高一数学计算能力测试

前言

高中初始阶段的数学素养的精进与否与初中的数学基础有极大的关系，故借助本博文将与初中运算有关的内容作以复习提高，请大家特别注意运算法则的正确理解和运用，运算的顺序的合理性，运算结果的准确性；

典例剖析

计算: \(\left(-\cfrac{1}{2}\right)^0+\left(\cfrac{1}{3}\right)^{-1}\times \cfrac{2}{\sqrt{3}}-\left|\tan 45^{\circ}-\sqrt{3}\right|\) ^[1]

\(\begin{array}{l}解析：原式&=1+3\times\cfrac{2}{\sqrt{3}}-|1-\sqrt{3}|\\ &=1+2\sqrt{3}-(\sqrt{3}-1)\\ &=\sqrt{3}+2\end{array}\)

计算: \(\left(\cfrac{1}{3}\right)^{-2}+(\sqrt{2010}-\sqrt{2012})^0+(-1)^{1001}+(\sqrt{12}-3\sqrt{3})\times\tan 30^{\circ}\)。^[2]

\(\begin{array}{l}解析：原式&=9+1+(-1)+(-\sqrt{3})\times\cfrac{\sqrt{3}}{3} \\ &=9-1\\ &=8\end{array}\)

计算: \(\sqrt{18}-\left(\cos 60^{\circ}\right)^{-1}\div 2^{-1}-4 \sqrt{\sin 30^{\circ}}+(\sqrt{2}-2)^0\) 。^[3]

\(\begin{array}{l}解析：原式&=3\sqrt{2}-(\cfrac{1}{2})^{-1}\div{\cfrac{1}{2}}-4\sqrt{\cfrac{1}{2}}+1 \\ &=3\sqrt{2}-2\times2-2\sqrt{2}+1 \\ &=\sqrt{2}-3\end{array}\)

解不等式组: \(\left\{\begin{array}{l}5 x+7>3(x+1)\quad① \\ \cfrac{1}{2} x-1 \leq 1-\cfrac{3}{2} x\quad ②\end{array}\right.\) ，并把它的解集表示在数轴上。

解析：对于① ，施行去括号，移项的变形后，得到 \(x>-2\) ，

对于②，施行移项、合并同类项变形后，解得 \(x\leqslant1\)，

两个结果求交集，得到解集为 \(\{x\mid -2<x\leqslant 1\}\) . 结果的图形化，略。

解方程: \(\cfrac{3x}{x+2}+\cfrac{2}{x-2}=3\)

解析：通分，得到 \(\cfrac{3x(x-2)+2(x+2)}{(x-2)(x+2)}=3\)，

整理得到，\(\cfrac{3x^2-4x+4}{(x-2)(x+2)}=3\)，

去分母，进一步整理得到，\(3x^2-4x+4=3x^2-12\)，

解得，\(x=4\)，验根由于所解的方程为分式方程，当施行了去分母的变形之后，最后必须验证所得的根要保证分母不为零，否则会出现增根，切记。同样的，解根式方程时也要验根。更进一步的探究，请参阅恒等变形的是与非，满足\(x\neq \pm2\)，

故方程的根为 \(x=4\)。

先化简, 再求值: \(\cfrac{x^2-2x}{x^2-1}\div\left(x-1-\cfrac{2 x-1}{x+1}\right)\)， 其中 \(x=\cfrac{1}{2}\) 。

解：原式\(=\cfrac{x^2-2x}{x^2-1} \div \cfrac{(x-1)(x+1)-(2x-1)}{x+1}\)

\(=\cfrac{x^2-2x}{x^2-1}\div \cfrac{x^2-1-2x+1}{x+1}\)

\(=\cfrac{x^2-2x}{x^2-1}\div \cfrac{x^2-2x}{x+1}\)

\(=\cfrac{x^2-2x}{x^2-1}\times\cfrac{x+1}{x^2-2x}\)

\(=\cfrac{1}{x-1}\) ^[4]

将 \(x=\cfrac{1}{2}\) 代入上式，得到 原式 \(=-2\) .

\(\sqrt{\cfrac{1}{9}}\) 的算术平方根是__________， \(2^3\) 的平方根是___________ .

