解不等式到底想考啥

公式定理💯随心记

【三角函数诱导公式】文字语言：奇变偶不变，符号看象限。符号语言：$\sin (\cfrac {\pi}{2}\pm\alpha)=\cos\alpha$；$\cos (\cfrac {\pi}{2}\pm\alpha)=\mp\sin\alpha$；$\tan (\cfrac {\pi}{2}\pm\alpha)=\mp\cot\alpha$

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前言

高中阶段的许多学生本以为 解不等式 是个比较轻松的工作，结果弄得晕头转向，不知所以，现在试着分层次将其作以梳理。 常见不等式解法 ;

典例剖析

✍️ 层次一：以考查常用的数学变形和数学运算为主，这类题目主要集中在初中数学层面，高中学生常常会在集合、常用逻辑用语、线性规划等章节中遇到，大多在高一高二的时间段内涉及到；

求解不等式 $\cfrac{2x+1}{2}-\cfrac{6x-1}{3}<\cfrac{3}{2}$；

解：不等式两边同时乘以两个分母 $2$，$3$ 的最小公倍数 $6$ ，

去分母，变形为 $3(2x+1)-2(6x-1)<9$，

去括号，变形为 $6x+3-12x+2<9$，

移项，合并同类项，变形为 $-6x<4$，

系数化为 $1$，变形为 $x>-\cfrac{2}{3}$ .

[解后反思]：上述已知的不等式虽然有分母，但是其并不是分式不等式，是因为分母位置上没有未知数；另外，上述的不等式属于代数不等式，求解时常用的变形方法有去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 $1$ 等。

等到我们对以上层次的问题处理的驾轻就熟时，也往往就形成了一定的思维定势，以为所有的不等式问题都可以通过代数的手段来解决。这种相对固定的思维模式，此时对高中学生来说，更多的体现为一种劣势和灾难。

✍️ 层次二：利用函数的图像解不等式 [常常是超越不等式]，更多的从形的角度来考查学生思维的灵活性。考查学生是否有数形结合思维的主动性，是否具备作图、识图、用图的数学应用意识。此类题目常常在高一高二的扶优辅导题目和高三的一轮复习中出现。

【2020 届高三文科数学用题】设函数 $y=f(x+1)$ 是定义在 $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$ 上的偶函数，在区间 $(-\infty,0)$ 上是减函数，且图像经过点 $(1，0)$，则不等式 $(x-1)\cdot f(x)\leqslant 0$ 的解集为______。

分析：由于 $f(x+1)$ 为偶函数，故其满足 $f(-x+1)=f(x+1)$，则函数 $f(x)$ 的对称轴为 $x=1$，

可以先做出函数 $y=f(x+1)$ 的示意图，再向右平移一个单位得到函数 $y=f(x)$ 的示意图如下，

不等式 $(x-1)\cdot f(x)\leqslant 0$ 可化为 $\left\{\begin{array}{l}{x>1}\\{f(x)\leqslant 0}\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}{x<1}\\{f(x)\geqslant 0}\end{array}\right.$

解读图像可知，解集为 $\{x\mid x\leqslant 0 或 1<x\leqslant 2\}$，故 $x\in (-\infty，0]\cup(1，2]$.

解关于 $x$ 的不等式 $\ln x+x>1$；

分析：你应该能感觉到，这个题目用我们平常的那种解法 (代数解法) 已经不能做出来了，因为它不是我们熟悉的那种代数不等式，而是超越不等式，这时候就需要我们借助图像来求解。

将原不等式变形为 $\ln x>1-x$ ，此时不等式的两端都是基本初等函数或初等函数，便于做出图像，

分别作出两个函数 $y=\ln x$ 和 $y=1-x$ 的图像观察求解，如右图所示，解集为 $(1，+\infty)$；

思路 2：从数的角度，利用函数计算，令 $g(x)=lnx+x-1(x>0)$，

则 $g'(x)=\cfrac{1}{x}+1>0$ 恒成立，故 $g(x)$ 在 $(0，+\infty)$ 上单调递增，

又 $g(1)=0$，故 $0< x<1$ 时，$g(x)<0$，$x>1$ 时 $g(x) >0$，

综上，故 $x$ 的取值范围为 $(1，+\infty)$。 更多

✍️ 层次三：不等式问题中常涉及具体函数 [这类不等式我们可称之为函数不等式]，要解决相关不等式，就必须利用具体函数的相关性质，如定义域值域，单调性，奇偶性，周期性等等，如果想不到调整思维方向，必定思维卡壳。此类题目常常在高三的二轮复习或者模考层次的题目中出现。

已知函数 $f(x)=\cfrac{4^x-1}{2^x}$ ，则不等式 $2x\cdot f(x)-3<0$ 的解集为 _____________。

解析： 本题属于求解涉及具体函数的不等式问题，首先将分式形式的函数变形为我们用心储备的熟悉的函数，

$f(x)=\cfrac{4^x-1}{2^x}=2^x-2^{-x}$ ^[1]， 奇函数， 相关知识

原不等式 $2x\cdot f(x)-3<0$ 等价于 $x\cdot f(x)<\cfrac{3}{2}$，然后研究左端函数的性质此时求解函数不等式时，首先要具备的思维是一般不能用代数方法 [比如移项，去括号，系数化 1 等] 求解，而要用到函数的相关性质求解 [比如定义域，单调性，奇偶性等]，此时给定的解析式仅仅是为了得到相关的性质。，相关例

