导数章节题型和思维导图
再次梳理导数章节的思路；
思维导图
- 利用 mermaid 制作的思维导图，用纯文字绘制思维导图；
其应用)] --> B[导数概念和运算]; B--> B1[导数的概念]; B1--> B6[平均变化率
类比平均速度]; B1--> B7{{瞬时变化率
也叫导数
类比瞬时速度}}; B--> B2[公式法求导数]; B--> B3[导数的运算法则]; B--> B4[复合函数的求导]; A --> C[导数几何意义及应用]; C--> C1[求切线方程]; C1--求导得斜率
点斜式写切线方程--> C4{{求在点处的切线}}; C1--设切点求切点
注意高次方程的求解--> C5{{求过点处的切线}}; C--> C2[求切点坐标/斜率等]; C--> C3[求参数值或取值范围]; C3--转化为二次函
数有两个实根--> C6[过某点有两条切线求参数]; C3--利用三个斜率
相等建立方程--> C7[已知公切线求参数]; A --> D[(用导数工
具研究函
数性质)]; D --> D1[相关知识储备] D1 --> E1>函数的单调性与导函数的关系] D1 --> E2[利用导数判断函数单调性的一般步骤] D1 --> E3>利用导数研究函数极值的步骤] D1 --> E4[利用导数研究函数最值的步骤] D --> D2[图象类题目
的考查] D2 --原函数的增减
对应导函数
的正负--> F1[利用原函数的图象确定导函数的图象] D2 --导函数的正负
对应原函数
的增减--> F2[利用导函数的图象确定原函数的图象]
研究函数
性质)] B-->A[其他类型
的函数] B---> C[(对三次函数
的研究考查)] C--> D[三次函数
有极大值和极小值] D--> D1[二次的导函数有两个变号零点,
对应的二次方程有两个不同的
实根,即其判别式大于零] C--> E[三次函数
与x轴有三个不同的交点] E--> D2[函数的极大值与极小值异号] C--> F[三次函数
恰有三个单调区间] F--> D1 C--> M[三次函数与x轴
恰有一个交点] M--> L[函数是单调函数
或函数的极大值
和极小值同号] C--> G[三次函数
没有极值或极值点] G--> G1[三次函数
是单调函数] C--> H[三次函数
是单调函数] H--> H1[二次导函数
恒为非正或
恒为非负,
即其判别式
小于等于零] G1--> H1 C--> I[三次函数
不是单调函数,
必有三个单调区间] I--> I1[二次导函数
有变号零点,
或二次导函数
方程有穿根解] I--> I2[可先求函数单
调时的取值范围,
再求其补集即可] style C fill:#bbf,stroke:#f66,stroke-width:2px,color:#fff,stroke-dasharray: 5 5; click C href "https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/5906951.html" _blank;
典例剖析
解：对函数 \(y=xe^{x}\) 求导得， \(y'=1\cdot e^{x}+x\cdot e^{x}=(1+x)e^{x}\)，
设切点坐标为 \(P\left(x_{0}, x_{0}{e}^{x}\right)\),
则曲线 \(y=xe^{x}\) 过点 \(A(a, 0)\) 的切线的斜率 \(k=\left(1+x_{0}\right)e^{x}_{0}\)
又经过点\(A(a,0)\)和切点\(P\)的直线的斜率为\(k=\cfrac{x_{0}e^{x_{0}}}{x_{0}-a}\)，
由于是同一条直线，故\(k=\left(1+x_{0}\right)e^{x}_{0}=\cfrac{x_{0}e^{x_{0}}}{x_{0}-a}\)，
[备注：上述方程的两边同时约去\(e^{x_0}\)，这样原来的超越方程就变化为代数方程，]
分式化整式，化简得到 \(x_{0}^{2}-a x_{0}-a=0\)，依题意知，
上述关于\(x_{0}\)的二次方程有两个不相等的实数根由于此方程有两个不相等的实根，故由\(k=\left(1+x_{0}\right)e^{x}_{0}\)就能得到两个不同的斜率，结合点\(A(a,0)\)，则能得到两条不同的切线，从而满足过点\(A(a,0)\)的切线有且仅有两条；，
所以\(\Delta =(-a)^{2}-4\times1\times(-a)>0\)， 解得 \(a<-4\) 或 \(a>0\)， 故选 \(A\) .
分析：由题可知，\(f'(x)=3x^2+2ax+(a+6)\)，
因为函数有极大值和极小值，所以方程 \(f'(x)=0\) 有两个不相等的实数根,
即 \(3x^2+2ax+(a+6)=0\) 有两个不相等的实数根， 即\(\Delta>0\)，则\((2a)^2-4\times 3\times(a+6)>0\)，
解得: \(a<-3\)或\(a>6\)，故选 \(D\)。
[解后反思] 本题考查导数在求函数极值的应用，将函数有极大值和极小值，转化为方程 \(f^{\prime}(x)=0\) 有两个不相等的实数根是解题的关键。
分析：由于\(f'(x)=x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\)，
故当\(x\in (-\infty,-1)\)和\((3,+\infty)\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增，
当\(x\in(-1,3)\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\) 单调递诚，
故\(f(x)_{\text{极大}}=f(-1)=\cfrac{5}{3}-3a\)， \(f(x)_{\text{极小}}=f(3)=-9-3a\),
又\(f(x)=\cfrac{1}{3}x^3-x^2-3x-3a\) 的图像与 \(x\) 轴有三个不同的交点，
所以 \(\left\{\begin{array}{l}\cfrac{5}{3}-3a>0\\-9-3a<0\end{array}\right.\)，解得\(a\in(-3, \cfrac{5}{9})\).
[解后反思]：函数的零点个数问题或方程解的个数问题，可借助函数的导数符号，得到函数的单调性，再数形结合求得参数的取值范围。
解析：由题意知 \(f'(x)=3ax^{2}+6x-1\)，
由函数 \(f(x)\) 恰好有三个单调区间，
得\(f'(x)\)有两个不相等的变号零点，
故需满足\(a \neq 0\)，且 \(\Delta=36+12a>0\)，
解得\(a>-3\)，所以实数 \(a\) 的取值范围是 \((-3,0) \cup(0,+\infty)\)，
故答案 \(:(-3,0) \cup(0,+\infty)\)
