面面垂直的判定与证明

前言

学习中常会出现这样的苦恼：浏览题目或者听讲题目时能看懂或者听懂，但是到自己做题时又不会了；碰到这样的情况，你不妨试试，将模型图形旋转下，变成非特殊的位置，再好好研究，举例如下：

典例剖析

【2016江苏高考卷】如图，在直三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，\(D\)、\(E\)分别是\(AB\)、\(BC\)的中点，点\(F\)在侧棱\(BB_1\)上，且\(B_1D\perp A_1F\)，\(A_1C_1\perp A_1B_1\)。

求证：(1)直线\(DE//\)平面\(A_1C_1F\). 详细分析过程

证明：因为\(D\)、\(E\)分别是\(AB\)、\(BC\)的中点，

则有 \(DE//AC//A_1C_1\)， 故由

\[\left.\begin{array}{l}{DE//A_1C_1}\\{直线 A_1C_1\subset 平面 A_1C_1F}\\{DE\not\subset 平面 A_1C_1F }\end{array}\right\}\Rightarrow 直线DE//平面A_1C_1F \]

备注：关于线面位置的表示符号，已经变换过多次，转换为你所对应使用的版本即可；另外，这种书写形式的逻辑关系非常清晰，建议使用。倒过来就是分析，顺过去就是证明过程。

求证：(2) 平面 \(B_1DE\perp\) 平面 \(A_1C_1F\).

证明1： 结合题目的已知条件，可得

\(\left.\begin{array}{l}{A_1C_1\perp A_1B_1，已知}\\{A_1C_1\perp A_1A，由直三棱柱可知}\\{A_1A\subset 平面ABB_1A_1}\\{A_1B_1\subset 平面ABB_1A_1}\\{A_1B_1\cap A_1B=A_1}\end{array}\right\}\Rightarrow A_1C_1\perp 平面 ABB_1A_1\)

又由于 \(DE//A_1C_1\)，则 \(DE\perp\) 平面 \(ABB_1A_1\)，

又由于 \(A_1F\subset\) 平面 \(ABB_1A_1\)，故 \(DE\perp A_1F\)，即 \(A_1F\perp DE\)，

\(\left.\begin{array}{l}{A_1F\perp B_1D，已知}\\{A_1F\perp DE，已证}\\{B_1D\subset 平面B_1DE}\\{DE\subset 平面B_1DE}\\{B_1D\cap DE=D}\end{array}\right\}\Rightarrow 直线 A_1F\perp平面 B_1DE\)，

又由于 \(A_1F\subset\) 平面 \(A_1C_1F\)，故 平面 \(B_1DE\perp\) 平面 \(A_1C_1F\).

证明2： 结合题目的已知条件，可得

\(\left.\begin{array}{l}{A_1C_1\perp A_1B_1，已知}\\{A_1C_1\perp A_1A，由直三棱柱可知}\\{A_1A\subset 平面ABB_1A_1}\\{A_1B_1\subset 平面ABB_1A_1}\\{A_1B_1\cap A_1B=A_1}\end{array}\right\}\Rightarrow A_1C_1\perp 平面 ABB_1A_1\)

又由于 \(DE//A_1C_1\)，则 \(DE\perp\) 平面 \(ABB_1A_1\)，

又由于 \(A_1F\subset\) 平面 \(ABB_1A_1\)，故 \(DE\perp A_1F\)，即 \(A_1F\perp DE\)，

\(\left.\begin{array}{l}{A_1F\perp B_1D，已知}\\{A_1F\perp DE，已证}\\{B_1D\subset 平面B_1DE}\\{DE\subset 平面B_1DE}\\{B_1D\cap DE=D}\end{array}\right\}\Rightarrow 直线 A_1F\perp平面 B_1DE\)，

又由于 \(A_1F\subset\) 平面 \(A_1C_1F\)，故 平面 \(A_1C_1F\) \(\perp\) 平面 \(B_1DE\).

