判别式法求值域

前言

判别式法求值域，使用的频度不是很高，但是其原理需要注意，其常与分式型函数有关。

原理解析

求函数\(f(x)=\cfrac{2x^2-x+1}{x^2+x+1}\)的值域。

分析：观察这个分式函数的结构特征，注意到函数的定义域为 \(R\)，将函数转化为以 \(x\) 为未知数的一元二次方程[此时的因变量 \(y\) 看成系数方程的对应系数]，

\[(y-2)x^2+(y+1)x+y-1=0 \]

由于这个函数不是空函数[函数是非空集合 \(A\) 到非空集合 \(B\) 的映射\(f:A\rightarrow B\)，\(x\in A\)]，即这个方程一定是有解的，分类讨论如下：

1\(^{\circ}\). 当\(y=2\)时，此时方程变形为一次方程，简化为\(3x+1=0\)，

解得\(x=-\cfrac{1}{3}\)，故\(y=2\)的值是满足题意的，

2\(^{\circ}\). 当\(y\neq 2\)时，此时方程为二次方程，那么由定义域为\(R\)可知，

这个二次方程在实数范围内一定有解，故\(\Delta \ge 0\)，

即\(\Delta =(y+1)^2-4(y-2)(y-1)\ge 0\)且\(y\neq 2\)，

解得\(y\in[\cfrac{7-2\sqrt{7}}{3}，2)\cup(2，[\cfrac{7+2\sqrt{7}}{3}]\)。

综上所述，函数的值域为\(y\in[\cfrac{7-2\sqrt{7}}{3}，\cfrac{7+2\sqrt{7}}{3}]\)。

〔解后反思〕：

1、为什么判别式法要求函数的定义域要是\(R\)？由上述分类讨论中的第二步可知，二次方程在实数范围内一定有解才能得到\(\Delta \geqslant 0\)，如果定义域不是\(R\)(比如是\(x\neq 2\))，那么这时候仅仅限制\(\Delta \ge 0\)是不够的，还需要限制\(x\neq 2\)，反倒就体现不出来判别式法的简洁性了。

2、能顺利使用判别式法的分式函数，一般分母的\(\Delta <0\)，这样就保证了定义域是\(R\)，且都是形如这样的分式函数，如\(f(x)\)\(=\)\(\cfrac{ax^2+bx+c}{dx^2+ex+f}\)，或者\(f(x)\)\(=\)\(\cfrac{ax+b}{dx^2+ex+f}\) 型；

3、这样的函数\(h(x)=\cfrac{x^2-4x+5}{x-2}\)能用判别式吗？一般怎么求解值域？

分析：大家能看到这个函数的定义域是\(x\neq 2\)，所以我们一般不用判别式法，否则你仅仅利用条件\(\Delta \ge 0\)来限制是不够的，肯定要出错，那么我们一般怎么做呢，注意到分子分母的最高次是二倍的关系，故常常朝对勾函数转化，

\[h(x)=\cfrac{x^2-4x+5}{x-2}=\cfrac{(x-2)^2+1}{x-2}=(x-2)+\cfrac{1}{x-2}\xrightarrow{x-2=t}t+\cfrac{1}{t} \]

到此可以看到，函数图像的左右平移变换不会影响值域，故所求函数\(h(x)\)的值域一定和函数\(g(t)=t+\cfrac{1}{t}\)的值域是一样的。用基本不等式法，我们知道这个函数的值域是\((-\infty，-2]\cup [2，+\infty)\)。故函数的值域为\(h(x)\in (-\infty，-2]\cup [2，+\infty)\)。

廓清认知

• 为什么定义域不是 \(R\) 的分式函数也能使用判别式法求值域呢？

函数 \(y=\cfrac{3 x^{2}+3 x+1}{x^{2}+x-1}\) 的值域是_____________ .

解：当定义域不是 \(R\) [即分母函数的\(\Delta\geqslant 0\)]时，我们必须先研究函数的定义域，否则在算理上是有漏洞的，

由\(x^{2}+x-1\neq0\)，解得\(x\neq\cfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)，

即定义域为\((-\infty\)\(,\)\(\cfrac{-1-\sqrt{5}}{2})\)\(\cup\)\((\cfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\)\(,\)\(\cfrac{-1+\sqrt{5}}{2})\)\(\cup\)\((\cfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\)\(,\)\(+\infty)\)，

由于函数解析式为 \(y=\cfrac{3x^{2}+3x+1}{x^{2}+x-1}\)，将 \(y\) 视为系数，分式化为整式，

整理得到关于\(x\)的仿二次方程，即 \((y-3)x^{2}+(y-3)x-(y+1)=0\)，分类讨论如下：

当 \(y=3\) 时， 上述方程即 \(0\times x^2+0\times0-4=0\)，方程无解；

当 \(y \neq 3\) 时，要使方程有解时，需满足 \(\Delta=(y-3)^{2}+4(y-3)(y+1)\geqslant 0\) ，

且必须满足\(x\neq\cfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)，否则原分式函数不存在为了验证\(y\)的取值能保证分母不为零，此时从正面验证不好做，可以这样考虑，若\(y\)的取值使得方程变为\(x^2\)\(+\)\(x\)\(-\)\(1\)\(=\)\(0\)的形式，会解得\(x\)\(=\)\(\cfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)，而只有当\(\left\{\begin{array}{l}y-3=k\\y+1=k\end{array}\right.\)时[方程的系数可能成比例]，方程\((y-3)\)\(x^{2}\)\(+\)\((y-3)\)\(x\)\(-\)\((y+1)\)\(=\)\(0\)才会变成\(x^2\)\(+\)\(x\)\(-\)\(1\)\(=\)\(0\)，而现在的情形是满足\(\left\{\begin{array}{l}y-3=k\\y+1=k\end{array}\right.\) 的\(y\)值是不存在的，说明\(y\)的取值不会导致原函数分母为零，故此时仅利用\(\Delta\geqslant 0\)求解是不会出错的。那么是不是任意的系数都能保证这一点，没有经过严谨的证明我们不好说。，

即 \(5y^{2}-14y-3\geqslant 0\)， 解得 \(y \leqslant-\cfrac{1}{5}\) 或 \(y>3\)，

所以 \(y=\cfrac{3 x^{2}+3 x+1}{x^{2}+x-1}\) 的值域为 \(\left(-\infty,-\cfrac{1}{5}\right] \cup(3,+\infty)\).

对应练习

求函数 \(y=\cfrac{1}{2x^2+x-1}\) 的值域

提示： \(y>0\) 或 \(y\leqslant-\cfrac{8}{9}\)