点面距的求解
点到平面的距离的求解思路；
前情概要
求点面距的常用方法有向量法、体积高线法、作图法 .
向量法原理
【来源：2019人教 A 版 选择性必修一\(P_{33}\)】我们再来看平面 \(\alpha\) 外一点 \(P\) 到平面 \(\alpha\) 的距离问题 .如图所示，已知平面\(\alpha\) 的法向量为 \(\vec{n}\)，\(A\) 是平面 \(\alpha\) 内的定点， \(P\) 是平面 \(\alpha\) 外一点，过点 \(P\) 作平面 \(\alpha\) 的垂线 \(l\)，交平面 \(\alpha\) 于点 \(Q\)，
则 \(\vec{n}\) 是直线 \(l\) 的方向向量，且点 \(P\) 到平面 \(\alpha\) 的距离就是 \(\overrightarrow{AP}\) 在直线 \(l\) 上的投影向量 \(\overrightarrow{QP}\) 的长度 . 因此
上述公式的解释说明：
令 \(\langle\vec{n},\overrightarrow{AP}\rangle\)\(=\)\(\theta\)，令与法向量 \(\vec{n}\) 同方向的单位向量为 \(\vec{e}\)，即 \(\vec{e}\)\(=\)\(\cfrac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\)，则\(\overrightarrow{AP}\)\(\cdot\)\(\vec{e}\)\(=\)\(|\overrightarrow{AP}|\)\(|\vec{e}|\)\(\cos\theta\)\(=\)\(|\overrightarrow{AP}|\)\(\cos\theta\)，即 \(\cos\theta\)\(=\)\(\cfrac{\overrightarrow{AP}\cdot\vec{e}}{|\overrightarrow{AP}|}\)，则\(|\cos\theta|\)\(=\)\(\cfrac{|\overrightarrow{AP}\cdot\vec{e}|}{|\overrightarrow{AP}|}\)，又由于 \(\overrightarrow{AP}\) 在直线 \(l\) 上的投影向量 \(\overrightarrow{QP}\) 为 \(\overrightarrow{QP}\)\(=\)\(|\overrightarrow{AP}|\)\(\cos\theta\)\(\cdot\)\(\vec{e}\)，
则 \(|\overrightarrow{QP}|\)\(=\)\(|\overrightarrow{AP}|\)\(|\cos\theta|\)\(|\vec{e}|\)\(=\)\(|\overrightarrow{AP}|\)\(|\cos\theta|\)\(=\)\(|\overrightarrow{AP}|\)\(\times\)\(\cfrac{|\overrightarrow{AP}\cdot\vec{e}|}{|\overrightarrow{AP}|}\)\(=\)\(|\overrightarrow{AP}\cdot\vec{e}|\)\(=\)\(\bigg|\overrightarrow{AP}\)\(\cdot\)\(\cfrac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\bigg|\)\(=\)\(\bigg|\cfrac{\overrightarrow{AP}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}\bigg|\)\(=\)\(\cfrac{|\overrightarrow{AP}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}\)
故 \(PQ=|\overrightarrow{QP}|=\cfrac{|\overrightarrow{AP}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}\)， 类似地，我们可以研究如何求两个平行平面的距离.
公式使用举例说明：比如 三角形平面 \(ABC\) 外的一点 \(P\)，求 点 \(P\) 到平面 \(ABC\)的距离 \(h\)，我们的做法是，在 平面 \(ABC\) 内任找一点，比如 \(A\) 点[原则是要好求解其坐标]，求得平面 \(ABC\) 的法向量 \(\vec{n}\) 的坐标 \(\vec{n}=(x,y,z)\) ，求得 \(\overrightarrow{AP}\) 的坐标 \(\overrightarrow{AP}=(r,s,t)\) ，借助公式求解 \(h\)\(=\)\(\cfrac{|\overrightarrow{AP}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}\)\(=\)\(\cfrac{|xr+ys+zt|}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\) .
