集合中的多题一解
集合中的多题一解
前情概要
集合的学习中，有一类题目很多见，就是“已知集合的关系求参数的取值范围的题目”，有时候集合的关系却是以集合的运算形式给出来的，理解和掌握这类等价关系显得非常关键，往往可以快速转化，从而实现多题一解的效果。
读者定位
本博文适合对数学有一定的理解，且思维比较活跃的学生阅读，能帮助学生进一步理解转化化归思想，活跃学生的思维。
典例剖析
【解析】：由于集合 \(A\) 为定集，集合 \(B\) 为动集，又因为 \(B\subseteq A\)，故需要针对集合 \(B\) 分类讨论如下：
1、当集合 \(B=\varnothing\) 时用不等式表示的集合，其左端点值超过右端点值，则此不等式表示空集。若左端点值不超过右端点值，则其不是空集。，则有 \(m+1\ge 2m-1\)，解得 \(m\leq 2\)；
2、当集合 \(B\neq\varnothing\) 时，必须满足三个条件，即 \(\left\{\begin{array}{l}{m+1< 2m-1}\\{ -2 \leq m+1}\\{2m-1 \leq7}\end{array}\right.\) ，解得 \(2<m\leq 4\) ；
综上所述：实数 \(m\) 的取值范围是 \(\{m\mid m\leq 4\}\)。
【变式题01】已知集合 \(A=\{x\mid -2\leq x\leq 7\}\)，集合 \(B=\{x\mid m+1< x<2m-1 \}\) ，若 \(A\cap B=B\)，求实数 \(m\) 的取值范围.
解析：由于 \(A\cap B=B\) 等价于 \(B\subseteq A\) ，题目转化为上题，其余解答过程同上。
【变式题02】已知集合 \(A=\{x\mid -2\leq x\leq 7\}\)，集合 \(B=\{x\mid m+1< x<2m-1 \}\) ，若 \(A\cup B=A\)，求实数 \(m\) 的取值范围.
解析：由于 \(A\cup B=A\) 等价于 \(B\subseteq A\) ，题目转化为上题，其余解答过程同上。
【变式题03】已知集合 \(A=\{x\mid -2\leq x\leq 7\}\)，集合 \(B=\{x\mid m+1< x<2m-1 \}\) ，若 \(\complement_UA\subseteq \complement_UB\) ，求实数 \(m\) 的取值范围.
解析：由于 \(\complement_UA\subseteq \complement_UB\) 等价于 \(B\subseteq A\) ，题目转化为上题，其余解答过程同上。
【变式题04】已知集合 \(A=\{x\mid -2\leq x\leq 7\}\) ，集合 \(B=\{x\mid m+1< x<2m-1 \}\) ，若 \(B\cap(\complement_UA)=\varnothing\) ，求实数 \(m\) 的取值范围.
解析：由于 \(B\cap(\complement_UA)=\varnothing\) 等价于 \(B\subseteq A\) ，题目转化为上题，其余解答过程同上。
转化化归
- 可以将命题之间的充分、必要条件问题转化为集合之间的包含或相等关系问题，这样新问题就又转化为上述的模型了。
【解析】先化简命题 \(p\)，由\((x-m)^2>3(x-m)\)，得到 \(x^2-(2m+3)x+m^2+3m>0\)，
即 \(x^2-(2m+3)x+m(m+3)>0\)，即\((x-m)[x-(m+3)]>0\)，
令命题 \(p\) 对应的集合为 \(A=\{x\mid x>m+3\) 或 \(x<m\}\)； 命题 \(q\) 对应的集合为 \(B=\{x\mid -4<x<1\}\)；
因为 \(p\) 是 \(q\) 成立的必要不充分条件，则有 \(B\subsetneqq A\)，[到此，题目已经完全转化为上述的多题一解类型了]
即 \(\{x\mid-4<x<1\}\subsetneqq \{x\mid x>m+3或x<m\}\)，
所以 \(m+3≤-4\) 或 \(m≥1\)，解之得到，\(m≤-7\) 或 \(m≥1\)，
故 \(m\) 的取值范围为 \((-\infty，-7]\cup[1，+\infty)\)。
