2022 全国乙卷数学详解详析

💎更新于 2022-12-26 19:39 | 发布于 2022-06-13 19:13
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公式定理💯随心记

【双曲线的标准方程】文字语言：平面内到两个定点 F1,F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于 |F1F2|）的点的轨迹。符号语言：标准方程 x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，其中 c2=a2+b2；渐近线 y=±bax；离心率 e=ca>1

前言

对 2022 年高考全国卷乙卷的数学题目尝试进行多角度的解析，以期提升学生的思维能力，廓清思维的盲点。

真题解析

【2022 年高考全国卷乙卷理数第 9 题文数第 12 题】已知球 O 的半径为 1，四棱锥的顶点为 O，底面的四个顶点均在球 O 的球面上， 则当该四棱锥的体积最大时，其高为【】

A.13 B.12 C.33 D.22

分析：由于 VO−ABCD=13×SABCD×h，由于底面 ABCD 的四个顶点均在球 O 的球面上，则当 SABCD 达到最大时，h 达到最小，而当 h 达到最大时，SABCD 达到最小，说明 h 和 SABCD 之间有内在的关联，需要让二者的关系达到某种平衡，VO−ABCD 才能取到最大值。此时常用的策略是让某个变量临时固定，让另外一个变量变化，不妨令 h 暂时固定，来看 SABCD 的变化情况，这样题目就突破了难点。

解析： 设该四棱锥底面为四边形 ABCD， 它所在小圆半径为 r，又设其对角线夹角为 α，

则 SABCD=12⋅AC⋅BD⋅sin⁡α

⩽12⋅AC⋅BD 当 α=π2 时，此时四边形的对角线互相垂直，则四边形就变形为菱形，⩽12⋅(AC+BD2)2=12⋅(2r+2r2)2=2r2 AC 和 BD 的最大值是小圆的直径，当两条对角线相等时，菱形就变形为正方形。，

(当且仅当四边形 ABCD 为正方形时等号成立)

即当四棱锥的顶点 O 到底面 ABCD 所在小圆距离 [即四棱锥的高] 一定时， 底面 ABCD 面积的最大值为 2r2，

又由题目四棱锥的顶点为 O，底面的四个顶点均在球 O 的球面上，则 r2+h2=1，

则 VO−ABCD=13×SABCD×h=13⋅2r2⋅h=23r2⋅r2⋅2h2 此处的变形详析：23×r2×2h=23×r2⋅r2⋅2h2

⩽23(r2+r2+2h23)3=4327

当且仅当 r2=2h2 ，且 r2+h2=1，即 h=33 时等号成立，故选: C .

【2022 年高考文科数学全国卷乙卷第 16 题】 若 f(x)=ln⁡|a+11−x|+b 是奇函数， 则 a= _______，b= _________.

解析：因为函数 f(x)=ln⁡|a+11−x|+b 为奇函数， 所以其定义域关于原点对称 .

由 a+11−x≠0 ，分式化为整式得到此处的分式化为整式的变形就显得非常关键，因为只有这样才能产生两个因式相乘不等于零的形式，才有可能满足定义域关于原点对称。对思维的考查凸显的非常明显，所以我感觉这个题目命制的相当成功。，(1−x)(a+1−ax)≠0，

由上式中 1−x≠0 显然能得到 x≠1，

故由 a+1−ax≠0 应该得到 x≠−1 才能满足其定义域关于原点对称，

由 a+1−ax=0 能得到 x=a+1a，令 x=−1，即 a+1a=−1 ，解得: a=−12，

此时函数的定义域为 (−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞)， 再由 f(0)=0 可得 b=ln⁡2.

即 f(x)=ln⁡|−12+11−x|+ln⁡2=ln⁡|1+x1−x|，在定义域内满足 f(−x)=−f(x)， 符合题意 .

故 a=−12， b=ln⁡2.

【2022 年高考理科数学全国卷乙卷第 17 题】记 △ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c, 已知 sin⁡Csin⁡(A−B)=sin⁡Bsin⁡(C−A).