解析：由于 \(\sqrt{\cfrac{1}{9}}=\sqrt{\cfrac{1}{3^2}}=\cfrac{1}{3}\)，故 \(\sqrt{\cfrac{1}{3}}=\cfrac{1}{\sqrt{3}}=\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)，故\(\sqrt{\cfrac{1}{9}}\) 的算术平方根是 \(\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)，

\(2^3\) 的平方根即\(\pm\sqrt{2^3}\)，故 \(2^3\) 的 平方根非负实数 \(a\) 的平方根有两个 \(\pm\sqrt{a}\)，其算术平方根只有一个 \(+\sqrt{a}\)，负数是没有平方根的。 是 \(\pm 2\sqrt{2}\)；

\(\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}\) 的值是____________， 将 \(\cfrac{2}{\sqrt{3}-1}\) 分母有理化的值是 ___________ .

解析： 由于 \(\sqrt{a^2}=|a|\)，故 \(\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}=|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}\)，此处容易将结果错误的写成 \(\sqrt{3}-2\) ，错因是没有正确使用绝对值。

\(\cfrac{2}{\sqrt{3}-1}=\cfrac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\sqrt{3}+1\) ，故 \(\cfrac{2}{\sqrt{3}-1}\) 分母有理化的值是 \(\sqrt{3}+1\) .

进一步说明，由于\((\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=(\sqrt{3})^2-1^2=2\) ，故 \(\sqrt{3}+1\) 和 \(\sqrt{3}-1\) 互为有理化因式；请注意对于含有根式结构的分式而言，分母有理化和分子有理化都会用到。

\(\left(\underline{\qquad}-\cfrac{1}{3} y\right)^2=\cfrac{9}{4} x^2-xy+\underline{\qquad}\) ；\((\underline{\qquad}?\underline{\qquad})^2=\cfrac{9}{16}a^2-6ab\) + __________.

解析：本题目属于公式 \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) 使用中的填空题，

\((\cfrac{3}{2}x-\cfrac{1}{3}y)^2=\cfrac{9}{4}x^2-xy+\cfrac{1}{9}y^2\)； \((\cfrac{3}{4}a-4b)^2=\cfrac{9}{16}a^2-6ab+16b^2\)；

如果 \(x^2+y^2-2x+6y+10=0\)， 则 \(x+y=\)_____________.

解析： 由 \(x^2+y^2-2x+6y+10=0\)，将常数 \(10\) 拆分配方得到，

\((x^2-2x+1)+(y^2+6y+9)=0\)，即 \((x-1)^2+(y+3)^2=0\)，

故 \(x=1\)，\(y=-3\)，则有 \(x+y=-2\)。 引申参阅

计算若 \(x^3y^{m-1}\cdot x^{m+n}y^{2n+2}=x^9y^9\)， 则 \(4m-3n\) 等于【\(\qquad\)】

$A.8$ $B.9$ $C.10$ $D.无法确定$

解析：由 \(x^3y^{m-1}\cdot x^{m+n}y^{2n+2}=x^9y^9\)，可得 \(x^3y^{m-1}\cdot x^{m+n}y^{2n+2}=x^{m+n+3}y^{m+2n+1}=x^9y^9\)，

故可得 \(\left\{\begin{array}{l}{m+n+3=9}\\{m+2n+1=9}\end{array}\right.\quad\)，解之得到， \(\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=2}\end{array}\right.\quad\)，

代入 \(4m-3n\) 得到，\(4m-3n=4\times4-3\times2=10\)，故选 \(C\) .

计算 \(2^{2009}-2^{2008}\) 等于 【\(\qquad\)】

$A.2^{2008}$ $B.2$ $C.1$ $D.-2^{2009}$

解析： \(2^{2009}-2^{2008}=2^{2008}\cdot 2-2^{2008}=2^{2008}(2-1)=2^{2008}\) ，故选 \(A\) ，请注意提取公因式 \(2^{2008}\)；

设集 \(I=\{0,1,2,3,4\}\)， 集合 \(A=\{0,1,2,3\}\)， 集合 \(B=\{2,3,4\}\)， 则 \((\complement_IA)\cup(\complement_IB)=\) 【\(\qquad\)】

$A.\{0\}$ $B.\{0,1\}$ $C.\{0,1,4\}$ $D.\{0,1,2,3,4\}$

解析： \(\complement_IA=\{4\}\) ， \(\complement_IB=\{0,1\}\) ，故 \((\complement_IA)\cup(\complement_IB)=\{0,1,4\}\) ，故选 \(C\) .

