函数的整体奇偶性与部分奇偶性

前言

在学习函数的奇偶性时，学习和理解的是整体奇偶性，但在高考的考查中常常涉及函数的部分奇偶性，要是打不开这个思维的症结，就很难解决这类问题。比如，函数\(f(x)\)\(=\)\(x\)\(+\)\(sinx\)整体具有奇偶性，是奇函数，但是函数\(g(x)\)\(=\)\(x\)\(+\)\(sinx\)\(+\)\(1\)整体不具有奇偶性，但其组成部分\(y\)\(=\)\(x\)\(+\)\(sinx\)却具有奇偶性。

特别的，原来没有奇偶性的函数，如\(h(x)=e^x\)或\(g(x)=e^{-x}\)，进行四则运算后，又有了奇偶性。

如\(f(x)\)\(=\)\(e^x\)\(+\)\(\cfrac{1}{e^x}\)\(=\)\(e^x\)\(+\)\(e^{-x}\)，偶函数；如\(f(x)\)\(=\)\(e^x\)\(-\)\(\cfrac{1}{e^x}\)\(=\)\(e^x\)\(-\)\(e^{-x}\)，奇函数；

典例剖析

• 整体具有奇偶性

已知函数\(g(x)=f(2x)+x^2\)是奇函数，且\(f(2)=3\)，则\(f(-2)\)=【\(\qquad\)】

$A.-2$ $B.-5$ $C.-1$ $D.-3$

解：由于函数\(g(x)\)为奇函数，故满足\(g(-x)+g(x)=0\)；

令\(x=1\)，则得到\(g(1)=f(2)+1\)，令\(x=-1\)，则得到\(g(-1)=f(-2)+1\)，

两式相加，得到\(g(1)+g(-1)=f(2)+1+f(-2)+1=0\)，即\(f(2)+f(-2)+2=0\)

又\(f(2)=3\)，代入求得\(f(-2)=-5\)，故选\(B\).

【抽象函数】【函数性质的综合应用】已知函数\(f(x)\)在\((-\infty，+\infty)\)上单调递减，且对任意实数\(m\)，\(n\)都满足\(f(m)\)\(+\)\(f(n-m)\)\(=\)\(f(n)\)，若\(f(1)\)\(=\)\(-1\)，则满足\(-1\)\(\leq\)\(f(x-1)\)\(\leq\)\(1\)的\(x\)的取值范围是【\(\qquad\)】

$A.[-2，2]$ $B.[-1，1]$ $C.[0，2]$ $D.[1，3]$

分析：本题目的难点之一是用赋值法确定函数的奇偶性，

令\(m=n=0\)，得到\(f(0)+f(0-0)=f(0)\)，则\(f(0)=0\)，

再令\(n=0\)，得到\(f(m)+f(-m)=f(0)=0\)，即\(f(-m)=-f(m)\)，

即函数\(f(x)\)为奇函数，故由\(f(1)=-1\)，得到\(f(-1)=1\)，

这样原不等式\(-1\leq f(x-1)\leq 1\)可变形为\(f(1)\leq f(x-1)\leq f(-1)\)，

又由于函数\(f(x)\)在\((-\infty，+\infty)\)上单调递减，

则去掉对应法则的符号得到，\(-1\leq x-1\leq 1\)，

解得\(0\leq x\leq 2\)，故选\(C\)。

• 部分具有奇偶性

已知函数\(f(x)=\cfrac{x^2+x+1}{x^2+1}\)，若\(f(a)=\cfrac{2}{3}\)，求\(f(-a)\)的值；

分析：在使用函数的奇偶性解题是要注意函数“整体有奇偶性”和“局部有奇偶性”，

\(f(x)=\cfrac{x^2+1+x}{x^2+1}=1+\cfrac{x}{x^2+1}\)，而原函数的局部\(g(x)=\cfrac{x}{x^2+1}\)有奇偶性，

且\(g(x)=\cfrac{x}{x^2+1}\)是奇函数，满足\(g(-x)+g(x)=0\)，

故\(f(-x)+f(x)=1+g(-x)+1+g(x)=[g(-x)+g(x)]+2=2\)，即\(f(-a)+f(a)=2\)，

解得\(f(-a)=2-\cfrac{2}{3}=\cfrac{4}{3}\).

其实，本题还能推出函数\(f(x)\)关于点\((0，1)\)对称。

反思：注意函数“整体有奇偶性”和“局部有奇偶性”，恰当利用，能方便我们的解题。

设函数\(f(x)=(a^2-4)x^5+2x^3+(a-2)x+sin2x+1\)，若\(f(3)=10\)，则\(f(-3)\)=【\(\qquad\)】

$A.-8$ $B.-10$ $C.-9$ $D.-11$

分析：令\(g(x)=(a^2-4)x^5+2x^3+(a-2)x+sin2x\)，

则\(g(x)\)为奇函数，则\(g(-x)=-g(x)\)，

这样\(f(x)=g(x)+1\)，由于\(f(3)=g(3)+1=10\)，

令\(f(-3)=m=g(-3)+1\)，两式相加得到，

\(g(3)+1+g(-3)+1=10+m\)，即\(g(3)+g(-3)+2=10+m\)，即\(2=10+m\)，

解得\(m=-8\)，即\(f(-3)=-8\)，故选\(A\)。

若定义在\(R\)上的偶函数\(f(x)\)和奇函数\(g(x)\)满足\(f(x)+g(x)=e^x\)，则\(g(x)\)= 【\(\qquad\)】

$A.e^x-e^{-x}$ $B.\cfrac{1}{2}(e^x+e^{-x})$ $C.\cfrac{1}{2}(e^{-x}-e^x)$ $D.\cfrac{1}{2}(e^x-e^{-x})$

分析：由题目可知，\(f(-x)=f(x)\)，\(g(-x)=-g(x)\)，

又由于\(f(x)+g(x)=e^x\)①，则\(f(-x)+g(-x)=e^{-x}\)，即\(f(x)-g(x)=e^{-x}\)②，

联立①②解方程，可得\(g(x)=\cfrac{1}{2}(e^x-e^{-x})\)，故选\(D\)。