(1). 证明: 2a2=b2+c2；

证法一： 由于 sin⁡Csin⁡(A−B)=sin⁡Bsin⁡(C−A) 此处的三角函数的变换方向的选择和确定就显得非常重要，此时既可以考虑将 sin⁡(A−B) 和 sin⁡(C−A) 打开，变化为四个三项乘积的形式，再思考使用正弦定理。，可以转化为

sin⁡Csin⁡Acos⁡B−sin⁡Ccos⁡Asin⁡B=sin⁡Bsin⁡Ccos⁡A−sin⁡Bcos⁡Csin⁡A，

由正弦定理可得 accos⁡B−bccos⁡A=bccos⁡A−abcos⁡C，即 accos⁡B=2bccos⁡A−abcos⁡C，

由余弦定理可得 aca2+c2−b22ac=2bcb2+c2−a22bc−aba2+b2−c22ab，

即证得 2a2=b2+c2。

证法二： 由于 sin⁡Csin⁡(A−B)=sin⁡Bsin⁡(C−A) 此处的三角函数的变换方向的选择和确定就显得非常重要，也可以做替换 sin⁡C=sin⁡(A+B)， sin⁡B=sin⁡(C+A)，替换后由于呈现出对称的特点，我们大约能看到展开后可能有平方差公式的应用。更多体验，请参阅三角变换的方向总结，

则有 sin⁡(A+B)sin⁡(A−B)=sin⁡(C+A)sin⁡(C−A).

打开，得到 (sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B)(sin⁡Acos⁡B−cos⁡Asin⁡B)

=(sin⁡Ccos⁡A+cos⁡Csin⁡A)(sin⁡Ccos⁡A−cos⁡Csin⁡A)，

整理得到，sin2⁡Acos2⁡B−cos2⁡Asin2⁡B=sin2⁡Ccos2⁡A−cos2⁡Csin2⁡A，

移项整理，sin2⁡A(cos2⁡B+cos2⁡C)=cos2⁡A(sin2⁡B+sin2⁡C)，

即 sin2⁡A(cos2⁡B+cos2⁡C)−(1−sin2⁡A)(sin2⁡B+sin2⁡C)=0，

即 sin2⁡A(cos2⁡B+sin2⁡B+cos2⁡C+sin2⁡C)−(sin2⁡B+sin2⁡C)=0

即 2sin2⁡A=sin2⁡B+sin2⁡C，角化边得到，

2a2=b2+c2，证毕。

(2). 若 a=5， cos⁡A=2531， 求 △ABC 的周长。

解： 由于 a=5， cos⁡A=2531 由已知条件我们就可以针对 a 边使用余弦定理，这样只需要求解出 b+c 的值即可；又由于 b2+c2=(b+c)2−2bc，故需要首先计算 2bc 的值；，这样由余弦定理，

得到，a2=b2+c2−2bc⋅cos⁡A，即 2bc⋅cos⁡A=b2+c2−a2，

即 2bc⋅2531=2a2−a2=a2=25，即 2bc=31，

又由于 2a2=b2+c2=(b+c)2−2bc，即 (b+c)2=2a2+2bc=50+31=81，

故 b+c=9，则 △ABC 的周长 l△ABC=5+9=14。

【2022 年高考文科数学全国卷乙卷第 17 题】记 △ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c, 已知 sin⁡Csin⁡(A−B)=sin⁡Bsin⁡(C−A).

(1). 若 A=2B，求 C；

解：由于 A=2B，则可知 C=π−3B 此处结合内角和定理，应该想到 C 也能用 B 来表达，这样就实现了变量集中，便于后续的计算。，

又由题目 sin⁡Csin⁡(A−B)=sin⁡Bsin⁡(C−A)，将 A=2B 代入左端，

得到 sin⁡Csin⁡(2B−B)=sin⁡Bsin⁡(C−A)，

即 sin⁡Csin⁡B=sin⁡Bsin⁡(C−A)，约去 sin⁡B，

得到 sin⁡C=sin⁡(C−A)，将 A=2B 和 C=π−3B 代入右端，

得到 sin⁡C=sin⁡(π−3B−A)=sin⁡(π−5B)=sin⁡5B，

解三角方程 sin⁡C=sin⁡5B，得到 C=5B，(舍去 C+5B=π)，

由内角和定理可知，2B+B+5B=π，解得 B=π8，

故 C=5B=5π8 .

