对数运算

前言

注意以下两种核心运算的比较：

\(4^{\frac{1}{2}\log_2{10}}=(4^{\frac{1}{2}})^{\log_2{10}}=2^{\log_2{10}}=10\) \(\qquad\) 或 \(4^{\frac{1}{2}\log_2{10}}=(4^{\log_2{10}})^{\frac{1}{2}}=[(2^2)^{\log_2{10}}]^{\frac{1}{2}}=(2^{log_2{10^2}})^{\frac{1}{2}}=100^{\frac{1}{2}}=10\)

\(4^{\frac{1}{2}+\log_2{10}}=4^{\frac{1}{2}}\cdot 4^{\log_2{10}}=2\cdot 2^{2\log_2{10}}=2\cdot 2^{\log_2{10^2}}=200\)

对数公式

$a^b=N$(指数式)$\Longleftrightarrow$ $b=log_aN$(对数式)；

① 对数的性质：\(log_a1=0\)，\(log_aa=1\)；

② 对数的运算法则：

\(log_aMN=log_aM+log_aN\)；注意字母的取值，\(a>0\)且\(a\neq1\)，\(M>0\)且\(N>0\)，学生在做变换时容易忘记\(M>0\)且\(N>0\)；

\(log_a\cfrac{M}{N}=log_aM-log_aN\)；\(log_aM^n=nlog_aM\)；

③ 对数恒等式：\(a^{\log_aN}=N\)从左到右使用，是指数式的化简；从右到左使用，是常数指数化，在求解指数型不等式时需要用到；；\(\log_aa^{N}=N\)从左到右使用，是对数式的化简；从右到左使用，是常数对数化，在求解对数型不等式时需要用到；；

④ 对数换底公式：\(log_ab=\cfrac{log_cb}{log_ca}(a>0,a\neq 1;c>0,c\neq 1;b>0)\)

⑤ 常用公式1：\(log_ab\cdot log_bc\cdot log_cd= log_ad\)；\(log_ab\cdot log_bc\cdot log_ca= log_aa=1\)；

\(log_ab\cdot log_ba=1\)；\(lne=1\)；\(lg2+lg5=lg10=1\)；

常用公式2：\(log_{a^m}{b^n}=\cfrac{n}{m}log_ab(m，n\in R，a>0，a\neq 1，b>0)\)

⑥ 正用、逆用、变用公式；

\(log_aM+log_aN=log_aMN\)；\(log_aM-log_aN=log_a\cfrac{M}{N}\)；

\(nlog_aM=log_aM^n\)；\(\cfrac{n}{m}log_ab=log_{a^m}{b^n}\)

⑦ 错用公式：\(log_a(M+N)=log_aM+log_aN\)；\(log_a(M\cdot N)=log_aM\cdot log_aN\)；

指对互化

• 指数式与对数式的互化，能将与对数有关的问题转化为与指数幂有关问题求解，体现了将未知向已知转化的求解策略；

$a^x=N$$a$称为幂底数，$x$称为幂指数，$N$称为幂或幂值；整个式子称为指数式； $\Longleftrightarrow$ $x=\log_aN$$a$称为对数的底数，$x$称为以$a$为底，$N$的对数，$N$称为真数；整个式子称为对数式；$\log_aN$ 读作log 以 $a$ 为底$N$，或者以 $a$ 为底$N$的对数，

求下列式子中的 \(x\) 的值；

①\(\log_{64}x=-\cfrac{2}{3}\)；②\(\log_x8=6\)；③\(\lg{100}=x\)；

解析：对于对数式①[\(x\)在真数位置]，将对数式化为指数式，得到 \(64^{-\frac{2}{3}}\)\(=\)\(x\)，即 \(x\)\(=\)\(64^{-\frac{2}{3}}\)\(=\)\((4^3)^{-\frac{2}{3}}\)\(=\)\(4^{-2}\)\(=\)\(\cfrac{1}{16}\)；

对于对数式②[\(x\)在底数位置]，将对数式化为指数式，得到 \(x^{6}=8\)，两边同时六分之一次方，即得到 \(x\)\(=\)\(8^{\frac{1}{6}}\)\(=\)\((2^3)^{\frac{1}{6}}\)\(=\)\(2^{\frac{1}{2}}\)\(=\)\(\sqrt{2}\)；

对于对数式③[\(x\)在对数位置]，将对数式化为指数式，得到 \(10^{x}=100=10^2\)，得到 \(x=2\)；

典例剖析

求值： \(\lg \sqrt{5}+\lg \sqrt{2}-4^{\log _{2} 3}-\left(3 \frac{3}{8}\right)^{\frac{1}{3}}+\left(\frac{1}{64}\right)^{-\frac{2}{3}}=\)__________

解：原式\(=\lg\sqrt{10}-2^{2\log_{2} 3}-\left(\cfrac{27}{8}\right)^{\frac{1}{3}}+\left[\left(\cfrac{1}{4}\right)^{3}\right]^{-\frac{2}{3}}\)

