思维|奇偶性周期性对称性的高阶认知
前言
当三个性质出现在题目中时,如何准确区分这些容易混淆的性质,是我们应该具备的高阶素养。
常用性质
- 周期性
典型的范式如\(f(x+2)=f(x)\),则\(T=2\);
其等价变形如\(f(x+1)=f(x-1)\),则\(T=2\);
其他表现形式如\(f(x+2)=-f(x)\),则\(T=2\times2=4\)等,
- 奇偶性
典型的范式如\(f(-x)=-f(x)\),等价变形如\(f(-x)+f(x)=0\);
则函数为奇函数,关于点\((0,0)\)对称;
典型的范式由\(f(-x)=f(x)\),等价变形如\(f(-x)-f(x)=0\);
则函数为偶函数,关于直线\(x=0\)对称;
- 对称性
典型的范式如由\(f(2-x)+f(x)=2\),注意等价变形\(f(2-x)=2-f(x)\);
则可知函数关于点\((1,1)\)对称;
对称中心\((x_0,y_0)\)的求法如下:
\(x_0=\cfrac{(2-x)+x}{2}=1\),\(y_0=\cfrac{y_1+y_2}{2}=\cfrac{f(2-x)+f(x)}{2}=1\);
典型的范式如由\(f(4-x)=f(x)\),注意等价变形\(f(4-x)-f(x)=0\);
则可知函数关于直线\(x=2\)对称,
其中对称轴\(x=x_0\)的求法如下:\(x_0=\cfrac{(4-x)+x}{2}=2\);
廓清认知
当三个性质出现在题目中时,如何准确区分这些容易混淆的性质,是我们应该具备的高阶素养。
【周期性】两个自变量的整体相加不能消掉\(x\)的就表现为周期性由于周期性体现的是函数图像的左右平移,其实质是用\(x+\phi\)替换\(x\),故自变量前面的符号是相同的;;
如由\(f(x+2)=f(x)\),则\(T=2\),如由\(f(x+2)=-f(x)\),则\(T=4\),
【对称性】两个自变量的整体相加能消掉\(x\)的就表现为对称性对称性体现的是图像的对称,其横坐标必然会针对对称轴向左右平移相同的\(|x|\)个单位,故其自变量前面的符号是相反的;;
如由\(f(-x)+f(x)=0\),对称中心为\((0,0)\),即奇函数;特殊的对称性。
如由\(f(4-x)+f(x)=2\),对称中心为\((2,1)\),即一般的对称性,中心对称;
如由\(f(-x)-f(x)=0\),对称轴为\(x=0\),即偶函数,特殊的对称性;
如由\(f(2-x)-f(x)=0\),对称轴为\(x=1\),即一般的对称性,轴对称;
思维盲点
函数的奇偶性、对称性、周期性三个性质,只要知道其中两个,就能推导出第三个,而第三个常常在解题中是必不可少的,故需要我们打通思维中的盲点,熟练掌握以下的变形和数学思想方法:
- 对称性+奇偶性\(\Longrightarrow\)周期性的变形例子
如,已知函数\(f(x)\)是奇函数,且满足\(f(2-x)=f(x)\),
则由\(\begin{align*} f(2-x)&=f(x) \\\ - f(-x)&= f(x)\end{align*}\) \(\Bigg\}\Longrightarrow f(2-x)=- f(-x)\Longrightarrow f(2+x)=- f(x)\Longrightarrow\)周期\(T=4\)
- 奇偶性+周期性\(\Longrightarrow\)对称性的变形例子
如,已知函数\(f(x)\)是奇函数,且满足\(f(x+4)=-f(x)\),
则由\(\begin{align*} f(x+4)&=-f(x) \\ f(-x)&=-f(x)\end{align*}\) \(\Bigg\}\Longrightarrow f(x+4)=f(-x)\Longrightarrow\)对称轴是\(x=2\)
- 对称性+周期性\(\Longrightarrow\)奇偶性的变形例子
如,已知函数\(f(x)\)的周期是2,且满足\(f(2+x)=f(-x)\),
则由\(\begin{align*} f(2+x) &=f(-x) \\ f(2+x) &= f(x)\end{align*}\) \(\Bigg\}\Longrightarrow f(-x)= f(x)\Longrightarrow\)函数\(f(x)\)是偶函数。
难点突破
- 函数性质综合应用中的难点,注意对比两个例子中的单调性和图像,比如
(1).已知定义在\(R\)上的奇函数\(f(x)\),在\((0,+\infty)\)上单调递增,则函数图像可能是①,而不可能是②;
(2).已知定义在\(R\)上的奇函数\(f(x)\),在\([0,+\infty)\)上单调递增,则函数图像可能是②,而不可能是①;
- 注意,还需要加强的是数学应用意识;即由文字语言到数学符号语言;
比如知道对称轴\(x=1\),我们应该能顺利写出\(f(x+2)=f(-x)\),或\(f(-x+2)=f(x)\),或\(f\)\((\)\(1\)\(+\)\(x\)\()\)\(=\)\(f\)\((\)\(1\)\(-\)\(x\)\()\),其实这几种表达形式的实质都是相同的,具体选用哪一个看我们的题目需要;再比如,知道函数的对称中心\((1,1)\),你就应该能写出\(f(2-x)+f(x)=2\),或\(f(1-x)+f(1+x)=2\)等等;
典例列举
①对任意的\(x\in R\),都有\(f(x+2)=f(x-2)\) ;
