向量的投影与投影向量 | 新高考新增

前情概要

关于向量，以前我们学习了概念：向量的投影，现在新人教 \(A\) 版教材中又出现了新概念：投影向量，如何理解和区分这两个数学概念？这个我们得从向量的内积谈起：

向量的数量积

已知两个非零向量 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 由于我们研究的是自由向量，所以可以平移任意两个非零向量，使得其起点为同一个点，如图所示 ，它们的夹角为 \(\theta\) ， 我们把数量 \(|\vec{a}|\)\(\cdot\)\(|\vec{b}\)\(|\cdot\)\(\cos\theta\) 叫做向量 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 的数量积 \(\big[\)或内积，由于用小圆点表示乘法，故也称为点乘，谨记不要写成叉乘 ^[1] ，如 \(\vec{a}\times\vec{b}\) \(\big]\) ， 记作 \(\vec{a}\cdot \vec{b}\)， ^[2]

\[\bbox[15px,yellow,border:1px dashed red]{\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\theta} \]

规定: 零向量 \(\vec{0}\) 与任一向量的数量积为 0 。对比向量的线性运算， 我们发现， 向量线性运算的结果是一个向量， 而两个向量的数量积是一个数量， 这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关。

• 内积[ 点乘 ]的几何意义包括：

①. 表征或计算两个向量之间的夹角，从表达式 \(\vec{a}\)\(\cdot\)\(\vec{b}\)\(=\)\(|\vec{a}|\)\(\cdot\)\(|\vec{b}|\)\(\cdot\)\(\cos\theta\) ，可以分析得到，当已知 \(\vec{a}\)\(\cdot\)\(\vec{b}\) 和 \(|\vec{a}|\)以及 \(|\vec{b}|\) 时，我们就可以求解两个向量之间的夹角；

②. \(\vec{a}\) 向量在 \(\vec{b}\) 向量方向上的投影[ 或 \(\vec{b}\) 向量在 \(\vec{a}\) 向量方向上的投影 ]；

向量的投影

• 最新的人教2019A版中不再提及向量的投影这个概念。

过点 \(A\) 做向量 \(\vec{b}\) 所在直线的垂线段，垂足为点 \(A_1\)，则有向线段 \(OA_1\) 称为向量 \(\vec{a}\) 在向量 \(\vec{b}\) 上的投影[此为向量投影的形的表达]，故向量的投影是有向线段的数量，可正，可负，可零。当\(0\leq\)\(\theta\)\(<\)\(\cfrac{\pi}{2}\)时，此投影为正，当\(\theta\)\(=\)\(\cfrac{\pi}{2}\)时，此投影为 \(0\)， 当\(\cfrac{\pi}{2}\)\(<\)\(\theta\)\(\leq\)\(\pi\)时，此投影为负。

由表达式 \(\vec{a}\)\(\cdot\)\(\vec{b}\)\(=\)\(|\vec{a}|\)\(\cdot\)\(|\vec{b}|\)\(\cdot\)\(\cos\theta\) 可知 ，向量 \(\vec{a}\) 在向量 \(\vec{b}\) 上的投影为\(|\vec{a}|\)\(\cdot\)\(\cos\theta\) [此为向量投影的数的表达]。 同理，向量 \(\vec{b}\) 在向量 \(\vec{a}\) 上的投影为\(|\vec{b}|\)\(\cdot\)\(\cos\theta\)。

【人教 2019A 版必修二教材\(P_{24}\) 页习题 6.2 第 24 题】如图，在 \(\odot C\) 中，是不是只需要知道 \(\odot C\) 的半径或弦 \(AB\) 的长度，就可以求出 \(\overrightarrow{AB}\)\(\cdot\)\(\overrightarrow{AC}\) 的值？

法1：结合图形，\(\cos\theta=\cfrac{|\overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{AC}|}=\cfrac{\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}|}\)，

则 \(\overrightarrow{AB}\)\(\cdot\)\(\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\)\(\cdot\)\(|\overrightarrow{AC}|\cos\theta\)\(=\)\(|\overrightarrow{AB}|\)\(|\overrightarrow{AC}|\)\(\cfrac{\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}|}\)\(=\)\(\cfrac{1}{2}\)\(|\overrightarrow{AB}|^2\) .

