2022 全国乙卷 | 三角函数题难在哪里了

公式定理💯随心记

【绝对值不等式】文字语言：绝对值的基本运算性质。符号语言：$|a|-|b|\leqslant|a\pm b|\leqslant|a|+|b|$；$|a\cdot b|=|a|\cdot|b|$；$|\cfrac {a}{b}|=\cfrac {|a|}{|b|}$（$b\neq0$）

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前言

2022 高考全国卷 | 三角函数题为什么让学生感觉到难，到底难在什么地方？最起码有三角运算；三角变换的方向选择；变量集中策略的使用；量的代换的灵活性；

真题剖析

【2022 年高考理科数学全国卷乙卷第 17 题】记 $\triangle ABC$ 的内角 $A$， $B$， $C$ 的对边分别为 $a$， $b$， $c$, 已知 $\sin C\sin(A-B)$$=$$\sin B\sin(C-A)$.

(1). 证明: $2a^{2}=b^{2}+c^{2}$；

证法一： 由于 $\sin C\sin(A-B)$$=$$\sin B\sin(C-A)$ 此处的三角函数的变换方向的选择和确定就显得非常重要，此时既可以考虑将 $\sin(A-B)$ 和 $\sin(C-A)$ 打开，变化为四个三项乘积的形式，再思考使用正弦定理。，可以转化为

$\sin C\sin A\cos B-\sin C\cos A\sin B=\sin B\sin C\cos A-\sin B\cos C\sin A$，

由正弦定理可得 $ac\cos B-bc\cos A=bc\cos A-ab\cos C$，即 $ac\cos B=2bc\cos A-ab\cos C$，

由余弦定理可得 $ac\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}=2bc\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}-ab\dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$，

即证得 $2a^{2}=b^{2}+c^{2}$。

证法二： 由于 $\sin C\sin(A-B)$$=$$\sin B\sin(C-A)$ 此处的三角函数的变换方向的选择和确定就显得非常重要，也可以做替换 $\sin C=\sin(A+B)$， $\sin B=\sin(C+A)$，替换后由于呈现出对称的特点，我们大约能看到展开后可能有平方差公式的应用。更多体验，请参阅三角变换的方向总结，

则有 $\sin(A+B)\sin(A-B)$$=$$\sin(C+A)\sin(C-A)$.

打开，得到 $(\sin A\cos B+\cos A\sin B)(\sin A\cos B-\cos A\sin B)$

$=$$(\sin C\cos A+\cos C\sin A)(\sin C\cos A-\cos C\sin A)$，

整理得到，$\sin^2A\cos^2B-\cos^2A\sin^2B=\sin^2C\cos^2A-\cos^2C\sin^2A$，

移项整理，$\sin^2A(\cos^2B+\cos^2C)=\cos^2A(\sin^2B+\sin^2C)$，

即 $\sin^2A(\cos^2B+\cos^2C)-(1-\sin^2A)(\sin^2B+\sin^2C)=0$，

即 $\sin^2A(\cos^2B+\sin^2B+\cos^2C+\sin^2C)-(\sin^2B+\sin^2C)=0$

即 $2\sin^2A=\sin^2B+\sin^2C$，角化边得到，

$2a^2=b^2+c^2$，证毕。

(2). 若 $a=5$， $\cos A=\dfrac{25}{31}$， 求 $\triangle ABC$ 的周长。

解： 由于 $a=5$， $\cos A=\dfrac{25}{31}$ 由已知条件我们就可以针对 $a$ 边使用余弦定理，这样只需要求解出 $b+c$ 的值即可；又由于 $b^2$$+$$c^2$$=$$(b+c)^2$$-$$2bc$，故需要首先计算 $2bc$ 的值；，这样由余弦定理，

得到，$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos A$，即 $2bc\cdot\cos A=b^2+c^2-a^2$，

即 $2bc\cdot\dfrac{25}{31}=2a^2-a^2=a^2=25$，即 $2bc=31$，

又由于 $2a^2=b^2+c^2=(b+c)^2-2bc$，即 $(b+c)^2=2a^2+2bc=50+31=81$，

故 $b+c=9$，则 $\triangle ABC$ 的周长 $l_{\triangle ABC}=5+9=14$。

【2022 年高考文科数学全国卷乙卷第 17 题】记 $\triangle ABC$ 的内角 $A$， $B$， $C$ 的对边分别为 $a$， $b$， $c$, 已知 $\sin C\sin(A-B)$$=$$\sin B\sin(C-A)$.

