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不等式求范围问题中的运算选择

前言

研究解题中采用的运算类型[加减运算为一级运算,乘除运算为二级运算,乘方开方为三级运算],有助于我们对数学知识的更深入的理解和更灵活的应用。

典例剖析

已知\(-1<x<4\)\(2<y<3\),则\(x-y\)的取值范围是\((-4,2)\)\(3x+2y\)的取值范围是\((1,18)\)

解析:此类题目就是数乘运算和加减一级运算作用的结果; 注意:求解\(x-y\)类的范围,其实是用\(x\)加上\(-y\)的范围得到的;

已知实数\(a\in (1,3)\)\(b\in (\cfrac{1}{8},\cfrac{1}{4})\),则\(\cfrac{a}{b}\)的取值范围是\((4,24)\)

解析:此类题目就是数乘运算和乘除二级运算作用的结果; 注意:求解\(\cfrac{a}{b}\)的范围,其实是用\(a\)的范围乘以\(\cfrac{1}{b}\)的范围得到的;

提示:\(4<\cfrac{1}{b}<8\)\(a\in (1,3)\),所以\(4<\cfrac{a}{b}<24\)

[题目有改编]已知\(1\leq a-b\leq 2\)\(2\leq a+b \leq 4\), 求\(4a-2b\)的取值范围。

解析:此类题目就是数乘运算和加减一级运算作用的结果; 注意:不要想着将已知的两个式子加减后,得到单独的 \(a\)\(b\) 的范围,这个算理是错误的;

此处使用待定系数法,令\(4a-2b=m(a-b)+n(a+b)\),则由 \(4a-2b=(m+n)a-(m-n)b\)

所以由对应系数相等,得到方程 \(\begin{cases} m+n=4\\m-n=2\end{cases}\), 解得\(m=3\)\(n=1\)

又由于\(1\leq a-b\leq 2\),$ 2\leq a+b\leq 4$,

所以\(3\leq 3\cdot (a-b)\leq 6\)\(2\leq 1\cdot (a+b)\leq 4\)

\(5\leq 3\cdot (a-b)+1\cdot (a+b)\leq 10\)

\(5\leq 4a-2b \leq 10\)

【2010江苏高考理科数学第12题】 设实数 \(x\)\(y\) 满足 \(3 \leqslant xy^{2} \leqslant 8\)\(4 \leqslant \cfrac{x^{2}}{y} \leqslant 9\), 则 \(\cfrac{x^{3}}{y^{4}}\) 的最大值是_____.

分析:有上述题目的储备,估计你能猜想到不能使用一级运算,最起码要使用二级运算,但是尝试后又发现行不通,故我们将已知条件做个变形,\(3 \leqslant xy^{2} \leqslant 8\)\(4 \leqslant x^{2}y^{-1} \leqslant 9\),将代求转化为 \(x^3y^{-4}\),这样就可以转化为指数位置的一级运算了,比如先得到 \(3^m\)\(\leqslant\)\((xy^{2})^m\)\(=\)\(x^{m}y^{2m}\)\(\leqslant\)\(8^m\)\(4^n\)\(\leqslant\)\((x^{2}y^{-1})^n\)\(=\)\(x^{2n}y^{-n}\)\(\leqslant\)\(9^n\),这样我们只需要考虑 \(x^{m}\)\(y^{2m}\)\(\times\)\(x^{2n}\)\(y^{-n}\)\(=\)\(x^{m+2n}\)\(y^{2m-n}\)\(=\)\(x^3y^{-4}\),即 \(m+2n=3\)\(2m-n=-4\) 的问题了,解得\(m=-1\)\(n=2\) ,故解题一开始应该考虑的是三级运算。

解析:使用待定系数法,给 \(3 \leqslant xy^{2} \leqslant 8\),同时 \(-1\) 次方,得到 \(8^{-1}\)\(\leqslant\)\((xy^{2})^{-1}\)\(=\)\(x^{-1}y^{-2}\)\(\leqslant\)\(3^{-1}\)

\(4 \leqslant x^{2}y^{-1} \leqslant 9\),同时 \(2\) 次方,得到 \(4^2\)\(\leqslant\)\((x^{2}y^{-1})^2\)\(=\)\(x^{4}y^{-2}\)\(\leqslant\)\(9^2\)

两个同向不等式相乘得到, \(\cfrac{1}{8}\times 16\leqslant x^{-1}y^{-2}\times x^{4}y^{-2}\leqslant \cfrac{1}{3}\times 81\)

\(2\leqslant x^3y^{-4}\leqslant 27\),即 \(2\leqslant \cfrac{x^3}{y^4}\leqslant 27\),故所求的最大值为 \(27\) .

posted @ 2022-05-06 09:54  静雅斋数学  阅读(134)  评论(0编辑  收藏  举报
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