点线面位置关系

前言

给定直线 \(a\)和平面\(\alpha\)，若直线在平面内，则表述为\(a\subset\alpha\)，由于变换了场景，故一般读作直线 \(a\) 在平面 \(\alpha\) 内 .

典例剖析

【2022届高三文科月考用题】在空间四边形 \(ABCD\) 的各边 \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) 上依次取点 \(E\), \(F\), \(G\), \(H\), 若 \(EH\) 、 \(FG\) 所在 直线相交于点 \(P\)， 则【\(\qquad\)】

$A$.点 $P$ 必在直线 $AC$ 上

$B.$点 $P$ 必在直线 $BD$ 上

$C.$点 $P$ 必在平面 $DBC$ 外

$D.$点 $P$ 必在平面 $ABC$ 内

【解答】解：如图: 连接 \(EH\) 、 \(FG\) 、 \(BD\)，由于\(EH\) 、 \(FG\) 所在直线相交于点 \(P\)，

则点 \(P\in EH\) 且 \(P \in FG\)， 且 \(EH\subsetneqq\) 平面 \(ABD\)， \(FG\subsetneqq\) 平面 \(BCD\)，

故点 \(P\in\) 平面 \(ABD\)， 且 \(P\in\) 平面 \(BCD\)，

由平面 \(ABD\cap\) 平面 \(BCD=BD\)， \(P\in BD\)， 故选： \(B\).

【2019届高三理科数学三轮模拟试题】已知\(l\)，\(m\)是空间中两条不同的直线，\(\alpha\)，\(\beta\)是两个不同的平面，则下列说法一定正确的是【\(\qquad\)】

$A$.若$l//\alpha，\alpha//\beta，m\subset \beta，l\not\subset \beta$，则$l//m$；

$B$.若$\alpha\perp \beta，l//\alpha，m\perp l，m\not\subset \beta$，则$m\perp \beta$；

$C$.若$l//m，m//\alpha，l\perp\beta，l\not\subset \alpha$，则$\alpha\perp \beta$；

$D$.若$l\perp\alpha，m\perp\beta，\alpha\perp \beta$，则$l//m$；

分析：选\(C\)；可以借助长方体模型或正方体模型来判断线面位置关系；主要使用排除法；

【2019届高三理科数学三轮模拟试题】在正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，点\(O\)是四边形\(ABCD\)的中心，关于直线\(A_1O\)，下列说法正确的是【\(\qquad\)】

$A.A_1O//D_1C$ $B.A_1O\perp BC$ $C.A_1O//平面B_1CD_1$ $D.A_1O\perp平面AB_1D_1$

分析：由于题目中给定点\(O\)是下底面的中心，故我们想到也做出上底面的中心\(E\)，如图所示，

当连结\(CE\)时，我们就很容易看出\(A_1O//CE\)，以下做以说明；

由于\(OC//A_1E\)，且\(OC=A_1E\)，则可知\(A_1O//CE\)，

又由于\(A_1O\not \subset 面B_1CD_1\)，\(CE \subset 面B_1CD_1\)，故\(A_1O//平面B_1CD_1\) ，故选\(C\)，

此时，我们也能轻松的排除\(A\)，\(B\)，\(D\)三个选项是错误的。

【数学常识整理储备】如图所示的是正方体\(ABCD-A'B'C'D'\)，有如下的常用结论：

(1)体对角线\(B'D\perp\)平面\(ACD'\)(如图1)

证明：令体对角线\(B'D\)和平面\(ACD'\)的交点是\(N\)，由正四面体\(B'-ACD'\)可知，

\(N\)是三角形底面的中心，连接\(OD'\)，则易知\(AC\perp BD\)，\(AC\perp BB'\)，故\(AC\perp B'D\)，

同理\(AD'\perp B'D\)，故体对角线\(B'D\perp\)平面\(ACD'\)。

(2)\(DN=\cfrac{1}{3}B'D\)(如图1，利用等体积法)

(3)平面\(ACD'//A'BC'\)(如图2)

(4)平面\(ACD'\)与平面\(A'BC'\)的间距是\(\cfrac{1}{3}B'D\)，即体对角线的\(\cfrac{1}{3}\)(如图2)

(5)三棱锥\(B'-ACD'\)是正四面体。三棱锥\(D-ACD'\)是正三棱锥。

(6)如果需要将正四面体或者墙角型的正三棱锥恢复还原为正方体，我们可以先画出正方体，然后在里面找出需要的正四面体或者墙角型正三棱锥。

(7)圆内接正方形的中心就是圆心，正方形的对角线的长度就是圆的直径；球内接正方体的中心就是球心，正方体的体对角线的长度就是球的直径。

(8)正方形的棱长设为\(2a\)，则正方形的内切圆半径为\(a\)，正方形的外接圆半径为\(\sqrt{2}a\)，三者的关系之比为\(2:1:\sqrt{2}\)；

正方体的棱长设为\(2a\)，则正方体的内切球半径为\(a\)，正方体的外接球半径为\(\sqrt{3}a\)，三者的关系之比为\(2:1:\sqrt{3}\)；

(9)正三角形的棱长设为\(2a\)，则正三角形的内切圆半径为\(\cfrac{\sqrt{3}}{3}a\)，正三角形的外接圆半径为\(\cfrac{2\sqrt{3}}{3}a\)，三者的关系之比为\(2\sqrt{3}:1:2\)；

正四面体的棱长设为\(2a\)，则正四面体的内切球半径为\(\cfrac{\sqrt{6 }}{6}a\)，正四面体的外接球半径为\(\cfrac{\sqrt{6 }}{2}a\)，三者的关系之比为\(2\sqrt{6}:1:3\)；