指数概念的扩充
本博文说明幂指数的扩充经历
前言
从初中的整数指数幂过渡到高中的分数指数幂，再过渡到实数指数幂。
指数变迁
- 在初中已经学习过的整数指数幂：包括正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂；
正整数指数幂：\(\underbrace{{a\times a\times\cdots\times a}}_{n个}=a^n\) \((n\in N_{+})\)；其意义是\(n\)个相同因式的乘积。
零指数幂：\(a^0=1(a\neq 0)\)；
负整数指数幂：\(a^{-n}=\cfrac{1}{a^n}\)；其意义是\(n\)个相同因式的乘积的倒数。
在此层面上的整数指数幂的运算性质如下：此时\(a>0\)，\(b>0\)，\(m,n\in Z\)
\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)；\((a^m)^n=(a^n)^m=a^{mn}\)；\((a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n\)；
需要注意的是，此时底数为负数时也是有意义的。比如，\((-2)^3\)\(\cdot\)\((-2)^2\)\(=\)\((-2)^{3+2}\)\(=\)\((-2)^5\)\(=\)\(-32\)，那上述为何要添加要求\(a>0\)，\(b>0\)，这是为了说明，在\(a>0\)，\(b>0\)时运算也一定成立，另外这样的条件是在引入分数指数幂以后才添加进去的。
- 添加分数指数幂：包括正分数指数幂和负分数指数幂，
在实际问题中，指数不一定都是整数，如由教材可知臭氧含量\(Q\)与时间\(t\)存在指数关系，当时间为一年，两年时我们很好理解，那么当时间\(t\)是半年或者\(2\)年\(1\)个月时，即指数是分数时，情况又怎样？我们先引入分数指数幂：
给定正实数\(a\)，对于任意给定的整数\(m\)，\(n\)(\(m\)，\(n\)互素互素也叫互质，若\(n\)个整数的最大公因数是\(1\)，则称这\(n\)个整数互质。例如\(8\)，\(10\)的最大公因数是\(2\)，不是\(1\)，因此不是整数互质。\(7\)，\(11\)，\(13\)的最大公因数是\(1\)，因此这是整数互质。)，存在唯一的正实数\(b\)，使得\(b^n=a^m\)，我们把\(b\)叫做\(a\)的 \(\cfrac{m}{n}\) 次幂，记作\(b=a^{\frac{m}{n}}\)，它就是分数指数幂。例如\(b^3=5^2\)，则\(b=5^{\frac{2}{3}}\)；\(x^5=25^{-4}\)，则 \(x=25^{-\frac{4}{5}}\)，
教材中指出，有时我们把正分数指数幂写成根式形式，\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)；规定了分数指数幂以后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的另一种新的写法。详述如下：
正分数指数幂：\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)；它不表示相同因式的乘积，而是根式的一种新的写法，我们不能将其理解为\(a^{\frac{n}{m}}\)\(=\)\(\underbrace{{a^{\frac{1}{m}}\times a^{\frac{1}{m}}\times\cdots\times a^{\frac{1}{m}}}}_{n个}\)，不过，引入分数指数幂以后，又出现了一个新的问题，比如，\(-2\)\(=\)\(\sqrt[3]{-8}\)\(=\)\((-8)^{\frac{1}{3}}\)\(=\)\((-8)^{\frac{2}{6}}\)\(=\)\(\sqrt[6]{(-8)^2}\)\(=\)\(\sqrt[6]{64}=2\)，上述表达式中出现错误的地方是\((-8)^{\frac{1}{3}}=(-8)^{\frac{2}{6}}\)，左边的\((-8)^{\frac{1}{3}}\)为负数，而右边\((-8)^{\frac{2}{6}}\)为正数，为避免产生这样的歧义，我们需要对底数\(a\)加以限制令\(a>0\)，这样就不会引起矛盾。故应该有\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)\((a>0)\)；
定义了正分数指数幂以后，我们就可以顺利解释负分数指数幂：
负分数指数幂：\(a^{-\frac{m}{n}}=\cfrac{1}{\sqrt[n]{a^m}}\)\((a>0，m,n\in N^*)\)，其意义是正分数指数幂的倒数；
由于\(\{\textbf{整数}\}\cup\{\textbf{分数}\}=\{\textbf{有理数}\}\)，故到此，我们将指数由原来的整数指数幂，扩充到了有理数指数幂，其对应的运算法则也发生了变化，在此层面上的有理数指数幂的运算性质如下：此时\(a>0\)，\(b>0\)，\(m,n\in Q\)
公式：\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)；\((a^m)^n=(a^n)^m=a^{mn}\)；\((a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n\)；
- 添加无理指数幂，这一点由于学生的接受程度，比较难解释；
教材以\(10^{\sqrt{2}}\)为例，用夹逼定理作以说明；由于\(p<\sqrt{2}<q\)(\(p\)，\(q\)为有理数)，当\(p\)\(\rightarrow\)\(\sqrt{2}\)\(\leftarrow\)\(q\)，则\(10^p\)\(\rightarrow\)\(10^{\sqrt{2}}\)\(\leftarrow\)\(10^q\)，当\(p\)，\(q\)无限逼近\(\sqrt{2}\)时，则\(10^{\sqrt{2}}\)无限逼近一个确定的实数，所以\(10^{\sqrt{2}}\)是一个确定的实数。总结：无理数指数幂的意义，是用有理数指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小。
