开放性试题|发散思维

前言

开放性试题，由于没有固定的答案，结果具有开放性，故而会导致我们的思维发散，也因此使得这类题目的求解难度加大，其实这类题目能更好的考查我们对知识的理解掌握和应用程度，考查我们的数学应用意识和创新意识，这几年慢慢会成为考查的热点。

相关延申阅读：一题多解;

典例剖析

【2021. 江苏镇江模拟】各项均为正数的等比数列 \(\{a_{n}\}\), 其公比 \(q \neq 1\), 且 \(a_{3} a_{7}=4\), 请写出一个符合条件的通项公式 \(a_{n}\)=_____________.

解析: 因为 \(\{a_{n}\}\) 为正项等比数列，所以 \(a_{3}a_{7}=a_{5}^{2}=4\) ，所以 \(a_{5}=2\) ，

又 \(q \neq 1\) ， 不妨令 \(q=2\) ，所以 \(a_{n}=a_{1} q^{n-1}=a_{5} q^{n-5}=2 \times 2^{n-5}=2^{n-4}\).

故填写 \(a_n=2^{n-4}\) .

思维引申：若令 \(q=3\) ，所以 \(a_{n}=a_{1} q^{n-1}=a_{5} q^{n-5}=2 \times 3^{n-5}\) 等等.

【2021\(\cdot\)湖南株洲一模】已知数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) 为等比数列， 若数列 \(\left\{10^{n}-a_{n}\right\}\) 也是等比数列，则数列 \(\{a_{n}\}\) 的通项公式可以为____________. (填一个即可)

解析: 取 \(a_{n}=-10^{n}\) ，则 \(\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=\cfrac{-10^{n+1}}{-10^{n}}=10\) ，

\(\cfrac{10^{n+1}-a_{n+1}}{10^{n}-a_{n}}=\cfrac{2 \times 10^{n+1}}{2 \times 10^{n}}=10\) ，

所以数列 \(\{10^{n}-a_{n}\}\) 和 \(\{a_{n}\}\) 都是等比数列.

故可以填写 \(a_{n}=-10^{n}\) .

思维引申：也可以取 \(a_{n}=-2\times 10^{n}\) 等等.

【三角函数性质的综合+灵活运用】 设定义在 \(R\) 上的函数 \(f(x)\)\(=\)\(\sin(\omega\)\(x\)\(+\)\(\varphi)\)， \((\omega>0\) , \(-\cfrac{\pi}{12}\)\(<\)\(\varphi\)\(<\)\(\cfrac{\pi}{2})\) . 现给出以下四个论断:

①. \(f(x)\) 的最小正周期为 \(\pi\) ；

②. \(f(x)\) 在区间 \(\left(-\cfrac{\pi}{6}, 0\right)\) 上是增函数；

③. \(f(x)\) 的 图象关于点 \(\left(\cfrac{\pi}{3}, 0\right)\) 对称；

④. \(f(x)\) 的图象关于直线 \(x=\cfrac{\pi}{12}\) 对称.

以其中两个论断作为条件， 另两个论断作为结论， 写出你认为正确的一个命题(写成 “\(p\) \(\Rightarrow\) \(q\) " 的形式， 用到的论断都用序号表示) .

解析: 根据 ① \(f(x)\) 的最小正周期为 \(\pi\)， 可得 \(\omega=2\)， 故函数 \(f(x)=\sin(2x+\varphi)\)，

再由 ④ 函数 \(f(x)\) 的图象关于直线 \(x=\cfrac{\pi}{12}\) 对称， 可得 \(\sin\left(2\times\cfrac{\pi}{12}+\varphi\right)\) 为 \(f(x)\) 的最值，

又 \(-\cfrac{\pi}{12}<\varphi<\cfrac{\pi}{2}\)， 所以 \(2\times\cfrac{\pi}{12}+\varphi=\cfrac{\pi}{2}\)，

解得 \(\varphi=\cfrac{\pi}{3}\)， 此时 \(f(x)=\sin\left(2x+\cfrac{\pi}{3}\right)\)，

可借助验证法，推得 ② 和 ③ 成立， 故由 ①④ 可以推出 ②③ 成立.

同样， 容易由 ①③ 推出 ②④ 成立 .

答案: ①④ \(\Rightarrow\) ②③ 或 ①③ \(\Rightarrow\) ②④(写出一个即可)

【2021·山东枣庄二模】写出一个图象关于直线 \(x＝2\) 对称且在 \([0, 2]\) 上单调递增的偶函数\(f(x)\)＝___________．

解析: 如 \(f(x)=-\cos\cfrac{\pi}{2}x\)，理由如下：

\(f(-x)=-\cos(-\cfrac{\pi}{2}x)=-\cos\cfrac{\pi}{2}x=f(x)\)， 即 \(f(x)\) 为偶函数，

由 \(\cfrac{\pi}{2}x=k\pi\)， 得 \(x=2k\)， \(k\in Z\)， 当 \(k=1\) 时， \(f(x)=-\cos\cfrac{\pi}{2}x\) 关于直线 \(x=2\) 对称，

由 \(x\in[0,2]\)得 \(\cfrac{\pi}{2}x\in[0, \pi]\)， 则由余弦函数的性质可知， 函数 \(f(x)=-\cos\cfrac{\pi}{2}x\) 在 \([0,2]\) 上单调递增。

