分区间讨论法

前言

零点分区间讨论法，比如解不等式\((x+1)(x-2)(x+3)>0\)，为便于表述令\(P=(x+1)(x-2)(x+3)\)，

先找到零点\(x=-3，x=-1，x=2\)，然后分区间列表得到

\[\begin{array}{l|ccccccc} x\quad取值范围\quad &x<-3&x=-3&-3<x<-1&x=-1&-1<x<2&x=2 &x>2\\ \hline P\quad值的正负\quad & - & 0 &+& 0 & - & 0 & + \\ \end{array}\]

由表格就可以得到不等式的解集\(\{x\mid -3<x<-1\) 或 \(x>2\}\)。

这就是零点分区间讨论法，在解不等式时的应用案例，在有些资料上也称为零点分段法。

典例剖析

【2017全国卷1文科理科第23题高考真题选修4-5不等式选讲】已知函数\(f(x)=-x^2+ax+4\)，\(g(x)=|x+1|+|x-1|\)，

（1）当\(a=1\)时，求不等式\(f(x)\ge g(x)\)的解集。

法1：零点分区间讨论法，我们先转化函数\(g(x)\)为分段函数，分别令\(x+1=0\)和\(x-1=0\)，得到\(x=-1\)和\(x=1\)，这样这两个实数就把数轴分成了三段，分三类情况讨论如下

\(g(x)=\begin{cases}-x-1-x+1，&x\leq -1\\x+1-x+1，&-1<x<1\\x+1+x-1，&x\ge 1\end{cases}\)，整理得到\(g(x)=\begin{cases}-2x，&x\leq -1\\2，&-1<x<1\\2x，&x\ge 1\end{cases}\)，

当\(a=1\)时，\(f(x)=-x^2+x+4\)，则\(f(x)\ge g(x)\)就等价转化为以下三个不等式组：

\(\begin{cases}x\leq -1\\-x^2+x+4\ge -2x\end{cases}\)或者\(\begin{cases}-1< x< 1\\-x^2+x+4\ge 2\end{cases}\)或者\(\begin{cases}x\ge 1\\-x^2+x+4\ge 2x\end{cases}\)

分别解得\(x\leq -1\)或\(-1<x<1\)或\(1\leq x\leq \cfrac{\sqrt{17}-1}{2}\)，求其并集得到原不等式的解集为\([-1，\cfrac{\sqrt{17}-1}{2}]\)。

法2：分别作出两个函数的图像，再求得交点，有图像可以直观的看到原不等式的解集为\([-1，\cfrac{\sqrt{17}-1}{2}]\)。

（2）若不等式\(f(x)\ge g(x)\)的解集包含\([-1，1]\)，求\(a\)的取值范围。

法1：数形结合法，函数\(f(x)=-x^2+ax+4\)，对称轴为\(x=\cfrac{a}{2}\)，开口向下，由有图可知，要使得不等式\(f(x)\ge g(x)\)的解集包含\([-1，1]\)，只需要满足条件\(\begin{cases}f(-1)\ge 2\\f(1)\ge 2\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}a\leq 1\\a\ge -1\end{cases}\)，故\(a\)的取值范围为\([-1，1]\)。

法2：转化为不等式恒成立求解，当\(x\in [-1，1]\)时，\(g(x)=2\)，由题目可知，不等式\(f(x)\ge 2\)的解集包含\([-1，1]\)，即当\(x\in [-1，1]\)时，\(f(x)\ge 2\)恒成立，即\(-x^2+ax+2\ge 0\)恒成立，

令\(h(x)=-x^2+ax+2\)，则只需满足条件\(\begin{cases}h(-1)\ge 0\\h(x)\ge 0\end{cases}\)，解得\(-1\leq a \leq 1\)，故\(a\)的取值范围为\([-1，1]\)。

法3：恒成立+分离参数法
当转化得到\(x\in [-1，1]\)时，\(f(x)\ge 2\)恒成立，即\(-x^2+ax+2\ge 0\)恒成立，接下来准备分离参数：

\(1^。\)当\(x=0\)时，代入得到\(2\ge 0\)，即\(a\in R\)；

\(2^。\)当\(x<0\)时，由\(ax\ge x^2-2\)分离参数得到\(a\leq \cfrac{x^2-2}{x}=x-\cfrac{2}{x}\)，令\(h(x)=x-\cfrac{2}{x}\)，\(h(x)\)在区间\((-1，0)\)上单调递增，故\(h(x)_{min}\rightarrow h(-1)=1\)即\(a\leq 1\)；

\(3^。\)当\(x>0\)时，由\(ax\ge x^2-2\)分离参数得到\(a\ge \cfrac{x^2-2}{x}=x-\cfrac{2}{x}\)，令\(h(x)=x-\cfrac{2}{x}\)，\(h(x)\)在区间\((0，1)\)上单调递增，故\(h(x)_{max}\rightarrow h(1)=-1\)即\(a\ge -1\)；

综上所述，由于三种情形下都要成立，故需要取其交集得到\(a\)的取值范围为\([-1，1]\)。