由 $a_{n+1}=2a_n$ 能得到等比数列吗

前言

回顾一：若数列变形中出现，\(a_{n+1}+1=2(a_n+1)\)，则我们不能立即得到\(\cfrac{a_{n+1}+1}{a_n+1}=2\) ，也不能认为数列 \(\{a_n+1\}\) 为等比数列，此时必须验证其首项 \(a_1+1\)是否为 \(0\)，若\(a_1+1\neq0\)，则数列 \(\{a_n+1\}\)可以构成等比数列；若 \(a_n+1=0\)，则会导致此数列的各项都为 \(0\)，而各项为 \(0\) 的常数列只能是等差数列，不能构成等比数列。

回顾二：对于数列题目中出现的形如 \(a_{n+1}=2\cdot a_n+3n+2\) 的，即\(a_{n+1}=f(n，a_n)\)，其构造变形方向如下：

假设\(a_{n+1}+A(n+1)+B=2(a_n+An+B)\)，解得\(A=3\)，\(B=5\)，

即\(a_{n+1}+3(n+1)+5=2(a_n+3n+5)\)，构造得到\(\{a_n+3n+5\}\)为等比数列[当然还需要验证\(a_1+3\times1+5\neq0\)]；

典例剖析

已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_{n+1}=2a_n+3n+1\)且\(a_1=1\)，求数列\(\{a_n\}\)的通项公式。

分析：设\(a_{n+1}+p(n+1)+q=2(a_n+pn+q)\)，打开整理得到，\(p=3\)，\(q=4\)，

整理都得到\(a_{n+1}+3(n+1)+4=2(a_n+3n+4)\)，

由首项\(a_1+3\cdot 1+4=8\neq 0\) ，故数列\(\{a_n+3n+4\}\)是首项为 \(8\)，公比为 \(2\) 的等比数列，

故\(a_n+3n+4=8\cdot 2^{n-1}\)，故\(a_n=2^{n+2}-3n-4(n\in N^*)\)。

反例提示

【2020 \(\cdot\) 全国卷Ⅲ】设数列 \(\{a_{n}\}\) 满足 \(a_{1}=3\)， \(a_{n+1}=3 a_{n}-4 n\).

(1). 计算 \(a_{2}\)， \(a_{3}\)， 猜想 \(\{a_{n}\}\) 的通项公式并加以证明；

解: (1) \(a_{2}=5\)， \(a_{3}=7\). 猜想 \(a_{n}=2 n+1\).

证明如下：由题目 \(a_{n+1}=3 a_{n}-4 n\)，借助待定系数法可得：

\[a_{n+1}-(2 n+3)=3\left[a_{n}-(2 n+1)\right] \]

\[a_{n}-(2 n+1)=3\left[a_{n-1}-(2 n-1)\right] \]

\[\cdots,\cdots \]

\[a_{3}-7=3(a_{2}-5) \]

\[a_{2}-5=3(a_{1}-3) \]

因为 \(a_{1}=3\)， 所以 \(a_{n}=2 n+1\).

【解后反思】本题目不能写成 \(\cfrac{a_{n+1}-(2n+3)}{a_n-(2n+1)}=3\) ，也不能认为数列 \(\{a_n-(2n+1)\}\) 为等比数列，由于其首项 \(a_1-3=0\)，这样导致此数列的各项都为 \(0\)，而各项为 \(0\) 的常数列只能是等差数列，不能构成等比数列。

(2)求数列 \(\{2^{n} a_{n}\}\) 的前 \(n\) 项和 \(S_{n}\).

解：由 (1) 得 \(2^{n} a_{n}=(2n+1)2^{n}\) ，

所以 \(S_{n}=3\times 2+5\times 2^{2}+7 \times 2^{3}+\cdots+(2 n+1) \times 2^{n}\). ①

从而 \(2S_{n}=3\times 2^{2}+5 \times 2^{3}+7 \times 2^{4}+\cdots+(2 n+1) \times 2^{n+1}\). ②

①-②得， \(-S_{n}=3 \times 2+2 \times 2^{2}+2 \times 2^{3}+\cdots+2 \times 2^{n}-(2 n+1) \times 2^{n+1}\)，

\(=6+2\times\cfrac{2^{2} \times(1-2^{n-1})}{1-2}-(2n+1)\cdot 2^{n+1}\)，

\(=6+2^{n+2}-8-(2n+1)\cdot 2^{n+1}=(1-2n) \cdot 2^{n+1}-2\)，

所以 \(S_{n}=(2 n-1) 2^{n+1}+2\).