计算或化简:

(1). \(\cfrac{1}{\sqrt{2}+1}-\cfrac{1}{\sqrt{2}-1}\);

\(\begin{array}{l} 解析:原式&=\cfrac{\sqrt{2}-1-(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\\ &=-2\end{array}\)

(2). \(\left(2a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{1}{2}}\right)\left(-6 a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{3}}\right) \div\left(-3 a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{5}{6}}\right)\);

\(\begin{array}{l} 解析:原式&=[2\times(-6)\div(-3)](a^{\frac{2}{3}}a^{\frac{1}{2}}\div a^{\frac{1}{6}})(b^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}}\div b^{\frac{5}{6}}) \\ &=4a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{5}{6}} \\ &=4ab\end{array}\)

[解后反思]：为防止出错，一般先将数字系数和字母的运算分开进行，注意乘除的转换、正负的转换以及分数指数幂的运算。

(3). \(\cfrac{a^2}{\sqrt[4]{a^3} \sqrt{a}}\);

\(\begin{array}{l} 解析:原式&=\cfrac{a^2}{a^{\frac{3}{4}}a^{\frac{1}{2}}} \\ &=a^{2-\frac{3}{4}-\frac{1}{2}} \\ &=a^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{a^3}\end{array}\)

[解后反思]：\(\sqrt[4]{a^3}=a^{\frac{3}{4}}\)，不要错写成 \(\sqrt[4]{a^3}=a^{\frac{4}{3}}\)，关于根式的化简，常常先将其转换为相应的分数指数幂的形式进行运算。结果的形式写成分数指数幂或者根式的形式都可以。

(4). \(\sqrt[3]{a^{\frac{9}{2}} \cdot \sqrt{a^{-3}}} \div \sqrt{\sqrt[3]{a^{-7}} \cdot \sqrt[3]{a^{13}}}(a \neq 0)\);

\(\begin{array}{l} 解析:原式 &=(a^{\frac{9}{2}})^{\frac{1}{3}}(a^{-\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}}\div\left[(a^{-\frac{7}{3}})^{\frac{1}{2}}(a^{-\frac{13}{3}})^{\frac{1}{2}}\right]\\ &= a^{\frac{3}{2}}a^{-\frac{1}{2}}\div\left[a^{-\frac{7}{6}}a^{-\frac{13}{6}}\right]\\ &=a^{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}+\frac{7}{6}+\frac{13}{6}}\\ &=a^{\frac{13}{3}}=\sqrt[3]{a^{13}}\end{array}\)

(5). \(2(\lg \sqrt{2})^2+\lg \sqrt{2} \cdot \lg 5+\sqrt{(\lg \sqrt{2})^2-\lg 2+1}\);

\(\begin{array}{l} 解析:原式 &=2(\lg\sqrt{2})^2+\lg2^{\frac{1}{2}}\cdot\lg5+\sqrt{(\lg\sqrt{2}-1)^2} \\ &=2(\cfrac{1}{2}\lg2)^2+\cfrac{1}{2}\lg2\cdot\lg5+|\lg\sqrt{2}-1| \\ &=\cfrac{1}{2}\lg^22+\cfrac{1}{2}\lg2\cdot\lg5+1-\lg\sqrt{2} \\ &=\cfrac{1}{2}\lg^22+\cfrac{1}{2}\lg2\cdot\lg5+1-\cfrac{1}{2}\lg{2} \\ &=\cfrac{1}{2}\lg2(\lg2-1)+\cfrac{1}{2}\lg2\cdot\lg5+1\\ &=\cfrac{1}{2}\lg2(-\lg5)+\cfrac{1}{2}\lg2\cdot\lg5+1\\ &=-\cfrac{1}{2}\lg2\cdot\lg5+\cfrac{1}{2}\lg2\cdot\lg5+1\\ &=1\end{array}\)

[解后反思]：① \(\sqrt{(\lg\sqrt{2})^2-\lg 2+1}\)\(=\)\(\sqrt{(\lg\sqrt{2})^2-2\lg\sqrt{2}\cdot1+1}\)\(=\)\(\sqrt{(\lg\sqrt{2}-1)^2}\)\(=\)\(1-\lg\sqrt{2}\)；

② \(\lg2+\lg5=\lg{10}=1\)，故\(\lg2-1=-\lg5\)；更多的对数运算 .