〔解后反思〕：本题目若使用余弦定理的方式求解 C ，运算会很麻烦，还不一定能求解成功。

(2). 证明: 2a2=b2+c2；

证法一： 由于 sin⁡Csin⁡(A−B)=sin⁡Bsin⁡(C−A) 此处的三角函数的变换方向的选择和确定就显得非常重要，此时既可以考虑将 sin⁡(A−B) 和 sin⁡(C−A) 打开，变化为四个三项乘积的形式，再思考使用正弦定理。，可以转化为

sin⁡Csin⁡Acos⁡B−sin⁡Ccos⁡Asin⁡B=sin⁡Bsin⁡Ccos⁡A−sin⁡Bcos⁡Csin⁡A，

由正弦定理可得 accos⁡B−bccos⁡A=bccos⁡A−abcos⁡C，即 accos⁡B=2bccos⁡A−abcos⁡C，

由余弦定理可得 aca2+c2−b22ac=2bcb2+c2−a22bc−aba2+b2−c22ab，

即证得 2a2=b2+c2。

证法二： 由于 sin⁡Csin⁡(A−B)=sin⁡Bsin⁡(C−A) 此处的三角函数的变换方向的选择和确定就显得非常重要，也可以做替换 sin⁡C=sin⁡(A+B)， sin⁡B=sin⁡(C+A)，替换后由于呈现出对称的特点，我们大约能看到展开后可能有平方差公式的应用。更多体验，请参阅三角变换的方向总结，

则有 sin⁡(A+B)sin⁡(A−B)=sin⁡(C+A)sin⁡(C−A).

打开，得到 (sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B)(sin⁡Acos⁡B−cos⁡Asin⁡B)

=(sin⁡Ccos⁡A+cos⁡Csin⁡A)(sin⁡Ccos⁡A−cos⁡Csin⁡A)，

整理得到，sin2⁡Acos2⁡B−cos2⁡Asin2⁡B=sin2⁡Ccos2⁡A−cos2⁡Csin2⁡A，

移项整理，sin2⁡A(cos2⁡B+cos2⁡C)=cos2⁡A(sin2⁡B+sin2⁡C)，

即 sin2⁡A(cos2⁡B+cos2⁡C)−(1−sin2⁡A)(sin2⁡B+sin2⁡C)=0，

即 sin2⁡A(cos2⁡B+sin2⁡B+cos2⁡C+sin2⁡C)−(sin2⁡B+sin2⁡C)=0

即 2sin2⁡A=sin2⁡B+sin2⁡C，角化边得到，

2a2=b2+c2，证毕。

【2022 年高考全国卷乙卷文数第 18 题】如图， 四面体 ABCD 中， AD⊥CD， AD=CD， ∠ADB=∠BDC， E 为 AC 的中点。

(1). 证明：平面 BED ⊥ 平面 ACD；

分析：证明面面垂直的题目，常常需要先转化为线面垂直来完成，此时就需要确定一条直线 这条直线就在给定的两个平面内来找，一般寻找确定的顺序是，先找边界线 [三角形的平面就是三角形的边]，再找中线、中位线、角平分线、高线等这些比较特殊的直线，最后考虑没有这些特殊的直线时，是不是可以做出这些直线，和一个平面 这个平面就是要证明的两个平面中的一个，当你确定了所要的直线的来源平面后，此时的平面就是另外一个平面。，当确定好直线和平面后，就需要在这个平面内找两条直线，然后证明这两条来自平面内的直线分别和前面提到的直线都垂直，从而问题转化为线线垂直，而证明线线垂直时，就能用到初中和高中的相关知识了。

分析过程思维导图：

面面垂直→性质定理⇐α⊥β线面垂直→性质定理⇐{m[线]⊥α[面]m⫋β线线垂直→依次证明即可⇐{m[线]⊥a[线]m[线]⊥b[线]a⫋αb⫋αa∩b=A

证明过程思维导图：

线线垂直→判断定理m⊥am⊥ba⫋αb⫋αa∩b=A}⇒m⊥α线面垂直→判定定理m⊥αm⫋β}⇒α⊥β面面垂直

〖证明〗：由于 AD=CD， E 是 AC 的中点， 所以 AC⊥DE[线线垂直]，

在 △ADB 和 △CDB 中，由于 {AD=CDBD=BD∠ADB=∠CDB， 所以 △ADB≅△CDB[SAS]，

所以 AB=CB， E 是 AC 的中点， 故 AC⊥BE[线线垂直]，

[注意，当上述的垂直关系你若写成 DE⊥AC 和 BE⊥AC，则此时我们往往会转换视角，将上述的垂直关系转换为 AC⊥DE 和 AC⊥BE，便于我们梳理线面垂直的 5 个条件]

由于 DE∩BE=E， DE, BE⊂ 平面 BED，

所以 AC⊥ 平面 BED[线面垂直]，

由于 AC⊂ 平面 ACD， 所以平面 BED⊥ 平面 ACD[面面垂直].