典例剖析
解法1️⃣：【向量法，通用方法】建立如图所示的空间直角坐标系，则 \(D(0,0,0)\)，\(P(0,0,1)\)， \(A(1,0,0)\)， \(C(0,1,0)\)，\(E(1,\cfrac{1}{2},0)\)，\(F(\cfrac{1}{2},1,0)\)，则 \(\overrightarrow{DE}\)\(=\)\((1,\cfrac{1}{2},0)\)，\(\overrightarrow{PE}\)\(=\)\((1,\cfrac{1}{2},-1)\)， \(\overrightarrow{PF}\)\(=\)\((\cfrac{1}{2},1,-1)\)，
设平面 \(PEF\) 的法向量 \(n=(x,y,z)\)，则由题可知，\(\vec{n}\cdot\overrightarrow{PE}=0\)， \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{PF}=0\)，
即 \(\left\{\begin{array}{l}{x+\cfrac{y}{2}-z=0}\\{\cfrac{x}{2}+y-z=0}\end{array}\right.\)，解得 \(x=y\)，\(\cfrac{3x}{2}=z\)，令 \(x=2\)，则 \(x=y=2\)，\(z=3\)，故法向量 \(n=(2,2,3)\)，求点 \(D\) 到平面 \(PEF\) 的距离 \(h\)，在平面内选定一点 \(E\)，可知 \(\overrightarrow{DE}\)\(=\)\((1,\cfrac{1}{2},0)\)，则\(h\)\(=\)\(\cfrac{|\overrightarrow{DE}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}\)\(=\)\(\cfrac{|2\times1+2\times\cfrac{1}{2}+3\times0|}{\sqrt{2^2+2^2+3^2}}=\cfrac{3}{17}\sqrt{17}\).
因此，点 \(D\) 到平面 \(PEF\) 的距离为 \(\cfrac{3}{17}\sqrt{17}\).
解法2️⃣：【向量法，非常独特的方法】建立如图所示的空间直角坐标系，则 \(D(0,0,0)\)，\(P(0,0,1)\)， \(A(1,0,0)\)， \(C(0,1,0)\)，\(E(1,\cfrac{1}{2},0)\)，\(F(\cfrac{1}{2},1,0)\)，设 \(DH\perp\) 平面 \(PEF\) ，垂足为 \(H\)[我们不一定能找到位置，但它一定存在] ，
则 \(\overrightarrow{DH}=x\overrightarrow{DE}+y\overrightarrow{DF}+z\overrightarrow{DP}\)\(=\)\((x+\cfrac{1}{2}y,\cfrac{1}{2}x+y, z)\) 且 \(x\)\(+\)\(y\)\(+\)\(z\)\(=\)\(1\)，[1]
又 \(\overrightarrow{PE}\)\(=\)\((1,\cfrac{1}{2},-1)\)， \(\overrightarrow{PF}\)\(=\)\((\cfrac{1}{2},1,-1)\)，
所以 \(\overrightarrow{DH}\)\(\cdot\)\(\overrightarrow{PE}\)\(=\)\(1\)\(\times\)\((x+\cfrac{1}{2}y)\)\(+\)\(\cfrac{1}{2}\)\(\times\)\((\cfrac{1}{2}x+y)\)\(-\)\(1\)\(\times\)\(z\)\(=\)\(\cfrac{5}{4}x\)\(+\)\(y\)\(-\)\(z\)\(=\)\(0\)， [2]
同理， \(\overrightarrow{DH}\)\(\cdot\)\(\overrightarrow{PF}\)\(=\)\(x\)\(+\)\(\cfrac{5}{4}y\)\(-\)\(z\)\(=\)\(0\)，
由 \(\left\{\begin{array}{l}{\cfrac{5}{4}x+y-z=0}\\{x+\cfrac{5}{4}y-z=0}\\{x+y+z=1}\end{array}\right.\)，解得 \(x\)\(=\)\(y\)\(=\)\(\cfrac{4}{17}\)，\(z\)\(=\)\(\cfrac{9}{17}\)
所以 \(\overrightarrow{DH}\)\(=\)\(\cfrac{3}{17}\)\((2,2,3)\)，所以 \(|\overrightarrow{DH}|\)\(=\)\(\cfrac{3}{17}\sqrt{17}\).
因此，点 \(D\) 到平面 \(PEF\) 的距离为 \(\cfrac{3}{17}\sqrt{17}\).