(6). \(2\log _32-\log _3 \frac{32}{9}+\log _3 8-3^{2+\log _5 5}\);

\(\begin{array}{l}解析:原式&= \log_32^2+\log_38-(\log _3{32}-\log_3{9})-3^{2+\log _55}\\ &= \log_3{32}-\log _3{32}+\log_39-3^{2+1} \\ &=2-27=-25\end{array}\)

(7). \(\lg ^2 2 \cdot \lg 250+\lg ^2 5 \cdot \lg 40\);

\(\begin{array}{l}解析:原式&=\lg^2 2\cdot (\lg{25}+\lg{10})+\lg^25\cdot(\lg4+\lg{10}) \\ &=\lg^22(2\lg5+1)+\lg^25(2\lg2+1)\\ &= 2\lg^22\cdot\lg5+\lg^22+2\lg2\cdot\lg^25+\lg^25 \\ &=\lg^22+2\lg2\lg5(\lg2+\lg5)+\lg^25 \\ &= \lg^22+2\lg2\lg5+\lg^25 \\ &=(\lg2+\lg5)^2=1^2=1\end{array}\)

已知 \(A\) 、 \(B\) 、 \(C\) 的坐标分别为 \(A(4,0)\)， \(B(0,4)\)， \(C(3\cos\alpha, 3\sin \alpha)\).

(1). 若 \(\alpha \in(-\pi, 0)\) 且 \(|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BC}|\)，求角 \(\alpha\) 的值；

解：由于 \(\overrightarrow{AC}=(3\cos\alpha-4 , 3\sin\alpha)\)， \(\overrightarrow{BC}=(3\cos\alpha , 3\sin\alpha-4)\)，

由 \(|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BC}|\) 可得，\(\sqrt{(3\cos\alpha-4 )^2+(3\sin\alpha)^2}=\sqrt{(3\cos\alpha)^2+(3\sin\alpha-4)^2}\)

则有 \((3\cos\alpha-4 )^2+(3\sin\alpha)^2=(3\cos\alpha)^2+(3\sin\alpha-4)^2\)，

整理得到，\(\cos\alpha=\sin\alpha\)，

即 \(\tan\alpha=1\)，又由 \(\alpha \in(-\pi, 0)\)，故 \(\alpha=-\cfrac{3\pi}{4}\) .

(2). 若 \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=0\)， 求 \(\cfrac{2\sin^2\alpha+\sin2\alpha}{1+\tan\alpha}\) 的值。

解：由于 \(\overrightarrow{AC}=(3\cos\alpha-4 , 3\sin\alpha)\)， \(\overrightarrow{BC}=(3\cos\alpha , 3\sin\alpha-4)\)，

则 由 \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=0\)，得到 \((3\cos\alpha-4)\cdot 3\cos\alpha+3\sin\alpha(3\sin\alpha-4)=0\)，

化简整理得到，\(12(\sin\alpha+\cos\alpha)=9\)，即 \(\sin\alpha+\cos\alpha=\cfrac{9}{12}\)，

两边平方，整理得到 \(\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha=\cfrac{81}{144}\)，即 \(2\sin\alpha\cos\alpha=-\cfrac{63}{144}\)，

\(\cfrac{2\sin^2\alpha+\sin2\alpha}{1+\tan\alpha}=\cfrac{2\sin\alpha(\sin\alpha+\cos\alpha)}{\cfrac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\cos\alpha}}\)

\(=2\sin\alpha(\sin\alpha+\cos\alpha)\times \cfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}\)

\(=2\sin\alpha\cos\alpha=-\cfrac{63}{144}\) .

已知向量\(\vec{m}=(\cos \theta, \sin \theta)\) 和 \(\vec{n}=(\sqrt{2}-\sin \theta, \cos \theta)\)， \(\theta \in[\pi, 2 \pi]\)，\(|\vec{m}+\vec{n}|\) 的最大值为______________.