【2022年高考全国卷乙卷文数第18题】如图， 四面体 \(ABCD\) 中， \(AD\perp CD\)， \(AD=CD\)， \(\angle ADB=\angle BDC\)， \(E\) 为 \(AC\) 的中点。

(1). 证明: 平面 \(BED\) \(\perp\) 平面 \(ACD\)；

分析：证明面面垂直的题目，常常需要先转化为线面垂直来完成，此时就需要确定一条直线 这条直线就在给定的两个平面内来找，一般寻找确定的顺序是，先找边界线[三角形的平面就是三角形的边]，再找中线、中位线、角平分线、高线等这些比较特殊的直线，最后考虑没有这些特殊的直线时，是不是可以做出这些直线，和一个平面 这个平面就是要证明的两个平面中的一个，当你确定了所要的直线的来源平面后，此时的平面就是另外一个平面。，当确定好直线和平面后，就需要在这个平面内找两条直线，然后证明这两条来自平面内的直线分别和前面提到的直线都垂直，从而问题转化为线线垂直，而证明线线垂直时，就能用到初中和高中的相关知识了。

分析过程思维导图：

\[\require{AMScd} \begin{CD} {面面垂直}@>{\Leftarrow\;\alpha\perp\beta}>{性质定理}>线面垂直@>{\Leftarrow\left\{\begin{array}{l}{m[线]\perp\alpha[面]}\\{m\subsetneqq \beta }\end{array}\right.}>{性质定理}>线线垂直@>{\Leftarrow\left\{\begin{array}{l}{m[线]\perp a[线]}\\{m[线]\perp b[线]}\\{a\subsetneqq \alpha}\\{b\subsetneqq \alpha}\\{a\cap b=A}\end{array}\right.}>{依次证明即可}>逆推 \end{CD} \]

证明过程思维导图：

\[\require{AMScd} \begin{CD} 线线垂直 @>{\left.\begin{array}{l}{m\perp a}\\{m\perp b}\\{a\subsetneqq \alpha}\\{b\subsetneqq \alpha}\\{a\cap b=A}\end{array}\right\}\Rightarrow m\perp \alpha}>{判断定理}> 线面垂直@>{\left.\begin{array}{l}{m\perp\alpha}\\{m\subsetneqq \beta }\end{array}\right\}\Rightarrow \alpha\perp \beta}>{判定定理}>面面垂直 \end{CD} \]

〖证明〗：由于 \(AD=CD\)， \(E\) 是 \(AC\) 的中点， 所以 \(AC\perp DE\)[线线垂直]，

在 \(\triangle ADB\)和 \(\triangle CDB\)中，由于 \(\left\{\begin{array}{l}AD=CD\\BD=BD\\\angle ADB=\angle CDB\end{array}\right.\)， 所以 \(\triangle ADB\cong\triangle CDB\)[SAS]，

所以 \(AB=CB\)， \(E\) 是 \(AC\) 的中点， 故 \(AC\perp BE\)[线线垂直]，

[注意，当上述的垂直关系你若写成 \(DE\perp AC\) 和 \(BE\perp AC\)，则此时我们往往会转换视角，将上述的垂直关系转换为 \(AC\perp DE\) 和 \(AC\perp BE\)，便于我们梳理线面垂直的5个条件]

由于 \(DE\cap BE=E\)， \(DE\), \(BE\subset\) 平面 \(BED\)，

所以 \(AC\perp\) 平面 \(BED\)[线面垂直]，

由于 \(AC\subset\) 平面 \(ACD\)， 所以平面 \(BED\perp\) 平面 \(ACD\)[面面垂直].

(2). 设 \(AB=BD=2\)， \(\angle ACB=60^{\circ}\)， 点 \(F\) 在 \(BD\) 上， 当 \(\triangle AFC\) 的面积最小时， 求三棱锥 \(F\)\(-\)\(ABC\) 的体积.

分析：由题目可知当 \(\triangle AFC\) 的面积最小时， \(S_{\triangle AFC}=\cfrac{1}{2}\cdot AC \cdot EF\)，\(AC\)已是定值，故取决于 \(EF\) 最小，而点 \(F\) 是 \(BD\) 上的动点，那它何时最小呢，此时一般考虑其特殊位置，分别可能是 \(EF\) 为 \(\triangle BED\) 的高线，中线，角平分线。

解析：依题意 \(AB=BD=BC=2\)， \(\angle ACB=60^{\circ}\)， 三角形 \(ABC\) 是等边三角形，

所以 \(AC=2\)， \(AE=CE=1\)， \(BE=\sqrt{3}\)，

由于 \(AD=CD\)， \(AD\perp CD\)， 所以三角形 \(ACD\) 是等腰直角三角形， 所以 \(DE=1\)，

\(DE^{2}+BE^{2}=BD^{2}\)， 所以 \(DE\perp BE\)，

又由于 \(DE\perp BE\)，\(DE\perp AC\)， \(AC\cap BE=E\)， \(AC\),\(BE\subset\) 平面 \(ABC\)，所以 \(DE\perp\) 平面 \(ABC\).