\(=\cfrac{1}{2}-9-\cfrac{3}{2}+16=6\)

化简 \(\log _{2.5} 6.25+\lg 0.001+2 \ln \sqrt{e}-2^{1+\log _{2} 3}=\)___________

解：原式\(=\log _{2.5} 2.5^2+\lg 0.001+\ln e-2 \times 2^{\log _{2} 3}\)

\(=2+\lg 10^{-3}+1-6=2-3+1-6=-6\)

计算： \(\log _{3}\sqrt{27}+\lg 25+\lg 4-7^{\log _{7} 2}+\log _{4} 2=\)________

解: \(\log _{3} \sqrt{27}+\lg 25+\lg 4-7^{\log _{7} 2}+\log _{4} 2\)

\(=\cfrac{1}{2} \log _{3} 27+(\lg 25+\lg 4)-2+\cfrac{1}{2} \log _{4} 4=\cfrac{3}{2}+2-2+\cfrac{1}{2}=2\)

计算: \(\log _{3} \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \log _{\sqrt{3}}\left[4^{\frac{1}{2} \log _{2} 10}-(\lg 5)^{2}-\lg 2 \cdot \lg 50\right]=\)___________

解：原式\(=\log _{3} \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3} \cdot \log _{\sqrt{3}}\left[(4^\frac{1}{2})^{\log _{2} 10}-\lg 5 \cdot \lg 5-\lg 2 \cdot(\lg 5+\lg 10)\right]\)

\(=\log _{3} \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3} \cdot \log _{\sqrt{3}}\left[2^{\log _{2} 10}-\lg 5 \cdot \lg 5-\lg 2 \cdot(\lg 5+\lg 10)\right]\)

\(=(\cfrac{3}{4}-1)\cdot\log _{\sqrt{3}}[10-\lg 5 \cdot(\lg 5+\lg 2)-\lg 2]\)

\(=-\cfrac{1}{4} \log _{\sqrt{3}} 9=-\cfrac{1}{4}\cdot\cfrac{2}{\frac{1}{2}}\cdot\log_33=-1\)

计算: \(125^{\frac{2}{3}}+\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}-\left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{1}{3}}+100^{\frac{1}{2}}+\cfrac{\lg 3+\frac{1}{4} \lg 9-\lg \sqrt{3}}{\lg 81-\lg 27}=\)__________

解： 原式 \(=125^{\frac{2}{3}}+(\cfrac{1}{2})^{-2}-(\cfrac{1}{27})^{-\frac{1}{3}}+100^{\frac{1}{2}}+\cfrac{\lg 3+\frac{1}{4} \lg 9-\lg \sqrt{3}}{\lg 81-\lg 27}\)

\(=25+4-3+10+\cfrac{\lg 3+\lg 9^{\frac{1}{4}}-\lg \sqrt{3}}{\lg \frac{81}{27}}=36+\cfrac{\lg 3}{\lg 3}=37\)

计算: \(\cfrac{\log _{5} 8 \cdot \log _{2} 5+25^{\log _{5} 3}}{\lg 4+\lg 25}+5 \log _{3} 2-\log _{3} \frac{32}{9}=\)______

解：原式 \(=\cfrac{3 \log _{5} 2 \cdot \log _{2} 5+5^{2 \times \log _{5} 3}}{\lg 100}+\log _{3} 2^{5}-\log _{3} \cfrac{32}{9}\)

\(=\cfrac{3+9}{2}+\log _{3} 9=8\)

计算: \(\log _{3} \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \log _{5}\left[4^{\frac{1}{2} \log _{2} 10}-(3 \sqrt{3})^{\frac{2}{3}}-7^{\log _{7} 2}\right]+\log _{2} 3 \cdot \log _{3} 8=\)_________

解：原式 \(=\log_{3}\frac{3^{\frac{3}{4}}}{3}\cdot \log _{5}\left[4^{\frac{1}{2} \log _{2} 10}-(3 \sqrt{3})^{\frac{2}{3}}-7^{\log _{7} 2}\right]+\log _{2} 3 \cdot \log _{3} 8=\)

\(=\log _{3} 3^{\frac{3}{4}-1} \cdot \log _{5}\left[2^{\log _{2} 10}-\left(3^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}-7^{\log _{2} 2}\right]+\log _{2} 3 \cdot \log _{3} 2^{3}\)

\(=-\cfrac{1}{4} \cdot \log _{5}(10-3-2)+3 \log _{2} 3 \cdot \log _{3} 2=-\cfrac{1}{4}+3=\cfrac{11}{4}\)

若 \(\lg 2=a\)， \(\lg 3=b\)， 则 \(\log_{4} 18=\) 【\(\qquad\)】

$A.\cfrac{a+3 b}{a^{2}}$ $B.\cfrac{a+3 b}{2 a}$ $C.\cfrac{a+2 b}{a^{2}}$ $D.\cfrac{a+2 b}{2 a}$

解析： \(\log _{4} 18=\cfrac{\lg 18}{\lg 4}=\cfrac{\lg 2+2 \lg 3}{2 \lg 2}\)，

因为 \(\lg 2=a\)， \(\lg 3=b\), 所以 \(\log _{4} 18=\cfrac{a+2 b}{2 a}\) 故选 \(\mathrm{D}\).

