高中数学中需要验证的数学素材

前言

持续补充整理中。。。。

典例剖析

已知集合\(A=\{1，3，\sqrt{m}\}\)，\(B=\{1，m\}\)，\(A\cup B=A\)，求\(m\)的值。

错解：由\(A\cup B=A\)，可得 \(B\subseteq A\)，则 \(m=3\) 或 \(m=\sqrt{m}\)，解得 \(m=3\) 或 \(m=0\) 或 \(m=1\) .

分析：上述解方程的过程没有问题，但是缺少验证环节，为什么必须要验证？原因是上述步骤只完成了解方程，没有兼顾到 \(m\) 和 \(\sqrt{m}\) 同时是集合的元素，而集合的元素必然要受互异性的限制，故上述解法错误。

正解：由\(A\cup B=A\)，可得 \(B\subseteq A\)，则 \(m=3\) 或 \(m=\sqrt{m}\)，解得 \(m=3\) 或 \(m=0\) 或 \(m=1\) .

故我们接下来应该将\(m\)的值，逐一代入集合验证，可知\(m=1\)不符题意，故 \(m=3\) 或 \(m=0\) .

设集合\(A=\{0，-4\}\)，\(B=\{x\mid x^2+2(a+1)x+a^2-1=0，x\in R\}\)，若\(A\cap B=B\)，则实数\(a\)的取值范围是_________。

提示：由\(A\cap B=B\)，得到\(B\subseteq A\)；分类讨论如下：

当\(B=\varnothing\)，\(\Delta=4(a+1)^2-4(a^2-1)<0\)，解得\(a<-1\)；

当\(B\)为单元素集时，即\(B=\{0\}\)或\(B=\{-4\}\)，详述如下，

当\(B=\{0\}\)时，将\(x=0\)代入方程得到\(a^2-1=0\)，解得\(a=1\)或者\(a=-1\)，

接下来验证如下，当\(a=1\)时，\(B=\{0，-4\}\)，不符前提\(B=\{0\}\)，故舍去；再验证\(a=-1\)时，\(B=\{0\}\)，符合前提\(B=\{0\}\)；

当\(B=\{-4\}\)时，将\(x=-4\)代入方程得到\(a^2-8a+7=0\)，解得\(a=-1\)或者\(a=-7\)，

接下来验证如下，当\(a=-7\)时，\(B=\{4，12\}\)，不符前提\(B=\{-4\}\)，故舍去；再验证\(a=-1\)时，\(B=\{0\}\)，符合前提\(B=\{-4\}\)，故舍去；

即\(B=\{0\}\)时，\(a=-1\)符合题意；

当\(B\)为双元素集时，即\(B=\{0，-4\}\)时，由根与系数关系得到，

\(\left\{\begin{array}{l}{\Delta=4(a^2+1)-4(a^2-1)>0①}\\{x_1+x_2=-2(a+1)=-4②}\\{x_1x_2=a^2-1=0③}\end{array}\right.\)

最快的解法是口算②式，得到\(a=1\)，代入③式口算验证成立，再代入①式口算验证成立，故上述混合组的结果为\(a=1\).

综上所述，得到参数的取值范围是\(a\in(-\infty，-1]\cup \{1\}\).

易错：不分类讨论或者不会分类讨论出错；

若集合\(A=\{x\mid (k+2)x^2+2kx+1=0\}\)有且仅有两个子集 ，则实数\(k\)的取值为　【】

$A.2或-1$ $B.-2或-1$ $C.-2$ $D.\pm 2或-1$

分析：由题目可知，集合\(A\)有且仅有两个子集，说明集合\(A\)应该为单元素集合，从而说明仿二次方程\((k+2)x^2+2kx+1=0\)，可能有一次方程和二次方程两种情形。

当\(k=-2\)时，原方程变形为一次方程\(-4x+1=0\)，仅有一个解，适合题意；

当\(k\neq -2\)时，原方程要仅有一个解，则必须\(\Delta =0\)，即\((2k)^2-4\cdot(k+2)\cdot 1=0\)，解得\(k=2\)或\(k=-1\)，满足题意，

综上所述，实数\(k\)的取值为\(\pm 2或-1\)，故选\(D\)。

(2017郑州模拟)已知函数\(f(x)=x^3+ax^2+bx-a^2-7a\)在\(x=1\)处取得极大值\(10\)，则\(\cfrac{a}{b}\)的值为____________.