解法3️⃣：【体积高线法】：连接\(DE\)、\(DF\) [考虑到平面 \(PEF\) 为三角形，故将图形转化为三棱锥的体积问题求解]，取 \(EF\) 中点 \(G\)，连接 \(PG\)，令点 \(D\) 到平面 \(PEF\) 的距离为 \(h\)，
由于 \(E\) ，\(F\) 分别为 \(AB\) ，\(BC\) 的中点， \(ABCD\) 为正方形，则 \(DE\)\(=\)\(DF\)，
由于 \(PD\)\(\perp\) 平面 \(ABCD\)，所以，\(\angle\)\(PDE\)\(=\)\(\angle\)\(PDF\)\(=\)\(90\)\(^{\circ}\)，
则 \(\triangle\)\(PDE\)\(\cong\)\(\triangle\)\(PDF\)，故 \(PE\)\(=\)\(PF\)， 且 \(PG\)\(\perp\)\(EF\)，
由于 \(DE\)\(=\)\(DF\)\(=\)\(\cfrac{\sqrt{5}}{2}\)，\(PE\)\(=\)\(PF\)\(=\)\(\cfrac{3}{2}\)，\(EF\)\(=\)\(\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)，\(EG\)\(=\)\(\cfrac{\sqrt{2}}{4}\)，所以 \(PG\)\(=\)\(\cfrac{\sqrt{34}}{4}\)，
则 \(S_{\triangle DEF}\)\(=\)\(1\)\(-\)\(\cfrac{1}{4}\)\(-\)\(\cfrac{1}{4}\)\(-\)\(\cfrac{1}{8}\)\(=\)\(\cfrac{3}{8}\)，由于 \(V_{P-DEF}\)\(=\)\(V_{D-PEF}\)
即 \(\cfrac{1}{3}\)\(\times\)\(1\)\(\times\)\(\cfrac{3}{8}\)\(=\)\(\cfrac{1}{3}\)\(\times\)\(h\)\(\times\)\(\cfrac{1}{2}\)\(\times\)\(\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)\(\times\)\(\cfrac{\sqrt{34}}{4}\)，
所以 \(h=\cfrac{3}{17}\sqrt{17}\) .
- 若不能直接做出此距离，常利用等体积法等思路转换视角后求解与等体积法平行并列的思路是，若求点线距，那么可以借助等面积法求解；
解法4️⃣：【作图法】连接 \(AC\)，连接 \(BD\) 交 \(EF\) 于 \(G\)，连接 \(PG\)，作 \(DH\)\(\perp\)\(PG\) 于 \(H\)，
由于 \(E\) ，\(F\) 分别为 \(AB\) ，\(BC\) 的中点， 所以 \(EF//AC\) ，又 \(ABCD\) 为正方形，则 \(EF\)\(\perp\)\(BD\) ，
又由于 \(PD\)\(\perp\) 平面 \(ABCD\)，\(EF\)\(\subseteq\) 平面 \(ABCD\)，
则 \(PD\)\(\perp\)\(EF\)，\(BD\)\(\cap\)\(PD\)\(=\)\(D\)，故 \(EF\)\(\perp\) 平面 \(PDG\)，则 \(EF\)\(\perp\)\(DH\)，
又 \(DH\)\(\perp\)\(PG\)， \(PG\)\(\cap\)\(EF\)\(=\)\(G\)，则 \(DH\)\(\perp\) 平面\(PEF\)
由于 \(PD\)\(=\)\(1\)， \(DG\)\(=\)\(\cfrac{3\sqrt{2}}{4}\)， \(PG\)\(=\)\(\cfrac{\sqrt{34}}{4}\)，
则由等面积法可知，\(DH\)\(=\)\(\cfrac{PD\cdot DG}{PG}\)\(=\)\(\cfrac{3}{17}\)\(\sqrt{17}\)
(1).求异面直线\(A_{1}B\)与\(B_{1}C_{1}\)所成角;
解： 在直三棱柱\(A_{1}B_{1}C_{1}-ABC\)中，\(AA_{1}\perp AB\)，\(AA_{1}\perp AC\)，\(AB=AC=AA_{1}=1\)，\(\angle BAC=90^{\circ}\)
所以，\(A_{1}B=A_{1}C=BC=\sqrt{2}\)
因为，\(BC//B_{1}C_{1}\)，所以\(\angle A_{1}BC\)为异面直线 \(A_{1}B\) 与 \(B_{1}C_{1}\) 所成的角或补角.
