不等式求范围问题中的运算选择

前言

研究解题中采用的运算类型[加减运算为一级运算，乘除运算为二级运算，乘方开方为三级运算]，有助于我们对数学知识的更深入的理解和更灵活的应用。

典例剖析

已知\(-1<x<4\)，\(2<y<3\)，则\(x-y\)的取值范围是\((-4,2)\)；\(3x+2y\)的取值范围是\((1,18)\)；

解析：此类题目就是数乘运算和加减一级运算作用的结果； 注意：求解\(x-y\)类的范围，其实是用\(x\)加上\(-y\)的范围得到的；

已知实数\(a\in (1，3)\)，\(b\in (\cfrac{1}{8}，\cfrac{1}{4})\)，则\(\cfrac{a}{b}\)的取值范围是\((4,24)\)

解析：此类题目就是数乘运算和乘除二级运算作用的结果； 注意：求解\(\cfrac{a}{b}\)的范围，其实是用\(a\)的范围乘以\(\cfrac{1}{b}\)的范围得到的；

提示：\(4<\cfrac{1}{b}<8\)，\(a\in (1，3)\)，所以\(4<\cfrac{a}{b}<24\)；

[题目有改编]已知\(1\leq a-b\leq 2\) ，\(2\leq a+b \leq 4\)， 求\(4a-2b\)的取值范围。

解析：此类题目就是数乘运算和加减一级运算作用的结果； 注意：不要想着将已知的两个式子加减后，得到单独的 \(a\) 和 \(b\) 的范围，这个算理是错误的；

此处使用待定系数法，令\(4a-2b=m(a-b)+n(a+b)\)，则由 \(4a-2b=(m+n)a-(m-n)b\)，

所以由对应系数相等，得到方程 \(\begin{cases} m+n=4\\m-n=2\end{cases}\)， 解得\(m=3\)，\(n=1\)

又由于\(1\leq a-b\leq 2\)，$ 2\leq a+b\leq 4$，

所以\(3\leq 3\cdot (a-b)\leq 6\)，\(2\leq 1\cdot (a+b)\leq 4\)，

故\(5\leq 3\cdot (a-b)+1\cdot (a+b)\leq 10\)，

即\(5\leq 4a-2b \leq 10\)。

【2010江苏高考理科数学第12题】 设实数 \(x\)， \(y\) 满足 \(3 \leqslant xy^{2} \leqslant 8\)，\(4 \leqslant \cfrac{x^{2}}{y} \leqslant 9\)， 则 \(\cfrac{x^{3}}{y^{4}}\) 的最大值是_____.

分析：有上述题目的储备，估计你能猜想到不能使用一级运算，最起码要使用二级运算，但是尝试后又发现行不通，故我们将已知条件做个变形，\(3 \leqslant xy^{2} \leqslant 8\)，\(4 \leqslant x^{2}y^{-1} \leqslant 9\)，将代求转化为 \(x^3y^{-4}\)，这样就可以转化为指数位置的一级运算了，比如先得到 \(3^m\)\(\leqslant\)\((xy^{2})^m\)\(=\)\(x^{m}y^{2m}\)\(\leqslant\)\(8^m\)，\(4^n\)\(\leqslant\)\((x^{2}y^{-1})^n\)\(=\)\(x^{2n}y^{-n}\)\(\leqslant\)\(9^n\)，这样我们只需要考虑 \(x^{m}\)\(y^{2m}\)\(\times\)\(x^{2n}\)\(y^{-n}\)\(=\)\(x^{m+2n}\)\(y^{2m-n}\)\(=\)\(x^3y^{-4}\)，即 \(m+2n=3\) 且 \(2m-n=-4\) 的问题了，解得\(m=-1\)，\(n=2\) ，故解题一开始应该考虑的是三级运算。

解析：使用待定系数法，给 \(3 \leqslant xy^{2} \leqslant 8\)，同时 \(-1\) 次方，得到 \(8^{-1}\)\(\leqslant\)\((xy^{2})^{-1}\)\(=\)\(x^{-1}y^{-2}\)\(\leqslant\)\(3^{-1}\)，

\(4 \leqslant x^{2}y^{-1} \leqslant 9\)，同时 \(2\) 次方，得到 \(4^2\)\(\leqslant\)\((x^{2}y^{-1})^2\)\(=\)\(x^{4}y^{-2}\)\(\leqslant\)\(9^2\)，

两个同向不等式相乘得到， \(\cfrac{1}{8}\times 16\leqslant x^{-1}y^{-2}\times x^{4}y^{-2}\leqslant \cfrac{1}{3}\times 81\)，

即 \(2\leqslant x^3y^{-4}\leqslant 27\)，即 \(2\leqslant \cfrac{x^3}{y^4}\leqslant 27\)，故所求的最大值为 \(27\) .