由于 \(\triangle ADB\cong\triangle CDB\)， 所以 \(\angle FBA=\angle FBC\)，

由于 \(\left\{\begin{array}{l}BF=BF\\\angle FBA=\angle FBC\\AB=CB\end{array}\right.,\) 所以， \(\triangle FBA\cong\triangle FBC\)，

所以 \(AF=CF\)， 所以 \(EF\perp AC\)，

由于 \(S_{\triangle AFC}=\frac{1}{2}\cdot AC \cdot EF\)，所以当 \(EF\) 最短时从直线 \(BD\) 外的一点 \(E\) 向直线所作的线段中，只有垂线段最短，故接下来我们需要过点 \(E\) 做 直线 \(BD\) 的垂线段。， 三角形 \(AFC\) 的面积取得最小值.

过 \(E\) 作 \(EF\perp BD\)， 垂足为 \(F\)，

在 \(Rt\triangle BED\) 中， \(\cfrac{1}{2} \cdot BE \cdot DE=\cfrac{1}{2}\cdot BD\cdot EF\) ，

解得 \(EF=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)，所以 \(DF=\sqrt{1^{2}-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\cfrac{1}{2}\)，

\(BF=2-DF=\cfrac{3}{2}\) ，所以 \(\cfrac{BF}{BD}=\cfrac{3}{4}\)

过 \(F\) 作 \(FH\perp BE\)， 垂足为 \(H\)， 则 \(FH//DE\)， 所以 \(FH\perp\) 平面 \(ABC\)，

且 \(\cfrac{FH}{DE}=\cfrac{BF}{BD}=\cfrac{3}{4}\)，所以 \(FH=\cfrac{3}{4}\)，

所以 \(V_{F-ABC}=\cfrac{1}{3}\cdot S_{\triangle ABC}\cdot FH=\cfrac{1}{3}\times\cfrac{1}{2}\times 2\times\sqrt{3}\times\cfrac{3}{4}=\cfrac{\sqrt{3}}{4}\).

【2023年高考理科数学乙卷版第19题】如图，在三棱锥 \(P-ABC\)中，\(AB\perp BC\)，\(AB=2\)，\(BC=2\sqrt{2}\)，\(PB=PC=\sqrt{6}\)，\(BP\)、\(AP\)、\(BC\) 的中点分别为 \(D\)、\(E\)、\(O\)， \(AD=\sqrt{5}DO\)， 点 \(F\) 在 \(AC\) 上，\(BF\perp AO\)。

(1). 证明： \(EF//\) 平面 \(ADO\)；

✍️思路一：由于点 \(A\)、\(F\)、\(C\)三点共线，故必然存在唯一的实数 \(t\) ，满足条件 \(\overrightarrow{BF}=(1-t)\cdot\overrightarrow{BA}+t\cdot\overrightarrow{BC}\)，^[1]

又由于 \(BF\perp AO\)，故 \(\overrightarrow{BF}\cdot\overrightarrow{AO}=0\)，即 \(\overrightarrow{BF}\cdot(\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{BA})=0\)，

也即 \(\left[(1-t)\cdot\overrightarrow{BA}+t\cdot\overrightarrow{BC}\right]\cdot\left[\cfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}\right]=0\)，

由于 \(\angle ABC=90^{\circ}\)，则整理得到，\(-t\cdot\overrightarrow{BA}^2+\cfrac{1-t}{2}\cdot\overrightarrow{BC}^2=0\)，

即 \(-4t+4(1-t)=0\)，解得 \(t=\cfrac{1}{2}\)，

则 \(F\) 为 \(AC\) 的中点^[2]， 由 \(D\)，\(E\)，\(O\)，\(F\) 分别为 \(PB\)、 \(PA\)、 \(BC\)、 \(AC\) 的中点，

