利用数列中相邻三项的代数和求通项公式
形如 $a_{n+2}$$+$$2a_n$$=$$3a_{n+1}$ 的递推公式，如何求解通项公式呢？
前言
本博文主要研究形如 \(a_{n+2}\)\(+\)\(2a_n\)\(=\)\(3a_{n+1}\) 的代数式求通项公式，即 \(f(a_{n},a_{n+1},a_{n+2})=0\) 形式的代数式。
请参阅：构造数列中的常见变形总结；
典例剖析
分析：用待定系数法，设 \(a_{n+2}+pa_{n+1}=k(a_{n+1}+pa_n)\)这样的设法有没有合理性，能不能这样设，是每个欲弄懂该问题的学生急于想知道的，这样是有合理性的，如果这样的设置有问题，那么最后一定会通过方程组无解的形式反应出来。同样如何合理，方程组就一定是有解的。 ，\(k，p\in R\)，
整理得到$$a_{n+2}-kp\cdot a_n=(k-p)a_{n+1}$$
比照$$a_{n+2}+2a_n=3a_{n+1}$$
得到\(kp=-2\)，\(k-p=3\)，
解得\(\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{p=-1}\end{array}\right.\)，或\(\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{p=-2}\end{array}\right.\)，
在具体题目中，我们取其中一组解即可；每一组解对于一种变形；
【法1】：当\(k=2\)，\(p=-1\)时，已知式变形为\(a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_n)\)，
即意味着这样变形：由\(a_{n+2}+2a_n=3a_{n+1}\)，
得到\(a_{n+2}+2a_n=2a_{n+1}+a_{n+1}\)，
即\(a_{n+2}-a_{n+1}=2a_{n+1}-2a_n\)，
即\(a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_n)\)，
又\(a_2-a_1=3\neq 0\)，即数列\(\{a_{n+1}-a_n\}\)是以\(a_2-a_1=3\)为首项，以\(2\)为公比的等比数列，
则\(a_{n+1}-a_n=3\times 2^{n-1}\)，接下来求\(a_n\)，使用累加法。
过程省略，可以求得\(a_n=3\times 2^{n-1}-2(n\in N^*)\)。
【法2】：当\(k=1\)，\(p=-2\)时，已知式变形为\(a_{n+2}-2a_{n+1}=a_{n+1}-2a_n\)，
即意味着这样变形：由\(a_{n+2}+2a_n=3a_{n+1}\)，
得到\(a_{n+2}+2a_n=2a_{n+1}+a_{n+1}\)，
即\(a_{n+2}-2a_{n+1}=a_{n+1}-2a_n\)，
又\(a_2-2a_1=2\)，即数列\(\{a_{n+1}-2a_n\}\)是以\(a_2-2a_1=2\)为首项，以\(0\)为公差的等差数列，
则\(a_{n+1}-2a_n=2+(n-1)\times 0=2\)，接下来求\(a_n\)，再次使用待定系数法。
\(a_{n+1}-2a_n=2\)，得到\(a_{n+1}=2a_n+2\)，
\(a_{n+1}+2=2(a_n+2)\)，故数列\(\{a_n+2\}\)是以\(a_1+2=3\)，以\(2\)为公比的等比数列；
故\(a_n=3\times 2^{n-1}-2(n\in N^*)\)。
【法3】：方程思想，由上可知，$$a_{n+1}-a_n=3\times 2^{n-1}①，$$
联立解以\(a_{n+1}\)和\(a_n\)为元的二元一次方程组，解得\(a_n=3\times 2^{n-1}-2(n\in N^*)\)。
(1). 求证: 数列 \(\left\{b_{n}\}\right.\) 是等比数列 ；
证明: 由 \(a_{n+2}=a_{n+1}+2 a_{n}\)， 两边同时加 \(a_{n+1}\)，
得 \(a_{n+2}+a_{n+1}=2\left(a_{n+1}+a_{n}\right)\)，即 \(b_{n+1}=2b_{n}\)，
又 \(b_{1}=a_{1}+a_{2}=2 \neq 0\)， 所以 \(\left\{b_{n}\right\}\) 是以 \(2\) 为首项， \(2\) 为公比的等比数列.
(2). 若数列 \(\left\{b_{n}\}\right.\) 的前 \(n\) 项和为 \(T_{n}\)， 求数列 \(\left\{T_{n}\}\right.\) 的前 \(n\) 项和.
解析：由（1）知， \(T_{n}=\cfrac{2(1-2^{n})}{1-2}=2\left(2^{n}-1\right)=2^{n+1}-2\)，
令数列 \(\left\{T_{n}\right\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_{n}\)， 由 \(T_{n}=2^{n+1}-2\) 知
\(S_{n}=\left(2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{n+1}\right)-2n=2^{n+2}-2n-4\) 。
解析： 由题目 \(a_{n+2}-a_{n+1}=2a_n\)，给两边同时加上 \(2a_{n+1}\)为什么这样运算，靠的是数学素养，长期的观察积累所致，如果观察不出来怎么办，就按照本博文的例1 ，采用待定系数法求解即可。即假定所给的表达式能等价转化为 \(a_{n+2}\) \(+\) \(pa_{n+1}\) \(=\) \(k (a_{n+1}\) \(+\) \(p a_n)\) ，接下来打开整理和已知的表达式对比可知\(p\) 和 \(k\) 的值；，得到 \(a_{n+2}+a_{n+1}=2(a_{n+1}+a_n)\) ，
由于 \(a_1+a_2=4\neq0\)，故数列 \(\{a_{n+1}+a_n\}\) 是首项为 \(4\) ，公比为 \(2\) 的等比数列，
故 \(a_{n+1}+a_n=4\times 2^{n-1}=2^{n+1}\)，[接下来考虑使用并项法求和]，
\(S_{20}\)\(=\)\((a_1+a_2)+(a_3+a_4)+(a_5+a_6)+\cdots+(a_{19}+a_{20})\)
\(=\)\(2^2+2^4+2^6+\cdots+2^{20}\)\(=\)\(\cfrac{4(1-4^{10})}{1-4}\)\(=\)\(\cfrac{4}{3}(4^{10}-1)\)，
故 \(\log_2{(3S_{20}+4)}=\log_2{4^{11}}=22\)， 故选 \(B\) .