(2). 设 AB=BD=2， ∠ACB=60∘， 点 F 在 BD 上， 当 △AFC 的面积最小时， 求三棱锥 F−ABC 的体积.

分析：由题目可知当 △AFC 的面积最小时， S△AFC=12⋅AC⋅EF，AC 已是定值，故取决于 EF 最小，而点 F 是 BD 上的动点，那它何时最小呢，此时一般考虑其特殊位置，分别可能是 EF 为 △BED 的高线，中线，角平分线。

解析：依题意 AB=BD=BC=2， ∠ACB=60∘， 三角形 ABC 是等边三角形，

所以 AC=2， AE=CE=1， BE=3，

由于 AD=CD， AD⊥CD， 所以三角形 ACD 是等腰直角三角形， 所以 DE=1，

DE2+BE2=BD2， 所以 DE⊥BE，

又由于 DE⊥BE，DE⊥AC， AC∩BE=E， AC,BE⊂ 平面 ABC，所以 DE⊥ 平面 ABC.

由于 △ADB≅△CDB， 所以 ∠FBA=∠FBC，

由于 {BF=BF∠FBA=∠FBCAB=CB, 所以， △FBA≅△FBC，

所以 AF=CF， 所以 EF⊥AC，

由于 S△AFC=12⋅AC⋅EF，所以当 EF 最短时从直线 BD 外的一点 E 向直线所作的线段中，只有垂线段最短，故接下来我们需要过点 E 做 直线 BD 的垂线段。， 三角形 AFC 的面积取得最小值.

过 E 作 EF⊥BD， 垂足为 F，

在 Rt△BED 中， 12⋅BE⋅DE=12⋅BD⋅EF ，

解得 EF=32，所以 DF=12−(32)2=12，

BF=2−DF=32 ，所以 BFBD=34

过 F 作 FH⊥BE， 垂足为 H， 则 FH//DE， 所以 FH⊥ 平面 ABC，

且 FHDE=BFBD=34，所以 FH=34，

所以 VF−ABC=13⋅S△ABC⋅FH=13×12×2×3×34=34.

【2022 年高考全国卷乙卷文数理数第 19 题】 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山。 为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 10 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积 (单位: m2) 和材积量 (单位: m3 )， 得到如下数据：

样本
号 i		 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总 和
根部横
截面积 xi		 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材积
量 yi		 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9

并计算得 ∑i=110xi2=0.038， ∑i=110yi2=1.6158， ∑i=110xiyi=0.2474，

附：相关系数 r=∑i=1n(xi−x¯)(yi−y¯)∑i=1n(xi−x¯)2∑i=1n(yi−y¯)2，1.896≈1.377 .

（1）. 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

审题：“估计该林区这种树木的相关数据”，是说我们需要先求解样本的数字特征，然后用样本 [10 棵树木] 的数字特征来估计总体 [该林区的这种树木] 的数字特征，从而我们需要首先计算样本的数字特征，这是其一；同时关键词 “这种树木平均一棵的根部横截面积”，即是求样本 [树木根部横截面积] 的平均值，即求解 x¯，同理，“平均一棵的材积量” 应该是求材积量的平均值，到此，题目求解思路清晰了：

解析：由于该林区的 10 棵树木的根部横截面积的平均值为 x¯=0.610=0.06(m2)，材积量平均值为 y¯=3.910=0.39(m3)，由此估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积约为 0.06 m2，平均一棵的材积量约为 0.39 m3 ；

（2）. 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 0.01）；

分析：2022 届高考学子下考后的第一句话就是，题目给的相关系数公式用不上。其实命题人更想考查的是学生对数学公式的灵活使用情况，想强迫你知道 ∑i=1n(xi−x¯)(yi−y¯)=∑i=1nxiyi−nx¯y¯， ∑i=1n(xi−x¯)2=∑i=1nxi2−nx¯2，详推；如果我们备考复习仅仅定位在给定公式，我们只要会使用的层次，那么对于考查数学公式的灵活应用层次的题目，自然就束手无策了。相反的，如果我们突破了公式这个层面，剩下的就仅仅是运算考查了，请注意，本题目的运算也是挺难的。