于是 \(DE//AB\)， \(DE=\cfrac{1}{2}AB\)， \(OF//AB\)， \(OF=\cfrac{1}{2}AB\)，

即 \(DE//OF\)，\(DE=OF\)， 则四边形 \(ODEF\) 为平行四边形，

\(EF//DO\)， \(EF=DO\)， 又 \(EF\not\subset\) 平面 \(ADO\)， \(DO\subset\) 平面 \(ADO\)，所以 \(EF//\) 平面 \(ADO\).

✍️思路二：注意到题目中有条件 \(BF\perp AO\)，则我们可以利用为 \(\overrightarrow{BF}\cdot\overrightarrow{AO}=0\)，故求解如下，

由勾股定理可知，\(AC=2\sqrt{3}\) 且 \(\cos\angle BAC=\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)，设 \(\overrightarrow{AF}=\lambda\overrightarrow{AC}\)，

由于 \(\overrightarrow{AB}\)\(\cdot\)\(\overrightarrow{AC}\)\(=\)\(|\overrightarrow{AB}|\)\(|\overrightarrow{AC}|\)\(\cos\angle\)\(BAC\)\(=\)\(4\)，

则 \(\overrightarrow{BF}\cdot\overrightarrow{AO}\)\(=\)\((\lambda\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})\)\((\cfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\cfrac{1}{2}\overrightarrow{AC})\)

\(=\cfrac{\lambda}{2}|\overrightarrow{AC}|^2-\cfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|^2+(\cfrac{\lambda}{2}-\cfrac{1}{2})\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=8\lambda-4=0\)，

解得 \(\lambda=\cfrac{1}{2}\)， 则 \(F\) 为 \(AC\) 的中点，由 \(D\)，\(E\)，\(O\)，\(F\) 分别为 \(PB\)、 \(PA\)、 \(BC\)、 \(AC\) 的中点，

于是 \(DE//AB\)， \(DE=\cfrac{1}{2}AB\)， \(OF//AB\)， \(OF=\cfrac{1}{2}AB\)，

即 \(DE//OF\)，\(DE=OF\)， 则四边形 \(ODEF\) 为平行四边形，

\(EF//DO\)， \(EF=DO\)， 又 \(EF\not\subset\) 平面 \(ADO\)，\(DO\subset\) 平面 \(ADO\)，所以 \(EF//\) 平面 \(ADO\).

(2). 证明： 平面 \(ADO\perp\) 平面 \(BEF\)；

证明：由于 \(AO\)\(=\)\(\sqrt{AB^2+OB^2}\)\(=\)\(\sqrt{6}\)\(=\)\(PC\)\(=\)\(2OD\)， \(AD=\sqrt{5}DO\)，

则由 \(AD^2=AO^2+OD^2\)^[3]，故 \(AO\perp OD\)，则有 \(AO\perp EF\)，

由 \(AO\perp BF\)，\(BF\cap EF=F\)，\(BF,EF\subset\) 平面 \(BEF\)，

则 \(AO\perp\) 平面 \(BEF\)，又由于 \(AO\subset\) 平面 \(ADO\)，

故 平面 \(ADO\perp\) 平面 \(BEF\)；

(3). 求二面角 \(D-AO-C\) 的正弦值；

解：设二面角 \(D-AO-C\) 的平面角为 \(\theta\)，则由 \(AO\perp OD\)， \(AO\perp BF\)，则 \(\theta\) 为 \(\overrightarrow{OD}\) 与 \(\overrightarrow{BF}\) 的夹角，

又由于 \(|\overrightarrow{BF}|=\cfrac{1}{2}|\overrightarrow{BF}|=\sqrt{3}\)， \(|\overrightarrow{OD}|=\cfrac{1}{2}|\overrightarrow{PC}|=\cfrac{\sqrt{6}}{2}\)，\(\cos\angle PCD=\cos\angle DOB=\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)，

