分段函数中的参数分离

前言

当我们理解和掌握了一般函数的分离参数的求解方法之后，还需要注意分段函数中的参数分离方法和技巧。

典例剖析

【2022届高三一轮复习用题】已知函数 \(f(x)=\left\{\begin{array}{l}2 \cdot a^{x}-m, x>1, \\ 2 x+a-m, x \leqslant 1,\end{array}\right.\) 其中\(a>0\)且\(a\neq 1\)， 若 \(\exists\) \(m\) \(\in\)\(R\) ，使得函数\(f(x)\)有\(2\)个零点， 则实数 \(a\) 的取值范围为【\(\qquad\)】

$A.(0,\cfrac{1}{2})\cup(1,2)$ $B.(0,1) \cup(1,2)$ $C.(0,1) \cup(2,+\infty)$ $D.(0, \cfrac{1}{2}) \cup(2,+\infty)$

〔分析〕：由题目可知，若令\(f(x)=0\)，则\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}2 \cdot a^{x}-m=0, x>1, \\ 2 x+a-m=0, x \leqslant 1,\end{array}\right.\)

即\(\left\{\begin{array}{l}2 \cdot a^{x}=m, x>1, \\ 2 x+a=m, x \leqslant 1,\end{array}\right.\) 故我们想到分离参数\(m\)后，利用数形结合求解；

〔解析〕: 令 \(f(x)=0\)， \(g(x)=\left\{\begin{array}{l}2 \cdot a^{x}, x>1, \\ 2 x+a, x \leqslant 1,\end{array}\right.\)

则 原函数有两个零点问题就转化为方程 \(g(x)=m\)有两个不同解的问题，

从而转化为形，则转化为 \(y=g(x)\) 与 \(y=m\) 的图象有两个交点，

显然当 \(0<a<1\) 时，存在实数\(m\)，使得\(y=g(x)\) 与 \(y=m\) 的图象有两个交点；

当 \(a>1\) 时， 只需 \(2+a>2a\)， 解得 \(1<a<2\) .

综上所述，实数 \(a\) 的取值范围为 \((0 , 1)\cup(1,2)\)， 故选\(B\) .