解析： r=∑i=1n(xi−x¯)(yi−y¯)∑i=1n(xi−x¯)2∑i=1n(yi−y¯)2，

=∑i=1nxiyi−nx¯y¯∑i=1n(xi−x¯)2∑i=1n(yi−y¯)2 =∑i=1nxiyi−nx¯y¯∑i=1nxi2−nx¯2∑i=1nyi2−ny¯2

=0.2474−10×0.06×0.390.038−10×0.0621.6158−10×0.392

=0.2474−0.2340.038−0.0361.6158−1.521 =0.01340.002×0.0948

=0.01340.0001896 =0.01341.896×10−4

≈0.01341.377×10−2 =1.341.377≈0.97

（3）. 现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 186m2。 已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比。 利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值。

分析：关键词 “已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比”，则此时需要用到比例，关键是分析清楚参与构成比例的几个量，应该有 树木的材积量平均值，根部横截面积平均值，还有 所有这种树木的根部横截面积总和，最后一个就是待求解的量，将其设出来，就可以了。

解析：设这种树木的总材积量为 Y，则由树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，

可得到 0.060.39=186Y，解得 Y=1209 m3，故该林区这种树木的总材积量的估计值约为 1209 m3。

【2022 年高考全国卷乙卷文数第 20 题】已知函数 f(x)=ax−1x−(a+1)ln⁡x .

(1) . 当 a=0 时， 求 f(x) 的最大值；

解析：本小问基本没有其他的求解思路，就是求导，判断单调性，确定最大值；

当 a=0 时， f(x)=−1x−ln⁡x， x>0，

则 f′(x)=1x2−1x=1−xx2 此处，为了判断 f′(x) 的正负，你甚至可以只利用分子函数 y=1−x (x>0) 的图像快速判断，更多情形，请参阅导数法判断函数单调性的策略，

当 x∈(0,1) 时， f′(x)>0， f(x) 单调递增；

当 x∈(1,+∞) 时，f′(x)<0， f(x) 单调递减；

所以 f(x)max=f(1)=−1；

(2) . 若 f(x) 恰有一个零点， 求 a 的取值范围 ；

分析：本题目属于：已知函数只有一个零点，求参数的取值范围问题；这类题目由我们的高考备考经验可知，最起码有两个求解途径：其一，分离参数法，其二，分类讨论法；高考实战中一般建议第二个思路，是基于分步骤得分和有效利用第一问的考量，而且你要是注意研究这类的高考和模考题目，基本都是走思路二的路子。

解析：f(x)=ax−1x−(a+1)ln⁡x， x>0，

则 f′(x)=a+1x2−a+1x 运算到此，接下来常用的变形就是通分，对分子进行因式分解，这样的变形按理说，在初中就应该非常熟练，变形的目的就是为了便于判断分子的正负，此时分母常常就是正数，不需要重点考虑的；=(ax−1)(x−1)x2 对于像 ax2−(a+1)x+1 类的因式分解，你其实应该很熟练的。主要用到十字相乘法；，

[此处思维走向的判断：由于导函数是分式函数，其分母恒为正，此时我们只想知道分子的正负，从而快速判断原函数的增减，以便于能做出原函数的大致图像，从图像上判断函数是否仅有一个零点，基于此，我们需要对参数分类讨论如下，此时你可以更好的利用含参数的二次函数的图像来判断]，编者按。

1∘ 当 a≤0 时， ax−1≤0， 所以当 x∈(0,1) 时，f′(x)>0， f(x) 单调递增，

当 x∈(1,+∞) 时， f′(x)<0， f(x) 单调递减；

所以 f(x)max=f(1)=a−1<0， 此时函数无零点， 不合题意；

[ 括号中为辅助理解说明，具体作答时不用写到试卷上，单调性配图说明参考图像， 当 a⩽0 时，导函数的分子图像如图所示，我们只关注 x>0 那一段，很显然能看出来导函数的正负。；原函数图像说明根据所求得的单调性，我们可以做出原函数的大致图像， 由图像很显然能看出来，此时函数没有零点； ]

2∘ 当 0<a<1 时， 1a>1， 在 (0,1) 和 (1a,+∞) 上， f′(x)>0， f(x) 单调递增；

在 (1,1a) 上，f′(x)<0， f(x) 单调递减；

又 f(1)=a−1<0， 当 x 趋近正无穷大时， f(x) 趋近于正无穷大，

所以 f(x) 仅在 (1a,+∞) 有唯一零点， 符合题意；

[ 括号中为辅助理解说明，具体作答时不用写到试卷上，单调性配图说明参考图像， 当 0<a<1 时，导函数的分子图像如图所示，我们只关注 x>0 那一段，很显然能看出来导函数的正负。；原函数图像说明根据所求得的单调性，我们可以做出原函数的大致图像， 由图像很显然能看出来，此时函数有唯一零点； ]

