可解。； \(a=(\sqrt{a})^2\;\)可以将 \(a+2\sqrt{a}\geqslant 8\)轻松转化为 \((\sqrt{a})^2+2\sqrt{a}-8\geqslant0\)，令 \(t=\sqrt{a}\)，从而再次转化为 \(t^2+2t-8\geqslant 0\)，从而可解。；

\(\S 2.\)一元二次函数、方程、不等式

①不等式性质，倒数法则；当 \(ab>0\) 时，若 \(a>b\)，则 \(\cfrac{1}{a}<\cfrac{1}{b}\) .

②自创概念： 在基本不等式素材中，

形如 \(ax+\cfrac{b}{x}\;\)(\(a\),\(b\)为正常数) 或 \(\cfrac{y}{x}+\cfrac{x}{y}\) 或 \(\cfrac{a^2+b^2}{ab}=\cfrac{b}{a}+\cfrac{a}{b}\;(ab>0)\) 称为定积式[如 \(ax\cdot \cfrac{b}{x}=ab\)]等，这样能自然想起用均值不等式求最小值，比如 \(\cfrac{y}{x}+\cfrac{x}{y}\geqslant 2\) .

形如 \(x\cdot(2-x)(0<x<2)\) 的表达式称为定和式 [如 \(x+(2-x)=2\)，其和为定值]，自然想到使用均值不等式求最大值，比如 \(x\cdot(2-x)\leqslant[\cfrac{x+(2-x)}{2}]^2=1\)。

✍️ 常用不等式结论：

\(a^2+b^2+c^2\geqslant ab+bc+ca\)（\(a,b,c\in R\)）（当且仅当 \(a=b=c\) 时取到等号）；

\((a+b)(b+c)(c+a)\geqslant 8abc\)（\(a,b,c>0\)）（当且仅当 \(a=b=c\) 时取到等号）；

\((\cfrac{y}{x}+\cfrac{z}{y})(\cfrac{z}{y}+\cfrac{x}{z})(\cfrac{x}{z}+\cfrac{y}{x})\geqslant 8\)（\(x,y,z>0\)）（当且仅当 \(x=y=z\) 时取到等号）；

✍️ 已知\(a>0,b>0,a+b=1\)，可知\(ab\)的范围。^[1]

③ 注意高中数学中的字母的内涵；注意分式的常用变形；

\(\S 3.\)函数的概念与性质

\(\S 4.\)指数函数与对数函数

必修系列2

待整理；

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1. 分析：\(1=a+b\ge 2\sqrt{ab}\)，故有\(0<\sqrt{ab}\leq \cfrac{1}{2}\)，即\(0< ab\leq \cfrac{1}{4}\)。 ↩︎