则 \(\cos\theta=\cfrac{\overrightarrow{BF}\cdot\overrightarrow{OD}}{|\overrightarrow{BF}||\overrightarrow{OD}|}=\cfrac{\cfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA}-3\overrightarrow{OB})\cdot\overrightarrow{OD}}{|\overrightarrow{BF}||\overrightarrow{OD}|}=\cfrac{-\cfrac{3}{2}\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OD}}{|\overrightarrow{BF}||\overrightarrow{OD}|}\)

\(=\cfrac{-\cfrac{3}{2}\times\sqrt{2}\times\cfrac{\sqrt{6}}{2}\times\cfrac{\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{3}\times\cfrac{\sqrt{6}}{2}}=-\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)，即此平面角为钝角，

则 \(\sin\theta=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)，即二面角 \(D-AO-C\) 的正弦值为 \(\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)，

相关储备

• 判定线线垂直

图形语言	文字语言	符号语言
	如果一条直线和一个平 面垂直，那么它和这个 平面的任意一条直线垂 直，简称：线面垂直， 则线线垂直	\(\left.\begin{array}{r}{a\perp\alpha}\\{b\subsetneqq\alpha}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow a\perp b\)

• 判定线面垂直

图形语言	文字语言	符号语言
	如果一条直线和一个平 面内的两条相交直线都 垂直，那么这条直线和 这个平面垂直，简称： 线线垂直，则线面垂直	\(\left.\begin{array}{r}{a\subsetneqq\alpha，b\subsetneqq\alpha}\\{a\cap b=O}\\{l\perp a，l\perp b}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow l\perp\alpha\)
	两个平面垂直，如果一 个平面内的直线和其交 线垂直，那么这条直线 和另一个平面垂直	\(\left.\begin{array}{r}{\alpha\perp \beta}\\{\alpha\cap\beta=l}\\{a\subsetneqq\alpha，a\perp l}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow a\perp\beta\)
	如果一条直线和两个[可 引申为一组]平行平面中 的一个垂直，则它和另 一个平面也垂直	\(\left.\begin{array}{r}{\alpha//\beta}\\{a\perp\alpha}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow a\perp \beta\)
	如果一个平面和两条[可 引申为一组]平行直线中 的一条垂直，则它和另 一条直线也垂直	\(\left.\begin{array}{r}{a//b}\\{a\perp\alpha}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow b\perp \alpha\)

• 判定面面垂直

图形语言	文字语言	符号语言
	如果一条直线和一个平 面垂直，那么经过这条 直线的平面和这个平面 垂直	\(\left.\begin{array}{r}{a\perp\alpha}\\{a\subsetneqq\beta}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow \alpha\perp\beta\)
	如果一条直线和一个平 面垂直，那么与这条直 线平行的平面和这个平 面垂直	\(\left.\begin{array}{r}{a\perp\alpha}\\{a//\beta}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow \alpha\perp\beta\)

【临考谨记】利用定理证明空间中线、面位置关系时，要注意结合几何体的结构特征，尤其是注意灵活利用正棱柱、正棱锥等特殊几何体的性质，进行空间中线、面位置关系的相互转化。

$\fbox{线线平行与垂直}$$\quad$$\cfrac{\mbox{判定}\Rightarrow}{\Leftarrow\mbox{性质}}$$\quad$$\fbox{线面平行与垂直}$$\quad$$\cfrac{\mbox{判定}\Rightarrow}{\Leftarrow\mbox{性质}}$$\quad$$\fbox{面面平行与垂直}$

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1. 我们拿到这个题目，一般都会想到转化为通过证明线线平行来证明线面平行，但就是这个线线平行是此题目中的难点，你看着线线是平行的，但常规思路就是不能证明这一点；此题目此处主动应用三点共线的向量表示形式，非常巧妙，引入参数 \(t\)，目的是为了下一步求解 \(t=\cfrac{1}{2}\)，从而得到点 \(F\) 是 \(AC\) 的中点，这样就方便下一步说明线线平行； ↩︎

2. 当 \(t=\cfrac{1}{2}\) 时，由 \(\overrightarrow{BF}\)\(=\)\(\cfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}\)\(+\)\(\cfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\)，由向量加法的平行四边形法则可以推导得到 \(F\) 为 \(AC\) 的中点 . ↩︎

3. 由数量的关系得到形式上的关系，也是非常常用的思路之一； ↩︎