3∘ 当 a=1 时， f′(x)=(x−1)2x2≥0，

所以 f(x) 单调递增， 又 f(1)=a−1=0， 所以 f(x) 有唯一零点， 符合题意；

[ 括号中为辅助理解说明，具体作答时不用写到试卷上，单调性配图说明参考图像， 当 a=1 时，导函数的分子图像如图所示，我们只关注 x>0 那一段，很显然能看出来导函数的正负。；原函数图像说明根据所求得的单调性，我们可以做出原函数的大致图像， 由图像很显然能看出来，此时函数有一个零点； ]

4∘ 当 a>1 时， 1a<1， 在 (0,1a) 和 (1,+∞) 上，f′(x)>0，f(x) 单调递增；

在 (1a,1) 上， f′(x)<0， f(x) 单调递减；

此时 f(1)=a−1>0，又 f(1an)=1an−1−an+n(a+1)ln⁡a，

则当 n=1 时， f(1a)=1−a+(a+1)ln⁡a>0 由于 f(a)>0，(1a,1) 上单调递减，故可知 f(1a)>0，如果还有疑惑，你还可以取值验证，比如令 a=e，则 f(1e)=1−e+(e+1)lne>0，

当 n 趋近正无穷大时， f(1an) 趋近负无穷， 所以 f(x) 在 (0,1a) 有一个零点， 在 (1a,+∞) 无零点，

[ 括号中为辅助理解说明，具体作答时不用写到试卷上，单调性配图说明参考图像， 当 a⩽0 时，导函数的分子图像如图所示，我们只关注 x>0 那一段，很显然能看出来导函数的正负。；原函数图像说明根据所求得的单调性，我们可以做出原函数的大致图像， 由图像很显然能看出来，此时函数有一个零点； ]

所以 f(x) 有唯一零点， 符合题意；

综上， a 的取值范围为 (0,+∞) .

〖解后反思〗啰嗦几句，当然你也可以采用分离参数的方法，变形得到 a=ln⁡x+1xx−ln⁡x，然后利用导数判断函数 g(x)=ln⁡x+1xx−ln⁡x 的单调性，从而利用单调性得到大致函数图像，由图像得到参数的取值范围。

【2022 年高考全国卷乙卷文数第 21 题】已知椭圆 E 的中心为坐标原点， 对称轴为 x 轴、 y 轴， 且过 A(0,−2)， B(32,−1) 两点。

(1). 求 E 的方程；

解：设椭圆 E 的方程为 mx2+ny2=1 这种设标准方程的好处在于能避免分类讨论，否则我们还需要分焦点在 x 轴和焦点在 y 轴两种情况分类计算。， 又其经过点 A(0,−2)， B(32,−1)，

则 {4n=194m+n=1, 解得 m=13， n=14，

所以椭圆 E 的方程为: y24+x23=1。

(2). 设过点 P(1,−2) 的直线交 E 于 M，N 两点， 过 M 且平行于 x 轴的直线与线段 AB 交于 点 T， 点 H 满足 MT→=TH→， 证明：直线 HN 过定点。

证明：由于经过点 P 的直线其斜率可能存在，也可能不存在，故分类讨论如下：

1∘ 若过点 P(1,−2) 的直线斜率不存在，则此时直线为 x=1，

将其代入 x23+y24=1，可得 M(1,263)， N(1,−263)，

代入直线 AB 的方程 y=23x−2，可得 T(6+3,263)，

由 MT→=TH→ ，解得 H(26+5,263)，

从而求得直线 HN 方程： y=(2−263)x−2， 显然直线 HN 过定点 (0,−2)。

2∘ 若过点 P(1,−2) 的直线斜率存在，则直线为 y+2=k(x−1)，

整理为 kx−y−(k+2)=0， 再设 M(x1,y1)， N(x2,y2)，

联立直线和椭圆方程，得到，{kx−y−(k+2)=0x23+y24=1，

整理得到 (3k2+4)x2−6k(2+k)x+3k(k+4)=0，

故有 {x1+x2=6k(2+k)3k2+4x1x2=3k(4+k)3k2+4① 以及 {y1+y2=−8(2+k)3k2+4y1y2=4(4+4k−2k2)3k2+4②

