图像法引发的思考|学法

前言

图像法，是高中数学学习中高频使用的一种数学方法。以下内容适合数学基础比较好的高一高二同学或高三学生。

采用案例

注意：本案例采用图像法求解三角函数的值域。求解函数的值域的方法是比较多的，具体方法详见函数的值域。

求函数\(y=2sin(2x+\cfrac{\pi}{6})+1，x\in[0，\cfrac{\pi}{2}]\)的值域。

[法1]：横轴为\(x\)，如图1所示，利用图像的变换得到函数\(y=2sin(2x+\cfrac{\pi}{6})+1，x\in[0，\cfrac{\pi}{2}]\)的图像，

由图像可以看出来，当\(x=\cfrac{\pi}{2}\)时，函数\(f(x)_{min}=2sin(2\times\cfrac{\pi}{2}+\cfrac{\pi}{6})+1=0\)，

当\(x=\cfrac{\pi}{6}\)时，函数\(f(x)_{max}=2sin(2\times\cfrac{\pi}{6}+\cfrac{\pi}{6})+1=3\)，

故函数的值域为\([0，3]\)。

[法2]：整体代换，如图2所示，横轴为\(2x+\cfrac{\pi}{6}=X\)，

由\(0\leq x\leq \cfrac{\pi}{2}\)，故\(\cfrac{\pi}{6}\leq 2x+\cfrac{\pi}{6}\leq \cfrac{7\pi}{6}\)，

则\(-\cfrac{1}{2}\leq sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\leq 1\)，

则\(0\leq 2sin(2x+\cfrac{\pi}{6})+1\leq 3\)，

则有 \(0\leq y\leq 3\)，函数的值域为\([0，3]\)。^[1]

延伸思考

我们在自己的资料上经常会碰到，上述的图像法求解三角函数值域的题目，问题是此时我们常常会忘记深入思考，错失挖掘其中潜在的训练机会。比如暂时能想到的以下的问题：

1、此题目给了两种解法，那么这两种解法的优劣点是什么，为什么；我是否需要都加以学习掌握，考试时我采用哪一种，为什么？

2、此题目的题型：正弦型函数在限定区间上的值域问题；对应的解法：图像法。那么在我学过的函数中，还有哪些函数可以这样求值域？

其实学过的函数都可以这样求值域的，比如 ①一次函数 \(f(x)=2x+3\)，\(x\in [-2,5]\)；②二次函数 \(g(x)=2x^2+3x+1\)，\(x\in [-2,5]\)； ③指数函数 \(h(x)=2^x\)，\(x\in [-2,2]\)； ④对数函数 \(m(x)=log_2x\)，\(x\in [-2,2]\)；。。。

但新问题又来了，我自己按照这样的方法求解的结果对不对呀，又没有个老师或同学告诉我对错，不着急，这时候你可以用电脑工具验证呀，这样的话，你的数学活动经验不就更多，体验就更深入了吗。

3、以上的问题【具体函数】我都可以解决了，那么我能不能找个抽象的函数来练练手，试一试用图像法求值域；

比如，已知函数 \(f(x)\) 是 \([0,3]\) 上的增函数，\(A(0，-3)\) 是图像上的最低点，\(B(3，1)\)是图像上的最高点，则可知函数的值域为 \([-3,1]\)。

4、你还能自己编写一些这样的题目吗？应用层面；

5、为什么图像法可以求值域，还可以做什么？反思提升

①比如用图像法解不等式，具体见下面的例子：

已知函数\(f(x)\)是\(R\)上的增函数，\(A(0，-3)，B(3，1)\)是其图像上的两点，那么不等式\(-3<\)\(f(x+1)\)\(<1\)的解集的补集是___________.

分析：原不等式即\(-3=f(0)<f(x+1)<f(3)=1\)，故得到\(0<x+1<3\)，解得\(-1<x<2\)，

故其补集为\((-\infty，-1]\cup[2，+\infty)\).

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1. 反思总结：
   ①、从作图角度讲，图2的做法由于使用了整体代换，作图过程简单明了，思路清晰，截取快捷，故常用图2的方法来做三角函数的图像。
   ②、用图2的方法也可以求解函数的单调区间。比如，对函数\(y=2sinX+1\)而言，在\(X\in [\cfrac{\pi}{6}，\cfrac{\pi}{2}]\)上单调递增，即\(2x+\cfrac{\pi}{6}\in [\cfrac{\pi}{6}，\cfrac{\pi}{2}]\)上单调递增，解得\(x\in [0，\cfrac{\pi}{6}]\)，即函数\(y=2sin(2x+\cfrac{\pi}{6})+1\)在区间\([0，\cfrac{\pi}{6}]\)上单调递增，和图1的单调递增区间是一样的。 ↩︎