思维拓展又一典例

前言

在新人教 \(A\) 版的复数部分看到下述这个经典的题目，联想到以前的相应解法，现对各种思路作以总结，并体会一下：我们积累的数学知识越多，解题的思路就越开阔，越顺畅。

典例列举

如图所示，已知平面内并列的三个相同大小的正方形，求证： \(\alpha+\beta+\gamma=\cfrac{\pi}{2}\).

解法赏析

【法1】：平面几何法[考虑采用下移的方法]，

如图，向下平移三个并列放置的三个全等的正方形，得到大矩形 \(MQHD\)，连结 \(AQ\) 和 \(FQ\)，

则由图易知，\(\alpha=\cfrac{\pi}{4}\)，\(\beta=\angle FAG=\angle PFQ\)，\(\gamma=\angle QAG\)，故有

\[\angle AFQ=\angle AFP+\angle PFQ=\angle AFP+\beta=\angle DFP=\cfrac{\pi}{2} \]

又由于 \(AF=QF\)，故 \(\triangle AFQ\) 为等腰直角三角形，则 \(\angle FAQ=\angle FQA=\cfrac{\pi}{4}\)，

而 \(\angle FAQ=\angle FAG+\angle QAG=\beta+\gamma=\cfrac{\pi}{4}\)，故证得 \(\alpha+\beta+\gamma=\cfrac{\pi}{2}\).

【法2】：相似三角形法；

连结 \(HE\)，则 \(\angle EHG=\alpha\)，故只需证明 \(\angle AHE=\beta\)，

由题目可知 \(CF:AC:AF=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}\)，\(EH:AE:AH=\sqrt{2}:2:\sqrt{10}\)，

故 \(\cfrac{EH}{CF}=\cfrac{AE}{AC}=\cfrac{AH}{AF}=\sqrt{2}\)，故 \(\triangle FCA\sim \triangle HEA\)，

故 \(\angle AHE=\beta\)，即可得 \(\alpha+\beta+\gamma=\cfrac{\pi}{2}\).

【法3】：三角函数法；

解证：显然 \(\alpha=\cfrac{\pi}{4}\) ， 故只需要求出 \(\beta+\gamma=\cfrac{\pi}{4}\)，借助三角函数知识可知，

\(\tan\beta=\cfrac{1}{2}\)，\(\tan\gamma=\cfrac{1}{3}\)，则由两角和的正切公式可知，

\(\tan(\beta+\gamma)\)\(=\)\(\cfrac{\tan\beta+\tan\beta}{1-\tan\beta\cdot\tan\gamma}\)\(=\)\(\cfrac{\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}}{1-\cfrac{1}{2}\times\cfrac{1}{3}}\)\(=\)\(\cfrac{\cfrac{5}{6}}{\cfrac{5}{6}}\)\(=1\)，

由题目可知，\(\beta\)，\(\gamma\) 都是锐角，故 \(\beta+\gamma=\cfrac{\pi}{4}\)，

即可知 \(\alpha+\beta+\gamma=\cfrac{\pi}{2}\).

【法4】：复数法；新的高考改革对复数的内容和考察难度都有所增加，各位学子请务必注意；

本题目为何能使用复数的乘法来求解？

复数乘法的几何意义：两个复数 \(z_1\) ，\(z_2\) 相乘时，可以如下图所示，先分别画出与 \(z_1\) ，\(z_2\) 对应的向量 \(\overrightarrow{OZ_1}\)， \(\overrightarrow{OZ_2}\)，然后把向量 \(\overrightarrow{OZ_1}\) 绕点 \(O\) 按逆时针方向旋转角 \(\theta_2\)(如果 \(\theta_2<0\)，就要把向量 \(\overrightarrow{OZ_1}\) 绕点 \(O\) 按顺时针方向旋转角 \(|\theta_2|\) )，再把它的模变为原来的 \(r_2\) 倍，得到向量 \(\overrightarrow{OZ}\)， \(\overrightarrow{OZ}\) 表示的复数就是积 \(z_1\cdot z_2\)，这就是复数乘法的几何意义。

借助复数的代数形式以及对应的三角形式来解释，\(z_1\)\(=\)\(a_1+b_1i\)\(=\)\(r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)\)，\(z_2\)\(=\)\(a_2+b_2i\)\(=\)\(r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)\)，则

\[z=z_1\cdot z_2=r_1\cdot r_2[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)] \]

简单来说，复数乘法有两个作用，其一放大或缩小的作用，体现在 \(r_1\cdot r_2\)；其二旋转的作用，体现在 \(\theta_1+\theta_2\)。

由此可知，我们如果要求解 \(\beta+\gamma=\cfrac{\pi}{4}\)，只需要验证 \(\beta\)、\(\gamma\) 分别对应的复数的乘积的辐角主值为 \(\cfrac{\pi}{4}\) 即可，比如，

\[(2+i)(3+i)=5+5i \]

而 \(5+5i\) 的辐角主值为 \(\cfrac{\pi}{4}\) ，则说明 \(\beta+\gamma=\cfrac{\pi}{4}\) 。

解证：建立如图所示的复平面，可知 \(\alpha\)，\(\beta\)，\(\gamma\) 分别等于复数 \(1+i\) ， \(2+i\) ， \(3+i\) 的辐角主值，故 \(\alpha+\beta+\gamma\) 的和取决于三个复数的乘积的辐角主值。由于

\[(1+i)(2+i)=2-1+3i=1+3i \]

\[(1+3i)(3+i)=3-3+10i=10i \]

即 \((1+i)(2+i)(3+i)=10i\)，而复数 \(10i\) 的辐角主值就是 \(\cfrac{\pi}{2}\)，故 \(\alpha+\beta+\gamma=\cfrac{\pi}{2}\).