而函数 $F(x)=x\cdot f(x)$ 为偶函数，过 $(0,0)$ 点，$(-\infty,0)$ 单调递减，$(0,+\infty)$ 单调递增，

又 $F(1)=\cfrac{3}{2}$，即 原不等式等价于 $F(x)<\cfrac{3}{2}=F(1)$，故 $F(|x|)<F(1)$，

即 $|x|<1$ ，故 $x\in (-1,1)$ 。 更多

✍️ 层次四：不等式问题中涉及抽象函数 [这类不等式我们可称之为函数不等式，抽象函数比具体函数更难把握]，要解决相关不等式，就必须利用抽象函数的相关性质，如定义域值域，单调性，奇偶性，周期性等等，如果想不到由抽象函数提炼器相关性质，必定会一脸茫然。此类此类题目常常在高三的二轮复习或者模考层次或高考的题目中出现。

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $|x|\leq 1$ 的补集，且在定义域上恒有 $f(-x)-f(x)=0$，若 $f(x)$ 在 $(1，+\infty)$ 上恒有 $f'(x)>0$ 成立，$f(x)-f(2x-1)<0$，求实数 $x$ 的取值范围。

分析：函数的定义域为 $|x|>1$，为偶函数，且在 $(1，+\infty)$ 上单调递增，

故由 $f(x)-f(2x-1)<0$，等价转化为 $f(|x|)<f(|2x-1|)$，接下来由定义域和单调性二者限制得到，

$\left\{\begin{array}{l}{|x|>1}\\{|2x-1|>1}\\{|x|<|2x-1|}\end{array}\right.$ 上式等价于 $\left\{\begin{array}{l}{|x|>1①}\\{|x|<|2x-1|②}\end{array}\right.$

解①得到，$x<-1$ 或 $x>1$；

解②，两边同时平方，去掉绝对值符号，得到 $x<\cfrac{1}{3}$ 或 $x>1$；

二者求交集得到，$x<-1$ 或 $x>1$，

即实数 $x$ 的取值范围是 $(-\infty，-1)\cup(1，+\infty)$。

【2019 届宝鸡市高三理科数学质检 Ⅰ 第 16 题】已知定义在实数集 $R$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(1)=4$，且 $f(x)$ 的导函数 $f'(x)<3$，则不等式 $f(\ln x)>3\ln x+1$ 的解集为______。

分析：我们先用整体思想将需要求解的不等式中的 $lnx$ 理解为一个整体，这样原不等式就变形为 $f(t)>3t+1$，此时我们用 $左 - 右$，做差构造新函数。【为什么这样构造？带着问题继续往下看】

令 $g(x)=f(x)-3x-1$，于是 $g'(x)=f'(x)-3$，由已知条件 $f'(x)<3$，则可知 $g'(x)<0$，

这样构造后我们能轻易知道这个函数的单调性，即函数 $g(x)$ 在 $R$ 上单调递减，

又 $g(1)=f(1)-3\times 1-1=f(1)-4=0$，

到此我们就完全清楚了所构造的函数的性质，在 $R$ 上单调递减，且有唯一的零点为 $x=1$，

故由 $g(x)>0$ 可以得到解为 $x<1$，由 $g(x)<0=g(1)$ 可以得到解为 $x>1$，

现在 $f(\ln x)>3\ln x+1$ 等价于 $g(\ln x)>0$，故得到 $\ln x<1$，

解得 $0<x<e$，故解集为 $(0，e)$。 更多

[解后反思]：本题目涉及构造函数的方法，是个难题；为什么这样的题目比较难？原因是平时我们习惯于被动利用题目所给的函数解题，而本题目需要我们主动构造函数，在数学的应用意识上有相当高的要求；在上例中我们发现，只有能充分利用题目所给的条件的构造才是有效的构造。

相关练习

已知集合 $A=\{x\mid -x^2+3x+10\geqslant 0\}$，$B=\{x\mid m+1\leqslant x\leqslant 2m-1\}$，若 $A\cap B\neq \varnothing$，则 $m$ 的取值范围是【】

$A.[\cfrac{1}{2}，4]$ $B.(-\infty，\cfrac{1}{2})\cup(4，+\infty)$ $C.[2，4]$ $D.(2，4)$

法 1：直接法，$A=[-2，5]$，$B=[m+1，2m-1]$，

由于 $A\cap B\neq \varnothing$，则 $B\neq \varnothing$，

则 $\left\{\begin{array}{l}{m+1\leqslant 2m-1}\\{-2\leqslant m+1\leqslant 5}\end{array}\right.$①或 $\left\{\begin{array}{l}{m+1\leqslant 2m-1}\\{-2\leqslant 2m-1\leqslant 5}\end{array}\right.$②,

解①得到，$2\leqslant m\leqslant 4$；解②得到，$2\leqslant m\leqslant 3$；

求其并集，得到 $2\leqslant m\leqslant 4$；故选 $C$；

法 2：间接法，$A=[-2，5]$，$B=[m+1，2m-1]$，先求 $A\cap B=\varnothing$，

①当 $B=\varnothing$ 时，则 $m+1>2m-1$，解得 $m<2$；

②当 $B\neq \varnothing$ 时，要使得 $A\cap B=\varnothing$，

则 $\left\{\begin{array}{l}{m\geqslant 2}\\{m+1>5}\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}{m\geqslant 2}\\{2m-1<-2}\end{array}\right.$

解得 $m>4$，

综上可知，$A\cap B=\varnothing$ 时，$m<2$ 或 $m>4$，

故 $A\cap B\neq\varnothing$ 时，$2\leqslant m\leqslant 4$，故选 $C$；

解关于 $x$ 的不等式 $\log_2^{\;\;x}>\cfrac{2}{x}$；解集为 $(2，+\infty)$；

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1. 化简过程， $\cfrac{4^x-1}{2^x}=\cfrac{(2^x)^2}{2^x}-\cfrac{1}{2^x}=2^x-2^{-x}$ ； ↩︎