抽象问题具体化|数学策略

前言

当我们掌握了相应的数学解题方法后，还需要了解一些基本的数学策略，策略应该是高于方法。

典例剖析

函数 \(f(2x+1)\) 的周期为 \(\pi\) ，则函数 \(f(x)\) 的周期是 \(2\pi\)，

具体化解释：借助具体函数理解，如令 \(f(2x+1)=\cos(2x+1)\)，其周期为 \(\pi\)；则 \(f(x)=\cos x\)，其周期为 \(2\pi\)。

抽象化解释：更深入一步解释，函数 \(f(2x+1)\)的周期和 \(f(2x)\) 的周期相同，由 \(f(2x)\) 变换得到 \(f(x)\) ，体现在数上，是用 \(\cfrac{x}{2}\) 替换 \(x\)后得到的，体现在形上是纵坐标不变，横坐标扩大为原来的 \(2\) 倍得到的，故周期要变化为原来的 \(2\) 倍。

【抽象和具体】已知某数列的前\(2n\)项的和为\((2n)^3\)，且前\(n\)个偶数项的和为\(n^2(4n+3)\)，则它的前\(n\)个奇数项的和为【\(\qquad\)】

$A.-3n^2(n+1)$ $B.n^2(4n-3)$ $C.-3n^2$ $D.\cfrac{1}{2}n^3$

法1：抽象思考，由题目可知，\(S_{2n}\)\(=\)\((2n)^3\)，其中的前 \(n\) 个偶数项的和，也就是其所有偶数项的和 \(S_{偶}\)\(=\)\(n^2(4n+3)\)，则它的前 \(n\) 个奇数项的和，也就是所有的奇数项的和 \(S_{奇}\)\(=\)\(S_{2n}\)\(-\)\(S_{偶}\)\(=\)\(n^2(4n-3)\)。故选 \(B\)。

法2：抽象化为具体，不妨令 \(n=1\)，则 \(S_{2n}=S_2\)，只有两项 \(S_2\)\(=\)\(a_1\)\(+\)\(a_2\)，此时就容易理解前 \(n\) 个偶数项的和为 \(n^2(4n+3)\)，即就是 \(a_2\)，它的前 \(n\)个奇数项的和也就是 \(a_1\)，也就能容易理解所求即 \((2n)^3-n^2(4n+3)=n^2(4n-3)\)，故选 \(B\)。

【抽象问题具体化】从一堆产品(正品与次品都多于\(2\)件)中任取\(2\)件，观察正品件数和次品件数，则下列说法：

①“恰好有\(1\)件次品”和“恰好\(2\)件都是次品”是互斥事件；

②“至少有\(1\)件正品”和“全是次品”是对立事件；

③“至少有\(1\)件正品”和“至少有\(1\)件次品”是互斥事件但不是对立事件；

④“至少有\(1\)件次品”和“全是正品”是互斥事件也是对立事件；

其中正确的有【① ② ④】；

分析：假设正品有\(A、B、C\)三件，次品有\(D、E、F\)三件[具体化时，数目刚满足题意即可，越少越好]，依次得到选项中的各事件；

在选项①中，“恰好有\(1\)件次品”包括\((A,D)\)，\((A,E)\)，\((A,F)\)，\((B,D)\)，\((B,E)\)，\((B,F)\)，\((C,D)\)，\((C,E)\)，\((C,F)\)共9个基本事件；“恰好\(2\)件都是次品”包括\((D,E)\)，\((D,F)\)，\((E,F)\)共3个基本事件，这两个事件是互斥事件，故①正确；

在选项②中，“至少有\(1\)件正品”包括\((A,B)\)，\((A,C)\)，\((B,C)\)、\((A,D)\)，\((A,E)\)，\((A,F)\)，\((B,D)\)，\((B,E)\)，\((B,F)\)，\((C,D)\)，\((C,E)\)，\((C,F)\)共12个基本事件；“全是次品”包括\((D,E)\)，\((D,F)\)，\((E,F)\)共3个基本事件，这两个事件的交集为空集，并集为全集[\(C_6^2=15\)]，因此是对立事件，故①正确；

在选项③中，“至少有\(1\)件正品”包括\((A,B)\)，\((A,C)\)，\((B,C)\)、\((A,D)\)，\((A,E)\)，\((A,F)\)，\((B,D)\)，\((B,E)\)，\((B,F)\)，\((C,D)\)，\((C,E)\)，\((C,F)\)共12个基本事件；“至少有\(1\)件次品”包括\((A,D)\)，\((A,E)\)，\((A,F)\)，\((B,D)\)，\((B,E)\)，\((B,F)\)，\((C,D)\)，\((C,E)\)，\((C,F)\)，\((D,E)\)，\((D,F)\)，\((E,F)\)共12个基本事件；这两个事件并不是互斥事件，故③错误；

在选项④中，“至少有\(1\)件次品”包括\((A,D)\)，\((A,E)\)，\((A,F)\)，\((B,D)\)，\((B,E)\)，\((B,F)\)，\((C,D)\)，\((C,E)\)，\((C,F)\)，\((D,E)\)，\((D,F)\)，\((E,F)\)共12个基本事件；“全是正品”包括\((A,B)\)，\((A,C)\)，\((B,C)\)共3个基本事件，这两个事件的交集为空集，并集为全集[\(C_6^2=15\)]，故④正确；

综上所述，填写① ② ④

解题策略：抽象问题具体化。

【两个函数关于某条直线对称】在同一个平面直角坐标系中，函数\(y=f(x+1)\)与函数\(y=f(-x-1)\)的图像恒 【\(\qquad\)】

$A$.关于 $x$ 轴

$B$.关于直线 $x=1$ 对称

$C$.关于直线 $x=-1$ 对称

$D$.关于 $y$ 轴

法1：采用特殊化策略，将抽象问题具体化，令 \(f(x)=2^x\) 在列举具体函数时，尽可能的在基本初等函数范畴内列举，方便操作；同时注意尽可能的列举不要太特殊的函数，比如有对称性的，或者有周期性的函数，这样我们容易出现不必要的偏差，导致出错； ，则 \(f(x+1)=2^{x+1}\)， \(f(-x-1)=2^{-x-1}\)，结合函数图像的变换，可知选 \(C\) .

法2：抽象化思考，由于函数 \(f(x)\) 与 \(f(-x)\) 的图像关于直线 \(x=0\) 对称，将 \(f(x)\) 向左平移 \(1\) 个单位[用 \(x+1\) 替换 \(x\)，即实现图像向左平移 \(1\) 个单位]得到 \(f(x+1)\)；将 \(f(-x)\) 向左平移 \(1\) 个单位[用 \(x+1\) 替换 单独的\(x\)而不是 \(-x\)，即实现图像向左平移 \(1\) 个单位]得到 \(f(-(x+1))\)\(=\)\(f(-x-1)\)，这样的平移结果使得 \(f(x+1)\) 与 \(f(-x-1)\) 关于直线 \(x=-1\) 对称[将原来关于直线 \(x=0\) 对称平移后得到关于直线 \(x=-1\) 对称]，可知选 \(C\) 。