导数法求极值中的分类讨论和用图技巧

前言

当我们借助导数工具研究函数的单调性、极值、最值时，难在解导函数不等式，此时如果能灵活而恰当的使用函数的图像时，就可以轻松的判断导函数的正负了。

使用步骤

• 当题目给定函数[数字系数，不含有参数]后，用导数法求数字系数的函数极值的步骤：

①确定函数的定义域；

②求导数\(f'(x)\)；

③解方程\(f'(x)＝0\)，求出在函数定义域内的所有根；

④解导函数不等式\(f'(x)>0\)或\(f'(x)<0\)，此时若不等式不好解，可以借助导函数的图像，通过解读图像得到解集；

⑤列表检验\(f'(x)\)在\(f'(x)＝0\)的根\(x_0\)左右两侧值的符号．

⑥由表格得到极值和极值点；

补充：当函数中含有参数时，用导数法求字母系数的函数极值的步骤：

需要分类讨论；每一种情形都对应上述的求解步骤；

案例解析

设函数 \(f(x)=\cfrac{ax^{2}+(4a-2)x+4a-6}{e^{x}}\) .

(1)若曲线 \(y=f(x)\) 在点 \((1, f(1))\) 处的切线与直线 \(y=1\) 平行， 求 \(a\) 的值；

解：因为\(f(x)=\cfrac{ax^{2}+(4a-2)x+4a-6}{{e}^{x}}\)，

所以 \(f'(x)=\cfrac{(2ax+4a-2){e}^{x}-\left[ax^{2}+(4a-2)x+4a-6\right]{e}^{x}}{{e}^{2x}}\)

\(=\cfrac{-ax^2-(2a-2)x+4}{e^x}=-\cfrac{ax^2+(2a-2)x-4}{e^x}\)

\(=-\cfrac{(ax-2)(x+2)}{{e}^{x}}\)〖反思〗：求导的实战中，求导、通分、因式分解等运算往往都是连在一起的。那么为什么要通分呢，由于我们关注导函数的正负，通分后就不需要再关注分母\(x\)，分母为正，对函数模型做减法，将变量集中到分子上，只需要关注分子就行了；为什么要因式分解呢，我们是为了便于看出来两个零点，便于下一步分类讨论； .

由题设知 \(f'(1)=\cfrac{-3(a-2)}{e}=0\)， 解得 \(a=2\) .

又由于此时 \(f(1)=\cfrac{10}{e}\neq 1\)题目告诉函数在点 \((1,f(1))\) 处的切线与直线 \(y=1\) 平行，故需要验证，以保证不能重合；， 所以 \(a\) 的值为 \(2\) .

(2)若 \(f(x)\) 在 \(x=-2\) 处取得极大值， 求 \(a\) 的取值范围. [重难点]

解：由上可知，\(f'(x)=-\cfrac{(ax-2)(x+2)}{{e}^{x}}\)到此，我们该如何思考呢，当将着眼点只关注\(y\)\(=\)\(-\)\((ax-2)\)\(\cdot\)\((x+2)\)时，发现其为仿二次函数，故需要针对二次项系数分类讨论，因为只有分类讨论才能说清楚导函数的正负；如何分类呢？先分类为\(a=0\)[一次函数]，再分类为\(a>0\)和\(a<0\)[二次函数]，定义域为\(R\)，

① 当\(a=0\)时，分子函数简化为\(y=2(x+2)\)，

故当\(x\in (-\infty,-2)\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减甚至可以借助更简化的函数\(y=x+2\)的图像来判断导函数的正负，其中\(x\)轴上方的函数值为正，下方为负；，

\(x\in (-2，+\infty)\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增，

故函数在\(x=-2\)处取到极小值，不符合题意，舍去.

② 当\(a>0\)时，分子函数化简为\(y=-a(x-\cfrac{2}{a})(x+2)\)此时函数为二次函数，图像为开口向下的抛物线，，且\(\cfrac{2}{a}>-2\)，

当\(x\in (-\infty，-2)\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减，

\(x\in (-2，\cfrac{2}{a})\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增，

\(x\in (\cfrac{2}{a}，+\infty)\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减，

故函数在\(x=-2\)处取到极小值，不符合题意，舍去.

③当\(-1<a<0\)时这个分类标准是如何来的？当\(a<0\)时，二次函数的两个零点就有了相等的可能，让两个零点\(\cfrac{2}{a}\)\(=\)\(-2\)，解得分界点为\(a\)\(=\)\(-1\)，然后通过解\(\cfrac{2}{a}\)\(<\)\(-2\)得到\(-1\)\(<\)\(a\)\(<0\)，解\(\cfrac{2}{a}\)\(>\)\(-2\)得到\(a\)\(<\)\(-1\)，故接下来应该分类讨论以下三种情形：\(-1\)\(<\)\(a\)\(<\)\(0\)，\(a\)\(=\)\(-1\)，\(a\)\(<\)\(-1\)，分子函数化简为\(y=-a(x-\cfrac{2}{a})(x+2)\)此时函数为二次函数，图像为开口向上的抛物线，，且\(\cfrac{2}{a}<-2\)，

当\(x\in (-\infty，\cfrac{2}{a})\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增，

\(x\in (\cfrac{2}{a}，-2)\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减，

\(x\in (2，+\infty)\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增，

故函数在\(x=-2\)处取到极小值，不符合题意，舍去.

④当\(a=-1\)时，分子函数化简为\(y=(x+2)^2\)此时函数为二次函数，图像为开口向上的抛物线，图像和\(x\)轴相切，，且\(\cfrac{2}{a}=-2\)，

当\(x\in (-\infty，+\infty)\)时，\(f'(x)\geqslant0\)，\(f(x)\)单调递增，

此时函数没有极值，不符合题意，舍去.

⑤当\(a<-1\)时，分子函数化简为\(y=-a(x-\cfrac{2}{a})(x+2)\)此时更简单的函数模型\(y=(x-\cfrac{2}{a})(x+2)\)为二次函数，图像为开口向上的抛物线，，且\(\cfrac{2}{a}>-2\)，

当\(x\in (-\infty，-2)\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单调递增，

\(x\in (-2，\cfrac{2}{a})\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递减，

\(x\in (\cfrac{2}{a}，+\infty)\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单调递增，

故函数在\(x=-2\)处取到极大值，符合题意，

综上所述，\(a\)的取值范围为\((-\infty,-1)\) .

〔解后反思〕：①本题目的难点之一，就是分类讨论的原因和分类讨论的标准的确定；

②我们能体会到，当恰当使用了图像后，导函数的正负判断就变得非常容易，学生也可以自己轻松的写出来。

③在使用图像时我们使用了减法，本来应该是做函数\(f'(x)=-\cfrac{(ax-2)(x+2)}{e^x}\)的完整图像，可是我们手工做不出，鉴于\(e^x>0\)，故我们只要做出\(y=-(ax-2)(x+2)\)的图像，就可以判断\(f'(x)\)的正负，从而就能判断原函数的单调性了。