从 $a_{n+1}$ 与 $a_{_n}$ 的四则运算说起
本博文旨在解决涉及数列的后项 $a_{n+1}$ 与其前项 $a_n$ 的四则运算关系的题目如何求通项公式个问题。
前言
请参阅：构造数列中的常见变形总结；
典例剖析
思路1： 由题目可知，\(a_n+a_{n+1}=2n+1\)，则 \(a_n+a_{n+1}=(n+1)+n\) ，
再变形为 \(a_{n+1}-(n+1)=-(a_n-n)\)，[接下来考虑，\(\{a_n-n\}\)是否为等比数列]
由于 \(a_1-1=0\)，故 \(a_n-n=0\) ，即 \(a_n=n\) 。
思路2：利用并项法求\(S_n\)，再求\(a_n\)，此思路的优越性在于，若已知相邻三项或四项的和求通项公式，也能用这个思路；
解析：由于 \(S_{n+1}=a_1+(a_2+a_3)+(a_4+a_5)+\cdots+(a_n+a_{n+1})\)
\(=1+(2\times2+1)+(2\times4+1)+(2\times6+1)+\cdots++(2\times n+1)\)备注：此处\(n\)为偶数，共有 \(n+1\) 项，除过第一项后剩余，故有\(\cfrac{n}{2}\)个括号，将每一个括号看成一项，项数为 \(\cfrac{n}{2}\)，且常数项之和为 \(\cfrac{n}{2}\)
\(=1+2\times \cfrac{(2+n)\times\frac{n}{2}}{2}+\cfrac{n}{2}=\cfrac{n^2}{2}+\cfrac{3n}{2}+1\)，
即 \(S_{n+1}=\cfrac{n^2}{2}+\cfrac{3n}{2}+1\)，用 \(n-1\) 替换 \(n\)，整理得到 \(S_n=\cfrac{n^2}{2}+\cfrac{n}{2}\)；
以下用 \(a_n\) 与 \(S_n\) 的关系求解 \(a_n\)，
当 \(n\geqslant 2\) 时，\(a_n=S_n-S_{n-1}=(\cfrac{n^2}{2}+\cfrac{n}{2})-(\cfrac{(n-1)^2}{2}+\cfrac{(n-1)}{2})=n\)，
当 \(n=1\)时，\(a_1=S_1=1\)，符合上式；
综上所述，故 \(a_n=n\) .
思路3：构造\(a_{n+1}+a_{n+2}=2n+3\)，做差，得到\(a_{n+2}-a_n=2\)，奇数项和偶数项是等差数列；
解析：由于 \(a_n+a_{n+1}=2n+1\)，故有 \(a_{n+1}+a_{n+2}=2(n+1)+1=2n+3\)，
两式相减，得到 \(a_{n+2}-a_n=2\)，即数列 \(\{a_n\}\) 的奇数项和偶数项分别成等差数列，
其中奇数项的首项为 \(a_1=1\) ，公差为 \(2\)，故通项公式为\(a_{2k-1}=a_1+\cfrac{(2k-1)-1}{2}\times2=2k-1\) ①此处除以2，是因为第\(2k\)\(-\)\(1\)项与第1项之间的间隔减半了，
其中偶数项的首项为 \(a_2=2\) ，公差为 \(2\)，故通项公式为 \(a_{2k}=a_2+\cfrac{2k-2}{2}\times2=2k\) ②，理由同上，
综上所述，两个子数列可以合二为一，得到通项公式为 \(a_n=n\) .
〔解后反思〕：①若已知 \(a_1\)，以及 \(a_n+a_{n+1}+a_{n+2}=2n+1\)，则可以仿上思路 1 解法，先求得 \(S_n\) ，再求解 \(a_n\) ；
② 若已知 \(a_n\cdot a_{n+1}=2^n\)，求 \(a_n\) ，那么思路一，可以先得到前 \(n\) 项的乘积 \(T_n\) [并向求积法]，再写出 \(T_{n-1}\) ，两式相除得到 \(a_n\) ；思路二，由已知得到 \(a_{n+1}\cdot a_{n+2}=2^{n+1}\)，两式相除，得到 \(\cfrac{a_{n+2}}{a_n}=2\) ，即奇数项和偶数项分别成等比数列，再分别写出通项公式，如果能合二为一，则写成一个通项公式，若不能就写成分段函数；
③若 \(a_{n+1}-a_n=2n+1\)，则采用累加法求通项公式；这样 \(a_{n+1}\) 与 \(a_n\) 之间的四则运算形式就齐了；
④若出现 \(a_{n+2}=2a_{n+1}+4a_n\)，则假设 左式能等价改写为 \(a_{n+2}-pa_{n+1}=m(a_{n+1}-pa_{n})\)，打开整理，利用对应系数相等，求得系数 \(p\) 和 \(m\) 的值，这样就可以考虑数列 \(\{a_{n+1}-pa_n\}\) 为等比数列，从而写出其通项公式，接下来再利用 \(a_{n+1}=pa_n+p^n\)，两边同除以 \(p^{n+1}\) ，得到 \(\cfrac{a_{n+1}}{p^{n+1}}-\cfrac{a_n}{p^n}=\cfrac{1}{p}\)，构造数列 \(\{\cfrac{a_n}{p^n}\}\) 为等差数列，就可以写出其通项公式，从而整理得到 \(a_n\) .
⑤相关延申阅读：
解法1： 将 \(a_n+a_{n+1}=2\times 3^n\)，变形为 \(a_n+a_{n+1}=\cfrac{3^{n+1}}{2}+\cfrac{3^n}{2}\)，
即 \(a_{n+1}-\cfrac{3^{n+1}}{2}=-(a_{n}-\cfrac{3^{n}}{2})\) ，又 \(a_1-\cfrac{3}{2}=0\)，所以，\(a_n-\cfrac{3^n}{2}=0\)，
即数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式为 \(a_n=\cfrac{3^n}{2}\) .
解法2： 给 \(a_n+a_{n+1}=2\times 3^n\) 两边同时除以 \(3^{n+1}\)，整理得到
\(\cfrac{a_{n+1}}{3^{n+1}}+\cfrac{a_{n}}{3^{n+1}}=\cfrac{2\times3^{n}}{3^{n+1}}\)，即 \(\cfrac{a_{n+1}}{3^{n+1}}+\cfrac{1}{3}\times\cfrac{a_{n}}{3^{n}}=\cfrac{2}{3}\) ，
令 \(\cfrac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=b_{n+1}\) ，即 \(b_{n+1}=-\cfrac{1}{3}b_n+\cfrac{2}{3}\)，两边同加 \(-\cfrac{1}{2}\)，
整理得到，\(b_{n+1}-\cfrac{1}{2}=-\cfrac{1}{3}(b_{n}-\cfrac{1}{2})\)， 由于 \(b_1=\cfrac{a_1}{3}=\cfrac{1}{2}\)，
故 \(b_1-\cfrac{1}{2}=0\) ，则 \(b_n-\cfrac{1}{2}=0\) ，即 \(b_n=\cfrac{a_n}{3^n}=\cfrac{1}{2}\)，
故 \(a_n=\cfrac{3^n}{2}\) ，即数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式为 \(a_n=\cfrac{3^n}{2}\) .
