多项式的四则运算|运算技巧

前言

关键词：单项式，如 \(2xy=2x^1y^1\)，其次数是二次的[1+1=2]；多项式的次数，如多项式 \(x^3+2x^2-1\) 的次数是三次的[单项式中的最高次为 \(3\) 次]；

将多项式按降幂排列，如多项式 \(2x-1+x^2\)\(=\)\(x^2+2x-1\)；缺项用 \(0\) 补位，如 \(3x^3+2x^2-4\)\(=\)\(3x^3+2x^2+0x-4\)；

运算案例

• 多项式加减，只以加法举例；采用\begin{array}...\end{array}制作；

注意：\(243\)仅仅是数字，但是 \(x^2+2x-1\) 已经是代数式了。

$\begin{array}{lll} &2&4&3\\ +)&5&5&7\\ \hline &8&0&0 \end{array}\qquad\xrightarrow{由数到式}\qquad\begin{array}{lll} &x^2&+2x&-1\\ +)&2x^2&+x&+2\\ \hline &3x^2&+3x&+1 \end{array}$

以上加减运算的例子虽说简单，但是体现了 “由数到式” 的思维的提升。

• 多项式乘法，使用频度很高，重点训练，采用\begin{array}...\end{array}制作；

比如，计算多项式乘法：\((x^2+2x-1)(2x^2+x+2)\)，

常规的计算方法是横行计算如下：

\((x^2+2x-1)(2x^2+x+2)=\cdots=2x^4+5x^3+2x^2+3x-2\)

类比我们小学学习的竖行数字乘法，可以这样计算更快捷、准确，具体如下：

\[\begin{array}{lll} &&&x^2+&2x&-1\\ &&\times)&2x^2+&x&+2\\ \hline &&&2x^2+&4x&-2\\ &&x^3+&2x^2-&x\\ &2x^4+&4x^3-&2x^2\\ \hline &2x^4+&5x^3+&2x^2+&3x&-2 \end{array}\]

• 多项式除法，网上有人将此方法称为综合短除法，采用\begin{array}...\end{array}制作；

比如，求解\((x^3-3x^2+4)\div(x+1)=?\)

\[\begin{array}{ccccc} &&&x^2&-&4x&+&4\\ \hline x+1\bigg)&x^3&-&3x^2&+&0x&+&4\\ &x^3&+&x^2\\ \hline &&-&4x^2&+&0x\\ \hline &&-&4x^2&-&4x\\ \hline &&&&&4x&+&4\\ \hline &&&&&4x&+&4\\ \hline &&&&&&&0\\ \end{array}\]

故有，\((x^3-3x^2+4)\div(x+1)=x^2-4x+4\)，即 \((x^3-3x^2+4)=(x+1)(x-2)^2\)

运算练习

引例，2022年高考全国卷乙卷文数第21题，运算难度相当的大，只取求解过程中的部分运算做练习之用。

\(\cdots\)，\(\cdots\)，\(\cdots\)

联立直线和椭圆方程，得到，\(\left\{\begin{array}{l}kx-y-(k+2)=0\\\cfrac{x^{2}}{3}+\cfrac{y^{2}}{4}=1\end{array}\right.\)，

[运算训练01，如何整理的？]：整理得到\((3k^2+4)x^2-6k(2+k)x+3k(k+4)=0\)

故由韦达定理有 \(\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=\cfrac{6k(2+k)}{3 k^{2}+4}\\x_{1}x_{2}=\cfrac{3k(4+k)}{3k^{2}+4}\end{array}\right.①\) \(\qquad\)

[运算训练02，如何计算的？]：以及 \(\left\{\begin{array}{l}y_{1}+y_{2}=\cfrac{-8(2+k)}{3 k^{2}+4}\\ y_{1} y_{2}=\cfrac{4\left(4+4 k-2 k^{2}\right)}{3k^{2}+4}\end{array}\right.②\) \(\qquad\)运算提示^[1]

[运算训练03，如何计算的？]：且有 \(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}=\cfrac{-24k}{3k^{2}+4}③\) \(\qquad\)运算提示^[2]

\(\cdots\)，\(\cdots\)，\(\cdots\)

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1. 由于 \(y=kx-(k+2)\) ，则 \(y_1=kx_1-(k+2)\) ，\(y_2=kx_2-(k+2)\) ，
   故\(y_1+y_2=k(x_1+x_2)-2(k+2)\)\(=k\times\cfrac{6k(2+k)}{3k^2+4}-2(k+2)=\cfrac{-8(2+k)}{3k^2+4}\)，
   且 \(y_{1}y_{2}\)\(=\)\([kx_1-(k+2)]\cdot[kx_2-(k+2)]\)\(=\)\(k^2x_1x_2-k(k+2)(x_1+x_2)+(k+2)^2\)
   \(=k^2\times\cfrac{3k(4+k)}{3k^{2}+4}-k(k+2)\times\cfrac{6k(2+k)}{3k^{2}+4}+\cfrac{(k+2)^2(3k^2+4)}{3k^{2}+4}\)
   \(=\cfrac{4(4+4k-2k^2)}{3k^2+4}\)； ↩︎

2. 解释：\(x_1y_2+x_2y_1\)\(=\)\(x_1[kx_2-(k+2)]+x_2[kx_1-(k+2)]\)
   \(=\)\(kx_1x_2-x_1(k+2)+kx_1x_2-x_2(k+2)\)\(=2kx_1x_2-(k+2)(x_1+x_2)\)
   \(=2k\times\cfrac{3k(4+k)}{3k^{2}+4}-(k+2)\times\cfrac{6k(2+k)}{3 k^{2}+4}\)
   \(=\cfrac{-24k}{3k^{2}+4}\) ↩︎