法2：利用向量的投影，可知 \(\overrightarrow{AC}\) 的投影为有向线段 \(AD\) ，从数上做解释即，\(|\overrightarrow{AC}|\)\(\cos\theta\)\(=\)\(|AD|\)\(=\)\(\cfrac{1}{2}\)\(|\overrightarrow{AB}|\) ，故 \(\overrightarrow{AB}\)\(\cdot\)\(\overrightarrow{AC}\)\(=\)\(|\overrightarrow{AB}|\)\(|\overrightarrow{AC}|\)\(\cos\theta\)\(=\)\(\cfrac{1}{2}\)\(|\overrightarrow{AB}|^2\) .

【2024高一训练题目】如图是从窗花图中抽象出的正八边形，若正八边形 \(ABCDEFGH\) 的边长为 \(2\)，\(P\) 是正八边形 \(ABCDEFGH\) 八条边上的动点， 则 \(\overrightarrow{AP}\)\(\cdot\)\(\overrightarrow{AB}\) 的最大值为 【\(\qquad\)】

$A.\sqrt{2}$ $B.4+2\sqrt{2}$ $C.2+\sqrt{2}$ $D.2\sqrt{2}$

解：拉动点 \(P\)，此点可以在正八边形上自由运动[课件可以全屏]，

由向量的投影可知，\(\overrightarrow{AP}\) 的投影是有向线段 \(AT\)[当和向量 \(\overrightarrow{AB}\) 同方向时有向线段为正，当和向量 \(\overrightarrow{AB}\) 反方向时有向线段为负]，其数量为 \(|\overrightarrow{AP}|\cos\theta\)，注意这个有向线段的数量可正、可负、可零，故当点 \(P\) 在线段 \(CD\) 上运动时，有向线段 \(AT\) 为正且同时达到最大，

由正 \(n\) 边形的内角和为 \((n-2)\times180^{\circ}\) 可知，正八边形的每一个内角为 \(\cfrac{(8-2)\times180^{\circ}}{8}=135^{\circ}\)；又由正 \(n\) 边形的外角和定理可知其外角为 \(45^{\circ}\) ^[3]，故在 \(Rt\triangle BCM\) 中，\(\angle CBM=45^{\circ}\)，则由 \(BC=2\) 可知 \(BM=\sqrt{2}\)，故 \(AT\) 的最大值为 \(AM=2+\sqrt{2}\)，则 \(\overrightarrow{AP}\)\(\cdot\)\(\overrightarrow{AB}\)\(=\)\(|\overrightarrow{AB}|\)\(\cdot\)\(|\overrightarrow{AP}|\)\(\cos\theta\)\(=\)\(|\overrightarrow{AB}|\)\(\times\)\(AM\)\(=\)\(2(2+\sqrt{2})\)\(=\)\(4+2\sqrt{2}\)，故选 \(B\) .

【2019届高三理科数学三轮模拟试题】已知向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)满足\(|\vec{a}|=3\)，\(|\vec{b}|=2\sqrt{3}\)，且\(\vec{a}\perp (\vec{a}+\vec{b})\)，则\(\vec{a}\)在\(\vec{b}\)方向上的投影为【\(\qquad\)】

$A.3$ $B.-3$ $C.-\cfrac{3\sqrt{3}}{2}$ $D.\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

回顾：由向量的内积定义，\(\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\times|\vec{b}|\times cos\theta\)，其中\(\theta=<\vec{a}，\vec{b}>\)，

则\(\vec{a}\)在\(\vec{b}\)方向上的投影为\(|\vec{a}|\times cos\theta\)；\(\vec{b}\) 在 \(\vec{a}\) 方向上的投影为 \(|\vec{b}|\times cos\theta\)；

解析：由\(\vec{a}\perp (\vec{a}+\vec{b})\)，得到\(\vec{a}\cdot (\vec{a}+\vec{b})=0\)，即\(\vec{a}^2+\vec{a}\cdot \vec{b}=0\)，

则有\(9+2\sqrt{3}|\vec{a}|cos\theta=0\)，即\(|\vec{a}|\times cos\theta=-\cfrac{3\sqrt{3}}{2}\)，故选 \(C\) .

