为什么要研究函数性质的给出方式

前言

高中数学中的函数章节，是许多学生害怕的内容，提到函数的性质，有些学生甚至都不清楚函数的性质都包含什么，更不用说各种性质的不同给出方式了。下例解释函数的性质如何替换后得到不同的题目，却用相同的方法解答。

案例剖析

已知函数\(f(x)\)在\((-\infty，+\infty)\)上单调递减，且对任意实数\(m\)，\(n\)都满足\(f(m)\)\(+\)\(f(n-m)\)\(=\)\(f(n)\)，若\(f(1)\)\(=\)\(-1\)，则满足\(-1\)\(\leq\)\(f(x-1)\)\(\leq\)\(1\)的\(x\)的【\(\qquad\)】取值范围是

$A.[-2，2]$ $B.[-1，1]$ $C.[0，2]$ $D.[1，3]$

分析：本题目的难点之一是用赋值法确定函数的奇偶性，

令\(m=n=0\)，得到\(f(0)+f(0-0)=f(0)\)，则\(f(0)=0\)，

再令\(n=0\)，得到\(f(m)+f(-m)=f(0)=0\)，即\(f(-m)=-f(m)\)，

即函数\(f(x)\)为奇函数，故由\(f(1)=-1\)，得到\(f(-1)=1\)，

这样原不等式\(-1\leq f(x-1)\leq 1\)可变形为\(f(1)\leq f(x-1)\leq f(-1)\)，

又由于函数\(f(x)\)在\((-\infty，+\infty)\)上单调递减，

则去掉对应法则的符号得到，\(-1\leq x-1\leq 1\)，

解得\(0\leq x\leq 2\)，故选\(C\)。

【延申分析】：由于 “函数\(f(x)\)在\((-\infty，+\infty)\)上单调递减”，刻画的是函数的单调性，故我们可以用以下的任意一种刻画形式来代替，都是等效的，这样就得到如下题目：

已知函数\(f(x)\)在\((-\infty，+\infty)\)上满足\((x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]<0(x_1\neq x_2)\)以下的这些表达形式是等效的，用其中的任何一种都可以表达单调性：①\(\cfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\)\(<\)\(0\)\((x_1\)\(\neq\)\(x_2)\)；②\(f'(x)\)\(<\)\(0\)恒成立；③\((x^2+1)\)\(\cdot\)\(f'(x)<0\)，且对任意实数\(m\)，\(n\)都满足\(f(m)\)\(+\)\(f(n-m)\)\(=\)\(f(n)\)，若\(f(1)\)\(=\)\(-1\)，则满足\(-1\)\(\leq\)\(f(x-1)\)\(\leq\)\(1\)的\(x\)的取值范围是【\(\qquad\)】

$A.[-2，2]$ $B.[-1，1]$ $C.[0，2]$ $D.[1，3]$

解析：本题目的解法基本和上述的解法一致，故略。

进一步分析，“对任意实数\(m\)，\(n\)都满足\(f(m)\)\(+\)\(f(n-m)\)\(=\)\(f(n)\)，”是用赋值法刻画的是函数的奇偶性，

如果我们用其等效的给出方式来替换，就得到了下面的题目：

已知函数\(f(x)\)在\((-\infty，+\infty)\)上满足\((x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]<0(x_1\neq x_2)\)以下的这些表达形式是等效的，用其中的任何一种都可以表达单调性：①\(\cfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\)\(<\)\(0\)\((x_1\)\(\neq\)\(x_2)\)；②\(f'(x)\)\(<\)\(0\)恒成立；③\((x^2+1)\)\(\cdot\)\(f'(x)<0\)，且对任意实数\(m\)，\(n\)都满足\(f(m)\)\(+\)\(f(n-m)\)\(=\)\(f(n)\)以下的这些表达形式是等效的，用其中的任何一种都可以表达奇偶性：①函数\(f(x)\)图像关于原点对称；②函数满足\(f(x)\)\(=\)\(-\)\(f(-x)\)；③函数满足\(f(-x)\)\(+\)\(f(x)\)\(=\)\(0\)；④函数满足\(\cfrac{f(-x)}{f(x)}\)\(=\)\(-1\)\((f(x)\neq0)\)；⑤函数\(f(x+1)\)关于点\((-1,0)\)对称；，若\(f(1)\)\(=\)\(-1\)，则满足\(-1\)\(\leq\)\(f(x-1)\)\(\leq\)\(1\)的\(x\)的取值范围是 【\(\qquad\)】

$A.[-2，2]$ $B.[-1，1]$ $C.[0，2]$ $D.[1，3]$

解析：本题目的解法基本和上述的解法一致，故略。

由上例可以看到，单调性的刻画形式我们列举了五种，奇偶性的刻画我们列举了六种，这样如果组合就可以得到\(30\)个不同的题目，而这些题目的解答都是一样的，因此要想对一类题目研究透彻，我们必须研究总结函数的各种性质的给出方式。

延申阅读

单调性；奇偶性；

周期性；对称性；