设 \(g(x)=\ln \left(2^{x}+1\right)\), 则 \(g(4)-g(3)+g(-3)-g(-4)=\) 【\(\qquad\)】

$A.-1$ $B.1$ $C.\ln2$ $D.-\ln2$

详解：\(g(4)-g(3)+g(-3)-g(-4)=[g(4)-g(-4)]+[g(-3)-g(3)]\)

\(=\left[\ln \left(2^{4}+1\right)-\ln\left(2^{-4}+1\right)\right]+\left[\ln \left(2^{-3}+1\right)-ln\left(2^{3}+1\right)\right]\)

\(=\ln\cfrac{2^{4}+1}{2^{-4}+1}+\ln\cfrac{2^{-3}+1}{2^{3}+1}\)

\(=\ln 2^{4}+\ln 2^{-3}=\ln \left(2^{4} \cdot 2^{-3}\right)=\ln 2\)，故选 \(C\)

已知函数 \(f(x)=\ln \left(\sqrt{1+9 x^{2}}-3 x\right)+1\)， 则 \(f(\lg 2)+f\left(\lg \cfrac{1}{2}\right)=\)【\(\qquad\)】

$A.2$ $B.0$ $C.1$ $D.-1$

详解：由题得 \(f(\lg 2)+f\left(\lg \cfrac{1}{2}\right)=f(\lg 2)+f(-\lg 2)\)，

令 \(F(x)=\ln \left(\sqrt{1+9 x^{2}}-3 x\right)\), 则 \(F(-x)=\ln \left(\sqrt{1+9 x^{2}}+3 x\right)\)，

所以 \(F(x)+F(-x)=0\), 从而可知 \(F(x)=\ln \left(\sqrt{1+9 x^{2}}-3 x\right)=f(x)-1\) 是奇函数

所以 \(f(\lg 2)-1+f(-\lg 2)-1=0 \quad\), 即 \(f(\lg 2)+f(-\lg 2)=2\)

所以 \(f(\lg 2)+f\left(\lg \cfrac{1}{2}\right)=2 \quad\) 故选 \(\mathrm{A}\).

计算：\(f(0)=27^{\frac{2}{3}}-2^{log_2^\;3}\times log_2^\;{\frac{1}{8}}+2\lg(\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}})-11\)；

解：\(f(0)=(3^3)^{\frac{2}{3}}-3\times(-3)+\lg(\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}})^2-11\)，

\(=3^2+9+\lg(6+2\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})})-11\)

\(=3^2+9+\lg10-11=8\)，故得到\(f(0)=8\) .

〔解后反思〕：若单独计算\(\lg(\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}})\)，必须经过这样的变形才可以，否则无法计算：

\(\lg(\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}})\)

\(=\)\(\cfrac{1}{2}\times2\lg(\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}})\)

\(=\)\(\cfrac{1}{2}\lg(\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}})^2\)

\(=\cfrac{1}{2}\times\lg10=\cfrac{1}{2}\)

【2020 \(\cdot\) 江州质检】【启迪思维题目】正数\(a\)， \(b\)， \(c\) 满足 \(3^{a}=4^{b}=6^{c}\)， 则下列关系正确的是【\(\quad\)】

$A.\cfrac{1}{c}=\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}$ $B.\cfrac{2}{c}=\cfrac{2}{a}+\cfrac{1}{b}$ $C.\cfrac{1}{c}=\cfrac{2}{a}+\cfrac{2}{b}$ $D.\cfrac{2}{c}=\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}$

解析： 因为 \(a\)， \(b\)， \(c\) 均为正数, 设 \(3^{a}=4^{b}=6^{c}=k\)，则 \(k>0\)，到此，实现了变量集中；

所以 \(a=\log_{3}k\)， \(b=\log_{4}k\)， \(c=\log_{6}k\)，

则 \(\cfrac{1}{a}=\cfrac{\lg3}{\lg k}\)， \(\cfrac{1}{b}=\cfrac{\lg4}{\lg k}\)， \(\cfrac{1}{c}=\cfrac{\lg6}{\lg k}\)，

由于 \(\cfrac{2}{c}\)\(=\)\(\cfrac{2\lg 6}{\lg k}\)\(=\)\(\cfrac{2\lg3}{\lg k}\)\(+\)\(\cfrac{\lg 4}{\lg k}\)\(=\)\(\cfrac{2}{a}\)\(+\)\(\cfrac{1}{b}\)，故选 \(B\) .