且有 x1y2+x2y1=−24k3k2+4③

联立 {y=y1y=23x−2， 可得 T(3y12+3,y1)， H(3y1+6−x1,y1)

同理同法，可求得直线 HN 方程： y−y2=y1−y23y1+6−x1−x2(x−x2)，

将 (0,−2) 代入上述方程，整理得 2(x1+x2)−6(y1+y2)+x1y2+x2y1−3y1y2−12=0，

将 ①②③式代入， 得 24k+12k2+96+48k−24k−48−48k+24k2−36k2−48=0，显然成立，即直线 HN 经过定点 (0,−2)。

综上 1∘ 和 2∘，可得直线 HN 经过定点 (0,−2)。

【2022 年高考文理科数学全国卷乙卷第 22 题】在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C 的参数方程为 {x=3cos⁡2ty=2sin⁡t ( t 为参数)，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 已知直线 l 的极坐标方程为 ρsin⁡(θ+π3)+m=0，

(1). 写出 l 的直角坐标方程；

解析： 由 ρsin⁡(θ+π3)+m=0 可得，

ρ(sin⁡θcos⁡π3+cos⁡θsin⁡π3)+m=0，即 ρ(12sin⁡θ+32cos⁡θ)+m=0，

则 12y+32x+m=0，故 l 的直角坐标方程为: 3x+y+2m=0 .

(2). 若 l 与 C 有公共点， 求 m 的取值范围。

分析：本问题属于已知直线与曲线的位置关系求参数的取值范围问题，常见的思路是利用 Δ 求解，但是若曲线是用参数方程刻画的，则此时往往不能使用判别式法。

解法 1：由 x=3cos⁡2t，cos⁡2t=1−2sin2⁡t ，

得 x=3(1−2sin2⁡t)=3[1−2(y2)2]=3−32y2，

即曲线 C 的直角坐标方程为 x=3−32y2，联立 {x=3−32y23x+y+2m=0，

消去 x 由于自变量 x 和 y 的最高次数是不一样的，故消去 x 和消去 y 的难易程度是不一样的；，整理得到，3y2−2y−4m−6=0，

即 3y2−2y−6=4m，又由于 y=2sin⁡t，则 −2≤y≤2，

到此转化为 4m=3y2−2y−6 (−2≤y≤2) 方程有解的问题，

此时需要求解二次函数 z=3y2−2y−6 (−2≤y≤2) 的值域，

由于二次函数 z=3y2−2y−6 (−2≤y≤2) 的值域为 −193≤z≤10 ，

故有 −193≤4m≤10 ，即 −1912≤m≤52 ，

故 m 的取值范围是 −1912≤m≤52.

〔解后反思〕：1. 估计好多学生会纠结为什么利用 Δ⩾0 求解的思路是错误的，对此我们进一步说明如下，由于 3y2−2y−4m−6=0，则 Δ=4+4×3×(6+4m)⩾0，解得 m⩾−1912，这仅仅是必要条件，不是充要条件。原因是 Δ⩾0 对应的是 y∈R，而此时明显有 −2≤y≤2 的限制，故这一思路肯定有问题。

  1. 当消去 y 后得到，3x2+23(2m−1)x+4m2−2=0，此时若使用 Δ⩾0 ，算理是错误的，若想使用方程有解的思路，但是参数没法分离，故就陷入两难的境地。

解法 2：联立 l 与 C 的方程， 即将 x=3cos⁡2t， y=2sin⁡t 代入 3x+y+2m=0 中，

可得 3cos⁡2t+2sin⁡t+2m=0，所以 3(1−2sin2⁡t)+2sin⁡t+2m=0，

化简为 −6sin2⁡t+2sin⁡t+3+2m=0 ，

要使 l 与 C 有公共点， 则 2m=6sin2⁡t−2sin⁡t−3 方程有解，

令 sin⁡t=a, 则 a∈[−1,1]， 令 f(a)=6a2−2a−3，(−1⩽a⩽1)，

二次函数 f(a) 的对称轴为 a=16， 开口向上，

所以 f(a)max=f(−1)=6+2−3=5，f(a)min=f(16)=16−26−3=−196，

所以 −196≤2m≤5 ，m 的取值范围为 −1912≤m≤52.