②函数\(y=f(x+2)\)是偶函数 ;
③当\(x\in(0,2]\)时,\(f(x)=e^x-\cfrac{1}{x}\) ,
若已知\(a=f(-5)\),\(b=f(\cfrac{19}{2})\),\(c=f(\cfrac{41}{4})\),则\(a\),\(b\),\(c\)的大小关系是【\(\qquad\)】
分析:本题目是函数各种性质综合应用的典型题目,如果你对函数的各种性质的给出方式很熟悉,
那么由①可知,函数满足\(f(x+4)=f(x)\),其周期是\(4\) ;
由②可知\(y=f(x)\)的对称轴是\(x=2\),可以表达为\(f(x+4)=f(-x)\) ,
那么在结合\(f(x+4)=f(x)\),可知\(f(-x)=f(x)\),则函数\(f(x)\)还是偶函数 ;
由③借助导数工具(或者增+增=增)可得,函数\(f(x)\)在区间\((0,2]\)上单调递增 ,
有了以上分析得到的函数的周期性、奇偶性、单调性,就可以轻松的解决题目中的大小比较了 。
\(a=f(-5)\)\(\xlongequal{周期性}\)\(f(-1)\)\(\xlongequal{奇偶性}\)\(f(1)\) ;
\(b=f(\cfrac{19}{2})\)\(\xlongequal{周期性}\)\(f(\cfrac{3}{2})\)\(=\)\(f(1.5)\) ;
\(c=f(\cfrac{41}{4})\)\(\xlongequal{周期性}\)\(f(2+\cfrac{1}{4})\)\(\xlongequal{已知表达式}\)\(f(\cfrac{1}{4}-2)\)\(\xlongequal{偶函数}\)\(f(2-\cfrac{1}{4})\)\(=\)\(f(1.75)\) ;
由\(f(x)\)在区间\((0,2]\)上\(\nearrow\),\(1<1.5<1.75\) ,
则有\(f(1)<f(1.5)<f(1.75)\),即\(a<b<c\),故选\(D\) 。
分析:本题目对学生的数学素养要求比较高,主要是函数的性质都是用数的形式给出的,好多学生对此很不熟悉;以下逐条分析对各种性质的认知,
其一:比如\(y=f(x+1)\)为偶函数,是为了给出\(f(x)\)的对称性,为什么,[从数的角度解释,不好理解]由\(y=f(x+1)\)为偶函数,则\(f(x+1)=f(-x+1)\),则\(f(x)\)关于直线\(x=1\)对称;[从形的角度理解,相对好理解]由于\(y=f(x+1)\)为偶函数,则\(f(x+1)\)的对称轴为直线\(x=0\),将其向右平移一个单位(\(x-1\)替换\(x\)),得到\(f(x)\),则其对称轴也由\(x=0\)平移到\(x=1\),故\(f(x)\)关于直线\(x=1\)对称;
其二:\(f(2+x)=-f(2-x)\),刻画的是函数的中心对称性,将其等价变形为\(f(2+x)+f(2-x)=0\),则其关于点\((2,0)\)中心对称,由此我们可以写出\(f(4+x)+f(-x)=0\),或写出\(f(4-x)+f(x)=0\);
其三:思维的盲点,由对称性和奇偶性结合可以推出周期性,由周期性和对称性结合可以推出奇偶性;由周期性和奇偶性结合可以推出对称性;
解析:由于\(y=f(x+1)\)为偶函数,则\(f(x)\)关于直线\(x=1\)对称,即\(f(x+2)=f(-x)\)①,
又由于\(f(2+x)+f(2-x)=0\),则其关于点\((2,0)\)中心对称,由此得到\(f(4+x)+f(-x)=0\)②,
则①式代入②式,即\(f(x+4)+f(x+2)=0\),此时将\(x+2\)替换为\(x\),即\(f(x+2)+f(x)=0\),
即\(f(x+2)=-f(x)\),故\(T=4\);
又由于周期为\(4\),则\(f(x+4)=f(x)\),则对\(f(2+x)=-f(2-x)\)施加周期性,
得到 \(f(2+x)=f(2+x-4)=f(x-2)\),
即\(f(x-2)=-f(2-x)\),即\(f(x-2)+f(2-x)=0\),
故\(f(x)\)关于点\((0,0)\)对称,即\(f(x)\)为奇函数,综上选\(B\).
解析:函数 \(y=f(x)\) 是定义在 \(R\) 上周期为 \(2\) 的奇函数,
则 \(f(-0.5)=-f(0.5)=-1\),且 \(f(3.5)=f(3.5-2\times2)=f(-0.5)=-1\);
法1:求解 \(f(1)\) 的值;利用周期性和奇偶性,不说对称性,通过移项求解;
利用周期性得到 \(f(1)=f(1-2)=f(-1)\), 又由于奇偶性可得到,\(f(-1)=-f(1)\),
这样 \(f(1)=-f(1)\),移项得到,\(2f(1)=0\),则 \(f(1)=0\) .
法2:求解 \(f(1)\) 的值;利用周期性和奇偶性,得到对称性,赋值得到求解;
又由于 \(y=f(x)\) 是定义在 \(R\) 上周期为 \(2\),则 \(f(x+2)=f(x)\) ①,
函数 \(y=f(x)\) 是定义在 \(R\) 上的奇函数,则 \(f(x)=-f(-x)\) ②,
由①②可知, \(f(x+2)=-f(-x)\)[这个表达式其实就是对称性],令 \(x=-1\),即 \(f(-1+2)=-f(1)\),即 \(f(1)+f(1)=0\),解得 \(f(1)=0\) .