思维拓展又一典例

💎更新于 2024-05-11 20:55 | 发布于 2023-02-15 15:42
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前言

在新人教 $A$ 版的复数部分看到下述这个经典的题目，联想到以前的相应解法，现对各种思路作以总结，并体会一下：我们积累的数学知识越多，解题的思路就越开阔，越顺畅。

典例列举

如图所示，已知平面内并列的三个相同大小的正方形，求证： $\alpha+\beta+\gamma=\cfrac{\pi}{2}$ .

解法赏析

【法 1】：平面几何法 [考虑采用下移的方法]，

如图，向下平移三个并列放置的三个全等的正方形，得到大矩形 $MQHD$ ，连结 $AQ$ 和 $FQ$ ，

则由图易知， $\alpha=\cfrac{\pi}{4}$ ， $\beta=\angle FAG=\angle PFQ$ ， $\gamma=\angle QAG$ ，故有

∠ A F Q = ∠ A F P + ∠ P F Q = ∠ A F P + β = ∠ D F P = \frac{π}{2}

$\angle AFQ=\angle AFP+\angle PFQ=\angle AFP+\beta=\angle DFP=\cfrac{\pi}{2}$

又由于 $AF=QF$ ，故 $\triangle AFQ$ 为等腰直角三角形，则 $\angle FAQ=\angle FQA=\cfrac{\pi}{4}$ ，

而 $\angle FAQ=\angle FAG+\angle QAG=\beta+\gamma=\cfrac{\pi}{4}$ ，故证得 $\alpha+\beta+\gamma=\cfrac{\pi}{2}$ .

【法 2】：相似三角形法；

连结 $HE$ ，则 $\angle EHG=\alpha$ ，故只需证明 $\angle AHE=\beta$ ，

由题目可知 $CF:AC:AF=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$ ， $EH:AE:AH=\sqrt{2}:2:\sqrt{10}$ ，

故 $\cfrac{EH}{CF}=\cfrac{AE}{AC}=\cfrac{AH}{AF}=\sqrt{2}$ ，故 $\triangle FCA\sim \triangle HEA$ ，

故 $\angle AHE=\beta$ ，即可得 $\alpha+\beta+\gamma=\cfrac{\pi}{2}$ .

【法 3】：三角函数法；

解证：显然 $\alpha=\cfrac{\pi}{4}$ ，故只需要求出 $\beta+\gamma=\cfrac{\pi}{4}$ ，借助三角函数知识可知，

$\tan\beta=\cfrac{1}{2}$ ， $\tan\gamma=\cfrac{1}{3}$ ，则由两角和的正切公式可知，

$\tan(\beta+\gamma)$ $=$ $\cfrac{\tan\beta+\tan\beta}{1-\tan\beta\cdot\tan\gamma}$ $=$ $\cfrac{\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}}{1-\cfrac{1}{2}\times\cfrac{1}{3}}$ $=$ $\cfrac{\cfrac{5}{6}}{\cfrac{5}{6}}$ $=1$ ，

由题目可知， $\beta$ ， $\gamma$ 都是锐角，故 $\beta+\gamma=\cfrac{\pi}{4}$ ，

即可知 $\alpha+\beta+\gamma=\cfrac{\pi}{2}$ .

【法 4】：复数法；新的高考改革对复数的内容和考察难度都有所增加，各位学子请务必注意；

本题目为何能使用复数的乘法来求解？

复数乘法的几何意义：两个复数 $z_1$ ， $z_2$ 相乘时，可以如下图所示，先分别画出与 $z_1$ ， $z_2$ 对应的向量 $\overrightarrow{OZ_1}$ ， $\overrightarrow{OZ_2}$ ，然后把向量 $\overrightarrow{OZ_1}$ 绕点 $O$ 按逆时针方向旋转角 $\theta_2$ (如果 $\theta_2<0$ ，就要把向量 $\overrightarrow{OZ_1}$ 绕点 $O$ 按顺时针方向旋转角 $|\theta_2|$ )，再把它的模变为原来的 $r_2$ 倍，得到向量 $\overrightarrow{OZ}$ ， $\overrightarrow{OZ}$ 表示的复数就是积 $z_1\cdot z_2$ ，这就是复数乘法的几何意义。