  1. 任意四边形面积公式的详细证明过程：
    如下图所示，OA=a，OB=b，OC=c，OD=d，两条对角线的夹角为 θ，[此时有对顶角或邻补角]

    则由割补法以及 S△=12absin⁡C ，我们可以得到以下的等式，
    SABCD=S△OAB+S△OBC+S△OCD+S△ODA
    =12absin⁡θ+12bcsin⁡θ+12cdsin⁡θ+12dasin⁡θ
    =12b(a+c)sin⁡θ+12d(a+c)sin⁡θ
    =12(a+c)(b+d)sin⁡θ=12AC×BDsin⁡θ ↩︎

  2. 三元均值不等式公式以及相关变形说明：
    abc3⩽a+b+c3， (a、b、c⩾0，当且仅当 a=b=c 时取到等号 )
    其变形适用形式：abc⩽(a+b+c3)3，在此题目中是这样使用的，
    r2⋅r2⋅2h2⩽(r2+r2+2h23)3=(2(r2+h2)3)3=(23)3，此题目的设置有失公允，对二选一中选择坐标系与参数方程的学生是不大公平的，且其难度有些超纲。 ↩︎

  3. 此处一般的思维都是由 a+11−x≠0 求解得到 x≠1+1a，此时要么没法继续思考，要么艰难晦涩的这样思考，从形式上可以看到 x≠1，故由定义域关于原点对称，还应该有 x≠−1，现在 x≠1+1a，故 应该有 1+1a=−1，从而求解得到 a=−12 .
    【同类型题目】[求函数中的参数值]【2017⋅ 深圳模拟】若函数 f(x)=x(2x+1)(x−a) 是奇函数，则实数 a 的值是 a=12 . 详解请查阅相关例题 ↩︎

  4. 当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设为 x2m+y2n=1 (m>0,n>0)，可避免分类讨论，也可设为 Ax2+By2=1 (A>0,B>0 且 A≠B)，解题比较方便。更多... ↩︎

  5. 设点 H(m,n)，则由向量的坐标运算得到，MT→=(6+2,0)，TH→=(m−6−3,n−263)，
    由 MT→=TH→ 得到 (6+2,0)=(m−6−3,n−263)，
    故解得 m=26+5，n=263，即 H(26+5,263)， ↩︎

  6. 由于点 H(26+5,263)，N(1,−263)，
    故依托直线的两点式方程 y−y2y1−y2=x−x2x1−x2 公式，
    得到直线 HN 的两点式方程：y−(−263)263−(−263)=x−126+5−1，
    整理得到，即 y+263463=x−126+4，
    到此处的途径一，努力化简后得到 y=(2−263)x−2，则直线 HN 过定点 (0,−2)。
    详细的化简过程：用分式列项，得到 3y46+12=(x−1)×26−4(26+4)(26−4)，
    即 y=[6−24(x−1)−12]×463，即 y=24−8612(x−1)−466，
    即化简得到 y=(2−263)x−2；直线 HN 过定点 (0,−2)。
    途径二，如果感觉化简复杂麻烦，将点 (0,−2) 代入验证也可以，左边为 −2+263463=2−64，右边为 0−126+4=2−64，则 左右相等，故 直线 HN 过定点 (0,−2)。 ↩︎

  7. 由于 y=kx−(k+2) ，则 y1=kx1−(k+2) ，y2=kx2−(k+2) ，
    故 y1+y2=k(x1+x2)−2(k+2)=k×6k(2+k)3k2+4−2(k+2)=−8(2+k)3k2+4，
    且 y1y2=[kx1−(k+2)]⋅[kx2−(k+2)]=k2x1x2−k(k+2)(x1+x2)+(k+2)2
    =k2×3k(4+k)3k2+4−k(k+2)×6k(2+k)3k2+4+(k+2)2(3k2+4)3k2+4
    =4(4+4k−2k2)3k2+4； ↩︎

  8. 解释：x1y2+x2y1=x1[kx2−(k+2)]+x2[kx1−(k+2)]
    =kx1x2−x1(k+2)+kx1x2−x2(k+2)=2kx1x2−(k+2)(x1+x2)
    =2k×3k(4+k)3k2+4−(k+2)×6k(2+k)3k2+4
    =−24k3k2+4 ↩︎

作者：陕西凤翔，微信：wh1979448597，邮箱：wanghai0666@126.com，敬请雅正，欢迎联系。
情怀：一直设想如何利用自己浅陋的教学感悟和粗鄙的电脑知识，将数学学习的手段和要素都整合到云端。

出处：https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/16368739.html

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