思维引申：①如何想到这样的结果呢？ 由 \([0, 2]\) 上单调递增，借助几何直观，我们会想到做一条线段，最简单的如 \(y=x\) ，又由于图象关于直线 \(x＝2\) 对称，故在 \([2, 4]\) 上做线段 \(y=4-x\)，又由于是偶函数，则将 \([0, 4]\) 上的图像关于 \(y\) 轴对称到 \([-4, 0]\) 上，即得到了满足题意的函数图像的大致图样，但问题随之来了，怎么用解析式来刻画这个函数呢，一个思路是不会写就躲，用另一个来替换，比如曲线型的三角函数，由于有偶函数的限制，故想到用余弦型的\(y\)\(=\)\(A\cos\omega x\)，再调整相应的系数，就得到了 \(f(x)\)\(=\)\(-\cos\cfrac{\pi}{2}x\)；

② 另一个思路就是硬着头皮上，将我们刚才想到的图像数字化，比如\([0, 4]\) 上可以用两个分段函数组合，比如 \(y=x,x\in [0,2]\) 和 \(y=4-x,x\in(2,4]\)，其中\([-4,0)\)上利用对称求得解析式即可，最后用四段的分段函数表达即可，但我们感觉拉跨，此时可以观察 \([0, 4]\) 上的图像是 绝对值函数 \(y=|x|\) 倒扣加上平移得到的，故想到 \(x\in[0,4]\) 时，\(y=2-|x-2|\)，那么 \(x\in[-4,0)\) 上可以利用 \(y=f(-x)\) 来表达，但问题又来了，函数不满足对称性，因为是定义在\([-4,4]\)上的，并不关于\(y=2\)对称，我们需要将基本图像(\([0，4]\)这一段上的图像)向左右按周期的整数倍无限延伸才行，故采用周期的表达即可，

故得到满足题意的函数为 \(f(x)=\left\{\begin{array}{l}2-|x-2|，&x\in[0,4]\\f(x-4)，&x>4\\f(x+4)，&x<-4\end{array}\right.\)

当然也可以采用稍微简单一点的 \(f(x)=\left\{\begin{array}{l}|x|，&x\in[-2,2]\\f(x-4)，&x>2\\f(x+4)，&x<-2\end{array}\right.\)

③ 估计看到这儿，你应该也有了自己的想法，说我不用你说的函数，我用\(y=x^2,x\in[-2,2]\)做基本函数，也是对的，开放性试题吗，你也可以这样做，[当然，下面的函数，将 \(x^2\) 改为 \(x^4\)、\(x^6\)等等，又能得到不同的也满足题意的函数]

\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^2，&x\in[-2,2]\\f(x-4)，&x>2\\f(x+4)，&x<-2\end{array}\right.\)

\(\cdots\)，\(\cdots\)，

④总体来说，深入理解基本初等函数，用她们打底子应该更简单；其次，用好分段函数，往往能得到我们想要的；再次，用好图像的平移；最后提醒各位，必要的时候可以借助一些软件深化你对图像的理解和认知。

【2018·高考北京卷】能说明 “若 \(f(x)>f(0)\) 对任意的 \(x \in(0,2]\) 都成立，则 \(f(x)\) 在 \([0,2]\) 上是增函数" 为假命题的一个函数是________.

解析：借助几何直观，依托常见的函数，

① \(f(x)=-x^2+3x\)，\(x\in [0,2]\)； 引申：二次函数类，\(y=a(-x^2+3x)+b\)，

② \(f(x)=\sin x\)，\(x\in [0,2]\)； 引申：三角函数类 \(y=a\sin x\)，

③ 分段函数 \(\left\{\begin{array}{l}0，x=0\\2，0<x\leqslant 2\end{array}\right.\) ， 引申： 分段函数类，

【2022届高三数学三轮模考题】已知数列 \(\{a_n\}\) 的前两项分别是\(3\)、\(6\)，写出数列 \(\{a_n\}\) 的一个通项公式__________ .

解析：开放性试题， \(a_n=3n\) 或 \(a_n=3\times 2^{n-1}\) 或 \(a_n=n^2+2\)；

【2022届高三数学三轮模考题】能说明 “设数列 \(\{a_n\}\)的前 \(n\) 项的和为 \(S_n\)，对于任意的 \(n\)\(\in\)\(N^*\)，若\(a_{n+1}\)\(>\)\(a_n\)，则 \(S_{n+1}\)\(>\)\(S_n\) ” 为假命题的一个等差数列是______ .

解析：开放性试题， \(a_n=n-4\)；或 \(a_n=2n-7\)，或 \(a_n=\cfrac{1}{2}n-3\)；只要满足前有限项为负值的单增等差数列都可以。

【2022届高三数学三轮模考题】已知函数 \(f(x)\) 满足：① 定义域为 \((-\infty,0)\cup(0,\infty)\)； ② 值域为 \(R\)； ③ \(f(-x)=f(x)\)；写出一个满足上述条件的函数 \(f(x)\) =________.

解析：如 \(f(x)=\ln |x|\) ，或 \(f(x)=\log_2{|x|}\)，等等，均可。