投影向量

如下图所示，设 \(\vec{a}, \vec{b}\) 是两个非零向量， \(\overrightarrow{AB}=\vec{a}\)， \(\overrightarrow{CD}=\vec{b}\)， 我们考虑如下的变换: 过 \(\overrightarrow{AB}\) 的起点 \(A\) 和终点 \(B\)，分别作 \(\overrightarrow{CD}\) 所在直线的垂线， 垂足分别为 \(A_1\)，\(B_1\)，得到 \(\overrightarrow{A_1B_1}\)， 我们称上述变换为向量 \(\vec{a}\) 向 向量 \(\vec{b}\) 投影project，此处可以理解为在两个向量所在的平面内有一条和直线CD垂直的线光源从上往下照射，从而使得向量 \(\overrightarrow{AB}\) [也就是俗称的被投影向量，投影的源头向量]的影子就是向量 \(\overrightarrow{A_1B_1}\)，向量 \(\overrightarrow{A_1B_1}\) 叫做向量 \(\vec{a}\) 在向量 \(\vec{b}\) 上的投影向量。且此投影向量\(\overrightarrow{A_1B_1}\)\(=\)\(|\overrightarrow{AB}|\)\(\cdot\)\(\cos\theta\)\(\cdot\)\(\vec{e}\)，其中 \(\theta\) 为向量 \(\overrightarrow{AB}\) 与向量 \(\overrightarrow{A_1B_1}\) 的夹角， 向量 \(\vec{e}\) 为向量 \(\overrightarrow{CD}\) 的单位向量。

• 综上所述，向量的投影 是个数量，投影向量 是个向量。

投影向量公式

如图所示，在平面内任取一点 \(O\) ，作 \(\overrightarrow{OM}=\vec{a}\)， \(\overrightarrow{ON}=\vec{b}\)，过点 \(M\) 作直线 \(ON\) 的垂线，垂足为 \(M_1\) ，则 \(\overrightarrow{OM_1}\) 就是向量 \(\vec{a}\) 在向量 \(\vec{b}\) 上的投影向量。

设与向量 \(\vec{b}\) 方向相同的单位向量为 \(\vec{e}\)^[4]， \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 的夹角为 \(\theta\) ，则投影向量 \(\overrightarrow{OM_1}\) 为

\[\overrightarrow{OM_1}=|\vec{a}|\;\cos\theta\;\vec{e} \]

• 投影向量的模为 \(|\overrightarrow{OM_1}|=|\vec{a}||\cos\theta||\vec{e}|=|\vec{a}||\cos\theta|\)

求解投影向量

【2023人教A版高一第二册】已知 \(\triangle ABC\) 外接圆的圆心为 \(O\)， 半径为 \(1\)，\(2\overrightarrow{AO}\)\(=\)\(\overrightarrow{A B}\)\(+\)\(\overrightarrow{AC}\)， 且 \(\sqrt{3}|\overrightarrow{OA}|=\)\(|\overrightarrow{AB}|\)， 则向量 \(\overrightarrow{AB}\) 在向量 \(\overrightarrow{BC}\) 上的投影向量为【\(\qquad\)】

$A.\cfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}$ $B.\cfrac{\sqrt{3}}{4}\overrightarrow{BC}$ $C.\cfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}$ $D.-\cfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}$

解析：首先做出适合题意的示意图，此时并不能确定点 \(O\) 为 \(BC\) 的中点，设 \(BC\) 的中点为 \(E\)，则由向量的平行四边形法则可知，\(\overrightarrow{A B}\)\(+\)\(\overrightarrow{AC}\)\(=\)\(2\overrightarrow{AE}\)，故可知 \(2\overrightarrow{AO}\)\(=\)\(2\overrightarrow{AE}\)，故 点\(O\) 和点 \(E\) 重合，则可确定点 \(O\) 为 \(AD\) 的中点，且点 \(O\) 也为 \(BC\) 的中点，故可知 \(\angle A\) 为直角。

又由 \(\sqrt{3}|\overrightarrow{OA}|=\)\(|\overrightarrow{AB}|\)，可知 \(\cfrac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{OA}|}=\sqrt{3}\)，即 \(\cfrac{|\overrightarrow{AB}|}{\frac{1}{2}|\overrightarrow{BC}|}=\sqrt{3}\)，

也即 \(\cfrac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{BC}|}=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)，则 \(\cos\angle ABC=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)，

故 \(\angle ABC=\cfrac{\pi}{6}\)， \(\angle ACB=\cfrac{\pi}{3}\)，又 \(OA=1\)，可知 \(BC=2\)，\(AC=1\)，\(AB=\sqrt{3}\)，

按照投影向量的定义，向量 \(\overrightarrow{AB}\) 在向量 \(\overrightarrow{BC}\) 上的投影向量为 \(|\overrightarrow{AB}|\)\(\cdot\)\(\cos\theta\)\(\cdot\)\(\vec{e}\)，\(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3}\)，向量 \(\overrightarrow{AB}\) 与向量 \(\overrightarrow{BC}\) 的夹角为 \(\pi-\cfrac{\pi}{6}=\cfrac{5\pi}{6}\)，注意不是三角形的内角 \(\angle ABC\)，而向量 \(\vec{e}\) 为向量 \(\overrightarrow{BC}\) 的单位向量，\(\vec{e}\)\(=\)\(\cfrac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}\)\(=\)\(\cfrac{\overrightarrow{BC}}{2}\)，