分析：\(f'(x)=3x^2+2ax+b\)，由\(\begin{cases}f'(1)=0\\f(1)=10\end{cases}\)，

得到\(\begin{cases}3+2a+b=0\\1+a+b-a^2-7a=10\end{cases}\)，

解得\(\begin{cases}a=-2\\b=1\end{cases}\)，或\(\begin{cases}a=-6\\b=9\end{cases}\)，

当\(a=-2，b=1\)时，\(f'(x)=(3x-1)(x-1)\)，

此时\(x=1\)是导函数\(f'(x)\)的变号零点，但是在\(x=1\)处取到极小值，不符舍去；

当\(a=-6，b=9\)时，\(f'(x)=3(x-1)(x-3)\)，

此时\(x=1\)是导函数\(f'(x)\)的变号零点，且在\(x=1\)处能取到极大值。

故\(\cfrac{a}{b}=-\cfrac{2}{3}\)。

反思总结：由方程组解出来的根\(x=x_0\)，只能说明这一点的函数值是0，并不能说明这一点\(x_0\)处的左右的函数值的正负，有可能是不变号零点，那么这一点不会成为极值点，也有可能是变号零点，但是左右的正负值不符合。

函数\(f(x)=x^3+ax^2+bx+a^2\)在\(x=1\)处有极值\(10\)，求\(a，b\)的值。

分析：\(f'(x)=3x^2+2ax+b\)，由\(\begin{cases}f'(1)=0\\f(1)=10\end{cases}\)，

得到\(\begin{cases}3+2a+b=0\\a^2+a+b+1=10\end{cases}\)，

解得\(\begin{cases}a=4\\b=-11\end{cases}\)，或\(\begin{cases}a=-3\\b=3\end{cases}\)，

注意到此需要检验，当\(a=-3，b=3\)时，\(f'(x)=3(x-1)^2\)，

此时\(x=1\)是导函数\(f'(x)\)的不变号零点，故在\(x=1\)处不能取到极值。

当\(a=4，b=-11\)时，\(f'(x)=(3x+11)(x-1)\)，

此时\(x=1\)是导函数\(f'(x)\)的变号零点，故在\(x=1\)处能取到极值。

综上所述，\(a=4，b=-11\)。

已知函数\(f(x)=\cfrac{x-a}{2x-1}\)在区间\((\cfrac{1}{2}，+\infty)\)上单调递减，求参数\(a\)的取值范围。

法1：导数法，由于函数在区间\((\cfrac{1}{2}，+\infty)\)上单调递减，

故\(f'(x)=\cfrac{2a-1}{(2x-1)^2}\leq 0\)在区间\((\cfrac{1}{2}，+\infty)\)上恒成立，

即\(2a-1\leq 0\)恒成立，得到\(a\leq \cfrac{1}{2}\)，

但是当\(a=\cfrac{1}{2}\)时

代入原函数得到\(f(x)=\cfrac{1}{2}\)，为常函数，

则要舍去，故\(a<\cfrac{1}{2}\)。

法2：图像法，将函数变形为\(f(x)=\cfrac{-a+\cfrac{1}{2}}{2x-1}+\cfrac{1}{2}\)，

即函数的对称中心是\((\cfrac{1}{2}，\cfrac{1}{2})\)，

如果要函数在区间\((\cfrac{1}{2}，+\infty)\)上单调递减，

只需要\(-a+\cfrac{1}{2}>0\)即可，故\(a<\cfrac{1}{2}\)。

另类使用

设函数 \(f(x)=x^3+(a-2)x^2+ax\)，若 \(f(x)\) 为奇函数，则 可知 \(a=2\)。 原因是：定义域为 \(R\)，则一定满足 \(f(1)\)\(+\)\(f(-1)\)\(=\)\(0\)，即 \(2(a-2)\)\(\times\)\(1^2\)\(=\)\(0\) 恒成立，故必须满足 \(a=2\) 。