(1). 若 $A=2B$，求 $C$；

解：由于 $A=2B$，则可知 $C=\pi-3B$ 此处结合内角和定理，应该想到 $C$ 也能用 $B$ 来表达，这样就实现了变量集中，便于后续的计算。，

又由题目 $\sin C\sin(A-B)$$=$$\sin B\sin(C-A)$，将 $A=2B$ 代入左端，

得到 $\sin C\sin(2B-B)$$=$$\sin B\sin(C-A)$，

即 $\sin C\sin B$$=$$\sin B\sin(C-A)$，约去 $\sin B$，

得到 $\sin C=\sin(C-A)$，将 $A=2B$ 和 $C=\pi-3B$ 代入右端，

得到 $\sin C=\sin(\pi-3B-A)=\sin(\pi-5B)=\sin 5B$，

解三角方程 $\sin C=\sin 5B$，得到 $C=5B$，(舍去 $C+5B=\pi$)，

由内角和定理可知，$2B+B+5B=\pi$，解得 $B=\dfrac{\pi}{8}$，

故 $C=5B=\dfrac{5\pi}{8}$ .

〔解后反思〕：本题目若使用余弦定理的方式求解 $C$ ，运算会很麻烦，还不一定能求解成功。

(2). 证明: $2a^{2}=b^{2}+c^{2}$；

证法一： 由于 $\sin C\sin(A-B)$$=$$\sin B\sin(C-A)$ 此处的三角函数的变换方向的选择和确定就显得非常重要，此时既可以考虑将 $\sin(A-B)$ 和 $\sin(C-A)$ 打开，变化为四个三项乘积的形式，再思考使用正弦定理。，可以转化为

$\sin C\sin A\cos B-\sin C\cos A\sin B=\sin B\sin C\cos A-\sin B\cos C\sin A$，

由正弦定理可得 $ac\cos B-bc\cos A=bc\cos A-ab\cos C$，即 $ac\cos B=2bc\cos A-ab\cos C$，

由余弦定理可得 $ac\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}=2bc\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}-ab\dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$，

即证得 $2a^{2}=b^{2}+c^{2}$。

证法二： 由于 $\sin C\sin(A-B)$$=$$\sin B\sin(C-A)$ 此处的三角函数的变换方向的选择和确定就显得非常重要，也可以做替换 $\sin C=\sin(A+B)$， $\sin B=\sin(C+A)$，替换后由于呈现出对称的特点，我们大约能看到展开后可能有平方差公式的应用。更多体验，请参阅三角变换的方向总结，

则有 $\sin(A+B)\sin(A-B)$$=$$\sin(C+A)\sin(C-A)$.

打开，得到 $(\sin A\cos B+\cos A\sin B)(\sin A\cos B-\cos A\sin B)$

$=$$(\sin C\cos A+\cos C\sin A)(\sin C\cos A-\cos C\sin A)$，

整理得到，$\sin^2A\cos^2B-\cos^2A\sin^2B=\sin^2C\cos^2A-\cos^2C\sin^2A$，

移项整理，$\sin^2A(\cos^2B+\cos^2C)=\cos^2A(\sin^2B+\sin^2C)$，

即 $\sin^2A(\cos^2B+\cos^2C)-(1-\sin^2A)(\sin^2B+\sin^2C)=0$，

即 $\sin^2A(\cos^2B+\sin^2B+\cos^2C+\sin^2C)-(\sin^2B+\sin^2C)=0$

即 $2\sin^2A=\sin^2B+\sin^2C$，角化边得到，

$2a^2=b^2+c^2$，证毕。