这样可知向量 \(\overrightarrow{AB}\) 在向量 \(\overrightarrow{BC}\) 上的投影向量为\(\sqrt{3}\times(-\cfrac{\sqrt{3}}{2})\times\cfrac{\overrightarrow{BC}}{2}=-\cfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}\)，故选 \(D\) .

【2024高一联考】在平面直角坐标系中，\(A(3,4)\)，\(B(1,8)\)，\(C(-1,6)\)，则向量 \(\overrightarrow{AB}\) 在向量 \(\overrightarrow{AC}\) 上的投影向量的坐标为【\(\qquad\)】

$A.(-\cfrac{16}{5},-\cfrac{8}{5})$ $B.(\cfrac{8}{5},-\cfrac{4}{5})$ $C.(-\cfrac{16}{5},\cfrac{8}{5})$ $D.(-\cfrac{8}{5},\cfrac{4}{5})$

解析：\(\overrightarrow{AB}=(-2,4)\)，\(\overrightarrow{AC}=(-4,2)\)，由投影向量的定义可知， 所求投影向量为

\(|\overrightarrow{AB}|\times \cfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}\times\cfrac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}\)\(=\cfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|^2}\cdot\overrightarrow{AC}=\cfrac{16}{20}(-4,2)=(-\cfrac{16}{5},\cfrac{8}{5})\)

故选 \(C\) .

【2024高一训练题目】已知非零向量 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)满足 \(\vec{b}=(\sqrt{3},1)\)，\(<\vec{a},\vec{b}>=\cfrac{\pi}{3}\)，若 \((\vec{a}-\vec{b})\perp\vec{a}\)，则向量 \(\vec{a}\) 在向量 \(\vec{b}\) 方向上的投影向量为 【\(\qquad\)】

$A.\cfrac{1}{4}\vec{b}$ $B.\cfrac{1}{2}\vec{b}$ $C.\cfrac{\sqrt{3}}{2}\vec{b}$ $D.\vec{b}$

解 ：依照投影向量的概念，向量 \(\vec{a}\) 在向量 \(\vec{b}\) 方向上的投影向量为 \(|\vec{a}|\cdot\cos<\vec{a},\vec{b}>\cdot\cfrac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\)，应该是个向量，

由于 \((\vec{a}-\vec{b})\perp\vec{a}\)，则 \((\vec{a}-\vec{b})\cdot\vec{a}=0\)，即 \(\vec{a}^2-\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，

也即 \(|\vec{a}|^2=\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos<\vec{a},\vec{b}>\)，则可得 \(|\vec{a}|=|\vec{b}|\cos<\vec{a},\vec{b}>\)，

代入投影向量的定义式，可得到 \(|\vec{a}|\cdot\cos<\vec{a},\vec{b}>\cdot\cfrac{\vec{b}}{|\vec{b}|}=|\vec{b}|\cos<\vec{a},\vec{b}>\cdot\cos<\vec{a},\vec{b}>\cdot\cfrac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\)，

即得到 向量 \(\vec{a}\) 在向量 \(\vec{b}\) 方向上的投影向量为 \(\cos^2\cfrac{\pi}{3}\cdot \vec{b}\)，即 \(\cfrac{1}{4}\vec{b}\)，故选 \(A\) .

典例剖析

【2018西安八校联考第5题】已知\(O\)是坐标原点，点\(A(2，1)\)，点\(M(x，y)\)是平面区域\(\begin{cases}y\leq x\\x+y\leq 1\\y\geq -1\end{cases}\)内的一个动点，则\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}\)的最大值是多少？

【法1】：利用向量的坐标运算得到，\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}=2x+y\)，故转化为求 \(2x+y\) 的最大值，即求 \(z=2x+y\) 的最大值，用线性规划的常规方法解决即可。

【法2】：利用向量的投影的几何意义求解，说明：点\(M\)是三角形区域内部及边界上的一个动点，动画只做了点\(M\)在边界上的情形；

注：图中有向线段\(OB\)是向量\(\overrightarrow{OM}\)在向量\(\overrightarrow{OA}\)方向上的投影，它是可正，可负，可零的；