解析：由已知可得，\(\vec{m}+\vec{n}=(\cos\theta-\sin\theta+\sqrt{2},\sin\theta+\cos\theta)\)，

故 \(|\vec{m}+\vec{n}|=\sqrt{(\cos\theta-\sin\theta+\sqrt{2})^2+(\sin\theta+\cos\theta)^2}\)，

则 \(|\vec{m}+\vec{n}|^2=(\cos\theta-\sin\theta+\sqrt{2})^2+(\sin\theta+\cos\theta)^2\)，

化简整理得到，\(|\vec{m}+\vec{n}|^2=\cos^2\theta+\sin^2\theta+2+2\sqrt{2}\cos\theta-2\sqrt{2}\sin\theta-2\cos\theta\sin\theta+\sin^2\theta+2\cos\theta\sin\theta+\cos^2\theta\)

\(=4+2\sqrt{2}(\cos\theta-\sin\theta)=4+4\cos(\theta+\cfrac{\pi}{4})\)，

由于 \(\theta \in[\pi, 2 \pi]\)，当 \(\theta=\cfrac{7\pi}{4}\)时，\(\cos(\theta+\cfrac{\pi}{4})|_{\max}=1\)，

故 \(|\vec{m}+\vec{n}|^2_{\max}=4+4\times1=8\)， 故 \(|\vec{m}+\vec{n}|\) 的最大值为 \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) .

说明： \((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\) .

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1. 〖运算法则说明〗①由于运算法则说， \(a^0=1(a\neq0)\) ，故 \(\left(-\cfrac{1}{2}\right)^0=1\) ，当我们学习了指数式或者对数式后，还可以这样考察，\((2^3)^0=1\)，\((\log_{2}{3})^0=1\) ，同样等学习了定积分知识后，还可以这样考察：\((\displaystyle\int_{1}^2\;x^2\;dx)^0=1\)；
   ②由于运算法则说， \(a^{-1}=\cfrac{1}{a^1}\)，所以 \(\left(\cfrac{1}{3}\right)^{-1}=3=\sqrt{3}\times\sqrt{3}\)，
   ③由于运算法则说，\(|a|=\left\{\begin{array}{l}a,&a\geqslant 0\\-a,&a<0\end{array}\right.\)，[注意理解字母 \(a\) 的内涵，其可以是代数式] 故在运算 \(\left|\tan 45^{\circ}-\sqrt{3}\right|=|1-\sqrt{3}|\) 时，需要去掉绝对值符号，要判断 \(1-\sqrt{3}\) 的正负， \(1-\sqrt{3}<0\)，故 \(|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1\) ↩︎

2. 〖运算法则说明〗① 由指数幂的运算法则 \((a^m)^n=a^{mn}\) 可知，\(\left(\cfrac{1}{3}\right)^{-2}=(3^{-1})^{-2}=3^{(-1)\times(-2)}=3^2=9\)，或者 \(\left(\cfrac{1}{3}\right)^{-2}=\cfrac{1}{(\cfrac{1}{3})^{2}}=9\)；\((\sqrt{2010}-\sqrt{2012})^0=1\)，原因如上。
   ②由指数幂的运算法则 \(a^{m+n}=a^m\cdot a^n\) 和 \(a^{-1}=\cfrac{1}{a}\) 可知， \((-1)^{1001}=(-1)^{1000}\times(-1)^{1}=-1\)；
   ③ \(\sqrt{12}-3\sqrt{3}=2\sqrt{3}-3\sqrt{3}=-\sqrt{3}\)，涉及根式的化简以及合并同类项； ↩︎

3. 〖运算法则说明〗① 当运算进行到 \((\cfrac{1}{2})^{-1}\div 2^{-1}\) 这一步时，应该先计算\((\cfrac{1}{2})^{-1}\) 和 \(2^{-1}\)[指数幂的运算属于三级运算] ，再计算除法运算[乘除运算是二级运算]；
   ② \((\sqrt{2}-2)^0=1\)；\(4\sqrt{\cfrac{1}{2}}=\sqrt{4^2\times\cfrac{1}{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)，
   ③ 或者这样计算：\(4\sqrt{\cfrac{1}{2}}=4\times\cfrac{1}{\sqrt{2}}=4\times\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\)； ↩︎

4. 注意：① 针对 \(\left(x-1-\cfrac{2 x-1}{x+1}\right)\) 的通分变形时，应该是 \(\cfrac{(x-1)(x+1)-(2x-1)}{x+1}\)，但容易出现这样的错误\(\cfrac{(x-1)(x+1)-2x-1}{x+1}\)；② 进行到 \(\cfrac{x^2-2x}{x^2-1}\div \cfrac{x^2-2x}{x+1}\) 时，除法变为乘法时要注意，除以一个数等于乘以这个数的倒数。 ↩︎