一般来说，无理数指数幂\(a^p\)(\(a>0\)，\(p\)是一个无理数)是一个确定的实数，而且有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂，由于\(\{\textbf{有理数}\}\)\(\cup\)\(\{\textbf{无理数}\}\)\(=\)\(\{\textbf{实数}\}\)，当我们添加了无理数指数幂以后，幂指数就自然扩充到了实数范围内，其对应的运算法则也发生了变化，在此层面上的实数指数幂的运算性质如下：此时\(a>0\)，\(b>0\)，\(m,n\in R\)
公式：\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)；\((a^m)^n=(a^n)^m=a^{mn}\)；\((a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n\)；
- 幂指数的变迁总结：\(\textbf{整数指数幂}\xrightarrow{\textbf{添加分数指数幂}}\textbf{有理数指数幂}\xrightarrow{\textbf{添加无理数指数幂}}\textbf{实数指数幂}\)
廓清认知
虽然说我们将实数指数幂的运算性质中的底数\(a\)，限制为\(a>0\)，但并不意味着以后出现底数\(a<0\)的题目就是错误的和不合理的，比如求解\([(-2)^6]^{\frac{1}{2}}\)，就是可能的题目之一，只是非常容易出错而已；
正确解法：\([(-2)^6]^{\frac{1}{2}}=(2^6)^{\frac{1}{2}}=2^3=8\)；
错误解法：\([(-2)^6]^{\frac{1}{2}}=(-2)^{6\times\frac{1}{2}}=(-2)^3=-8\)在公式\((a^m)^n\)\(=\)\((a^n)^m\)\(=\)\(a^{mn}\)中，要求底数\(a>0\)；；
一般原则
- 指数幂运算的一般原则
(1).有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2).先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3).底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4).若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
解析：原式=\([(0.3)^3]^{-\frac{1}{3}}-[(\cfrac{1}{7})^{2}]^{-1}+[(\cfrac{5}{3})^2]^{\frac{1}{2}}-1\)
\(=\cfrac{10}{3}-49+\cfrac{5}{3}-1=-45\)
解析：由于\(\sqrt[n]{a^n}=\left\{\begin{array}{l}|a|，&n\textbf{为偶数}；\\a，&n\textbf{为奇数}；\end{array}\right.\) ，故①错误；
当\(a^2-2a-3\neq0\)时，\((a^2-2a-3)^0=1\)，当\(a^2-2a-3=0\)时，\((a^2-2a-3)^0\)无意义，故②错误；
由于\(\sqrt[3]{-3}<0\)，而\(\sqrt[6]{(-3)^2}>0\)，故③错误；
又由于\(\log_3{18}-\log_32=\log_39=2\)，故④正确，综上所述，选\(C\).
为何拓展
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其一，为实际生产和生活需要；
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其二，为引入指数函数做好相关的铺垫；
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其三，当指数幂的范围拓展后，我们就可以用\(x^1\)\(+\)\(x^{-1}\)来表达\(x^2\)\(+\)\(x^{-2}\)，比如令\(x^1\)\(+\)\(x^{-1}\)\(=\)\(t\)，则\(x^2\)\(+\)\(x^{-2}\)\(=\)\(t^2\)\(-\)\(2\)；用\(2^x\)\(+\)\(2^{-x}\)来表达\(2^{2x}\)\(+\)\(2^{-2x}\)，比如令\(2^x\)\(+\)\(2^{-x}\)\(=\)\(m\)，则\(2^{2x}\)\(+\)\(2^{-2x}\)\(=\)\(m^2\)\(-\)\(2\)，这样我们就能出来越来越复杂的函数等问题。
分析：令 \(x+x^{-1}=t\)，则 \(x^2+x^{-2}=(x+x^{-1})^2-2=t^2-2\)，其中 \(|t|\geq 2\)；
则函数 \(f(x)=x^2+x^{-2}-2=[(x+x^{-1})^2-2]-2=t^2-4\)，\(|t|\geq 2\)，
则利用图象或者单调性可得，\(f(x)\in [0,+\infty)\) .
典例剖析
(1).求\(f(x)\)的最小值；
解析：由于函数\(f(x)\)为偶函数，则\(f(-1)=f(1)\)，则\(2^{-1}+\lambda\cdot2^{1}=2^{1}+\lambda\cdot2^{-1}\)，解得\(\lambda=1\)，
即函数\(f(x)=2^x+2^{-x}\)，
又由于\(f(x)=2^x+2^{-x}=2^x+\cfrac{1}{2^x}\geqslant 2\sqrt{2^x\cdot\frac{1}{2^x}}=2\)，
当且仅当\(2^x=\cfrac{1}{2^x}\)，即\(x=0\)时取得等号；故\(f(x)\)的最小值为\(2\)；
(2).若不等式\(f(2x)\geqslant f(x)-m\)恒成立，求实数\(m\)的最小值；
解析：由题可知，\(m\geqslant f(x)-f(2x)\)恒成立，
即 \(m\geqslant 2^x+2^{-x}-(2^{2x}+2^{-2x})\)恒成立，
采用整体换元的思路，令\(t= 2^x+2^{-x}\)，即\(t\geqslant 2\)，则\(2^{2x}+2^{-2x}=t^2-2\)，
则 \(m\geqslant t-(t^2-2)=-t^2+t+2\) 恒成立，
令\(g(t)=-t^2+t+2\)，则 在\(t\in[2,+\infty)\)上单调递减，
则\(g(t)_{\max}=g(2)=0\)，故\(m\geqslant 0\)，即\(m\)的最小值为\(0\) .