\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}=|\overrightarrow{OA}|\cdot |\overrightarrow{OM}|\cdot cos\theta\)，其中\(|\overrightarrow{OA}|\)是个定值，

故只需要求\(|\overrightarrow{OM}|\cdot cos\theta\)的最大值，而\(|\overrightarrow{OM}|\cdot cos\theta\)的几何意义是\(\overrightarrow{OM}\)在\(\overrightarrow{OA}\)方向上的投影，

由图形可知，当点\(M(x，y)\)位于点\((2，-1)\)时投影\(|\overrightarrow{OM}|\cdot cos\theta\)最大，故将点\((2，-1)\)代入\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}=3\)。

变式题：求\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}\)的最小值是多少？

分析：由上图可以看出，当两个向量的夹角为钝角时，其投影是负值，故当点\(M\)位于点\(C\)时，其内积最小，

此时将点\((-1，-1)\)代入得到\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}=-3\)。

【2023届宝鸡质检3文数13题】 已知向量 \(\vec{a}=(1,\sqrt{3})\)， \(\vec{b}=(3, \sqrt{3})\)， 则平面向量 \(\vec{b}\) 在向量 \(\vec{a}\) 方向上的投影为 _____________ .

解析：仿上题目可知，所求为向量 \(\vec{b}\) 在向量 \(\vec{a}\) 方向上的投影，即为 \(|\vec{b}|\times \cos \theta\)；

由于 \(\cos\theta=\cfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\cfrac{1\times3+\sqrt{3}\times\sqrt{3}}{\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}}=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\) ， \(|\vec{b}|=2\sqrt{3}\)，

故 \(|\vec{b}|\times \cos\theta=3\)， 即所求向量 \(\vec{b}\) 在向量 \(\vec{a}\) 方向上的投影为 \(3\) .

【2024高一数学训练题】在 \(\triangle ABC\) 中，\(AB\)\(=\)\(\sqrt{6}\)，\(AC\)\(=\)\(\sqrt{3}\)，\(BC\)\(=\)\(\sqrt{7}\)，若 \(O\) 为 \(\triangle ABC\) 的外心且满足 \(\overrightarrow{AO}\)\(=\)\(x\overrightarrow{AB}\)\(+\)\(y\overrightarrow{AC}\)，则 \(6x+y=\) 【\(\qquad\)】

$A.1$ $B.3$ $C.5$ $D.6$

解：由 \(\overrightarrow{AO}\)\(=\)\(x\overrightarrow{AB}\)\(+\)\(y\overrightarrow{AC}\)，两边同时乘以 \(\overrightarrow{AB}\)，^[5]则 \(\overrightarrow{AO}\)\(\cdot\)\(\overrightarrow{AB}\)\(=\)\(x\overrightarrow{AB}\)\(\cdot\)\(\overrightarrow{AB}\)\(+\)\(y\overrightarrow{AC}\)\(\cdot\)\(\overrightarrow{AB}\)，

又由于余弦定理可知，\(\cos\angle BAC=\cfrac{\sqrt{2}}{6}\)，则\(x\overrightarrow{AB}\)\(\cdot\)\(\overrightarrow{AB}\)\(+\)\(y\overrightarrow{AC}\)\(\cdot\)\(\overrightarrow{AB}\)\(=\)\(6x\)\(+\)\(y\cdot\)\(\sqrt{3}\)\(\cdot\)\(\sqrt{6}\)\(\cdot\)\(\cfrac{\sqrt{2}}{6}=6x+y\)，

令 \(<\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AO}>=\theta\)，则 \(|\overrightarrow{AB}|\cdot\cos\theta=\cfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|\) 为向量 \(\overrightarrow{AO}\) 的投影，故 \(\overrightarrow{AO}\)\(\cdot\)\(\overrightarrow{AB}=\cfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|^2=3\)，

所以，\(6x+y=3\)，故选 \(B\) . 同类题见人教 2019A 版必修二教材\(P_{24}\) 页习题 6.2 第 24 题 .