在\(\triangle A_{1}BC\)中，因为\(A_{1}B=A_{1}C=BC=\sqrt{2}\)，
所以，异面直线\(A_{1}B\)与\(B_{1}C_{1}\)所成角为\(\cfrac{\pi}{3}\).
(2).求点\(B_{1}\)到平面\(A_{1}BC\)的距离.
解法1️⃣：设点\(B_{1}\)到平面\(A_{1}BC\)的距离为\(h\)，
由(1)得\(S_{\triangle A_1BC}=\cfrac{1}{2}\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}\times\sin\cfrac{\pi}{3}\)\(=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)，\(S_{\triangle A_1B_{1}B}=\cfrac{1}{2}\times1\times1=\cfrac{1}{2}\)，
因为，\(V_{B_{1}-ABC}=V_{C-A_{1}B_1B}\)，
所以，\(\cfrac{1}{3}S_{\triangle A_1BC}\cdot h=\cfrac{1}{3}S_{\triangle A_{1}B_{1}B}\cdot CA\)，解得，\(h=\cfrac{\sqrt{3}}{3}\).
所以，点 \(B_{1}\) 到平面 \(A_{1}BC\) 的距离为 \(\cfrac{\sqrt{3}}{3}\).
解法2️⃣：采用向量法求解，用大家都能想到的方法建系，图略，则 \(A_1(0,0,1)\)，\(B(1,0,0)\)， \(C(0,1,0)\)， \(B_1(1,0,1)\)，则 \(\triangle A_1BC\) 的重心坐标 \(G(\cfrac{1}{3},\cfrac{1}{3},\cfrac{1}{3})\)，故 \(\overrightarrow{AG}\) 为平面 \(A_1BC\) 的法向量[3]，即 \(\vec{n}\)\(=\)\(\overrightarrow{AG}\)\(=\)\((\cfrac{1}{3},\cfrac{1}{3},\cfrac{1}{3})\)\(=\)\(\cfrac{1}{3}\)\((1,1,1)\)，
现在求点 \(B_1\) 到 平面\(A_1BC\) 的距离，在平面内选一点 \(A_1\)，则 \(\overrightarrow{A_1B_1}\)\(=\)\((1,0,0)\)， 故 \(h\)\(=\)\(\cfrac{|\overrightarrow{A_1B_1}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}\)\(=\)\(\cfrac{|\frac{1}{3}|}{\frac{1}{3}\sqrt{3}}\)\(=\)\(\cfrac{\sqrt{3}}{3}\).
问：除过点 \(A_1\)，能选其他的点吗 ？答案是可以的. 我们另外选个点 \(C\)，则 \(\overrightarrow{CB_1}\)\(=\)\((1,-1,1)\)， 故 \(h\)\(=\)\(\cfrac{|\overrightarrow{CB_1}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}\)\(=\)\(\cfrac{|1\times\frac{1}{3}-1\times\frac{1}{3}+1\times\frac{1}{3}|}{\frac{1}{3}\sqrt{3}}\)\(=\)\(\cfrac{\sqrt{3}}{3}\).
工具化求点面距
【共面向量基本定理推论1】【对应此题目的改编】如果 \(P\)、\(E\)、\(F\)三点不共线，那么点 \(H\) 在平面 \(PEF\) 上的充要条件是：对空间上任意一点 \(D\) ，存在唯一实数对 \(x\)、\(y\)、\(z\)，且满足 \(x\)\(+\)\(y\)\(+\)\(z\)\(=\)\(1\)，使得 \(\overrightarrow{DH}\)\(=\)\(x\cdot\overrightarrow{DE}\)\(+\)\(y\cdot\overrightarrow{DF}\)\(+\)\(z\cdot\overrightarrow{DP}\)，更多详情请参阅从三点共线到四点共面 ↩︎
垂直于一个平面的直线和这个平面内的所有直线都垂直； ↩︎
将给定的图形补体为正方体，由正方体中的数学常识得到法向量为 \(\overrightarrow{AG}\) ，详细请参阅正方体中的几何常识 ↩︎