相关链接

1、平面向量错误收集

2、平面向量习题

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1. 由于对实数 \(a\)，\(b\) 而言，\(a\cdot b=ab=a\times b\)，受此影响，我们对向量之间的点乘往往不会引起足够的重视，以为\(\vec{a}\)\(\cdot\)\(\vec{b}\)\(=\)\(\vec{a}\)\(\times\)\(\vec{b}\)，这就大错特错了，\(\vec{a}\)\(\times\)\(\vec{b}\)称为向量的外积，在三维几何中，向量\(\vec{a}\)和向量\(\vec{b}\)的外积结果是一个向量，有个更通俗易懂的叫法是法向量，该向量垂直于向量\(\vec{a}\)和向量\(\vec{b}\)构成的平面。
   在 \(3D\) 图像学中，外积的概念非常有用，可以通过两个向量的外积，生成第三个垂直于向量\(\vec{a}\)和向量\(\vec{b}\)的法向量，从而构建\(x\)、\(y\)、\(z\)坐标系，此坐标系也常常称为右手系坐标系。如图所示
   在二维空间中，外积还有另外一个几何意义就是：\(|\vec{a}\)\(\times\)\(\vec{b}|\) 在数值上等于由向量\(\vec{a}\)和向量\(\vec{b}\)构成的平行四边形的面积。
   添加这段内容，仅仅为引起大家的注意，向量的内积的写法非常特别。
   谨记，对向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\) 而言，\(\vec{a}\cdot \vec{b}\neq \vec{a}\times \vec{b}\)， ↩︎

2. 如何解释或证明 \(\vec{a}\)\(\cdot\)\(\vec{b}\)\(=\)\(|\vec{a}|\)\(\cdot\)\(|\vec{b}|\)\(\cdot\)\(\cos\theta\) 呢?
   其一，可以利用其物理意义来理解，比如力在运动方向上的做功，教材上没有给出严格的证明；其二，可以利用向量和余弦定理来解释。在\(\triangle ABC\) 中，设 \(\overrightarrow{AB}\)\(=\)\(\vec{c}\)， \(\overrightarrow{BC}\)\(=\)\(\vec{a}\)， \(\overrightarrow{AC}\)\(=\)\(\vec{b}\)，则 \(\vec{c}\)\(=\)\(\vec{a}\)\(-\)\(\vec{b}\)，且 \(<\vec{a},\vec{b}>\)\(=\)\(C\)\(=\)\(\theta\)，由向量的平方可以得到，\(\vec{c}^2\)\(=\)\(\vec{c}\)\(\cdot\)\(\vec{c}\)\(=\)\(|\vec{c}|^2\)\(=\)\((\vec{a}-\vec{b})^2\)\(=\)\(\vec{a}^2\)\(-\)\(2\vec{a}\cdot\vec{b}\)\(+\)\(\vec{b}^2\)\(=\)\(|\vec{a}|^2\)\(-\)\(2\vec{a}\)\(\cdot\)\(\vec{b}\)\(+\)\(|\vec{b}|^2\)，又由余弦定理可知，\(|\vec{c}|^2\)\(=\)\(|\vec{a}|^2\)\(+\)\(|\vec{b}|^2\)\(-\)\(2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)，对比两式，可知，\(\vec{a}\)\(\cdot\)\(\vec{b}\)\(=\)\(|\vec{a}|\)\(\cdot\)\(|\vec{b}|\)\(\cdot\)\(\cos\theta\)。 ↩︎

3. 正 \(n\) 边形的内角和定理:正 \(n\) 边形的内角和为 \((n-2)\times180^{\circ}\)；正 \(n\) 边形的外角和定理：正 \(n\) 边形的外角为其对应内角的邻补角，正 \(n\) 边形的外角和为 \(360^{\circ}\) . 证明：在正 \(n\) 边形的每一个顶点处，形成一个周角，此周角包含两个正 \(n\) 边形的内角 \(\alpha=\cfrac{(n-2)\times180^{\circ}}{n}\) 和两个外角 \(\theta\)，则 \(2\alpha+2\theta=360^{\circ}\)，代入解得外角为 \(\theta=\cfrac{360^{\circ}}{n}\)，故正 \(n\) 边形的外角和为 \(360^{\circ}\) . 参考图形 ↩︎

4. 注意： 与非零向量 \(\vec{a}\) 共线的单位向量 \(\vec{a_0}\) 有两个，\(\vec{a_0}=\pm\cfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\)；和 \(\vec{a}\) 同向的单位向量为 \(\cfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\)，和 \(\vec{a}\) 反向的单位向量为 \(-\cfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\)； ↩︎

5. 本题目可以给向量等式两边同时乘以 \(\overrightarrow{AC}\) 吗？不能，原因是其系数为 \(6x+y\)，若给向量等式两边同时乘以 \(\overrightarrow{AC}\)，原来的 \(6x+y\) 就变为 \(\sqrt{6}x+3y\)了；外心换成重心可以吗？不可以的，若换为重心，\(6x+y\) 不是定值； ↩︎