复合函数的单调区间求解

前言

研究复合函数的单调性，应该首先求解其定义域。

典例分析

已知函数\(f(x)=log_2(x^2-3x+2)\)，求其单调性。

分析：令\(u=x^2-3x+2\)，则原复合函数拆分为外函数\(y=f(u)=log_2u\)和内函数\(u=x^2-3x+2\)

由\(u=x^2-3x+2>0\)，解得\(x\in (-\infty，1)\cup(2，+\infty)\)，

即此复合函数的定义域为\(x\in (-\infty，1)\cup(2，+\infty)\)。

那么要研究其单调性，必须先在上述定义域范围内，定义域优先原则。

然后由\(u=x^2-3x+2=(x-\cfrac{3}{2})^2-\cfrac{1}{4}\)，

则内函数\(u(x)\)在区间\((-\infty，1)\)上单调递减，在区间\((2，+\infty)\)上单调递增，

而外函数\(y=f(u)=log_2u\)只是单调递增的，

故复合函数\(f(x)\)在区间\((-\infty，1)\)上单调递减，在区间\((2，+\infty)\)上单调递增。

【同类题目】已知函数\(f(x)=\sqrt{x^2-3x+2}\)，求其单调性。

提示：仿上例完成，复合函数的定义域为\(x\in (-\infty，1]\cup[2，+\infty)\)。

复合函数\(f(x)\)在区间\((-\infty，1]\)上单调递减，在区间\([2，+\infty)\)上单调递增。

已知 \(f(x)=8+2x-x^2\)，若 \(g(x)=f(2-x^2)\)，则 \(g(x)\)【\(\qquad\)】

$A$.在区间$(-1,0)$内是减函数

$B$.在区间$(0,1)$内是减函数

$C$.在区间$(-2,0)$内是增函数

$D$.在区间$(0,2)$内是增函数

法1：利用复合函数的复合法则求解，复合函数的定义域为 \((-\infty,+\infty)\)，

由于外函数\(f(x)=8+2x-x^2=-(x-1)^2+9\)，对称轴为 \(x=1\)，在区间 \((-\infty,1)\)上单调递增，在区间 \((1,+\infty)\) 上单调递减；内函数为 \(t=2-x^2\)，对称轴为 \(x=0\)，在区间 \((-\infty,0)\)上单调递增，在区间 \((0,+\infty)\) 上单调递减；

由于外函数的对称轴为 \(x=1\)，故令\(2-x^2=1\)，解得 \(x=-1\) 和 \(x=1\)，这样整个定义域就分成了四个部分，

\((-\infty,-1)\)和\((-1,0)\)和\((0,1)\)和\((1,+\infty)\)，

根据复合函数的单调性，在以上的四个区间上分别讨论如下：

当 \(x\in(-\infty,-1)\)时，此时内函数\(t=2-x^2\)单调递增，且\(t\in(-\infty,1)\)，此时外函数\(f(t)=8+2t-t^2\)单调递增，故复合函数 \(g(x)\)单调递增；

当 \(x\in(-1,0)\)时，此时内函数\(t=2-x^2\)单调递增，且\(t\in(1,2)\)，此时外函数\(f(t)=8+2t-t^2\)单调递减，故复合函数 \(g(x)\)单调递减；

当 \(x\in(0,1)\)时，此时内函数\(t=2-x^2\)单调递减，且\(t\in(1,2)\)，此时外函数\(f(t)=8+2t-t^2\)单调递减，故复合函数 \(g(x)\)单调递增；

当 \(x\in(1,+\infty)\)时，此时内函数\(t=2-x^2\)单调递减，且\(t\in(-\infty,1)\)，此时外函数\(f(t)=8+2t-t^2\)单调递增，故复合函数 \(g(x)\)单调递减；

综上所述，故选 \(A\) .

法2：导数法求单调区间，由题目可知，

\(g(x)=f(2-x^2)=8+2(2-x^2)-(2-x^2)^2\)，即 \(g(x)=-x^4+2x^2+8\)，

则 \(g'(x)=-4x^3+4x=-4x(x^2-1)=-4x(x+1)(x-1)\)，借助穿根法做出函数的简图，

从而可知，当\(x\in (-1,0)\)时，\(f'(x)<0\)，故在区间 \((-1,0)\)上，函数 \(g(x)\)单调递减，故选 \(A\).

高阶题目

涉及图像的复合函数问题

已知函数\(y=f(x)\)和\(y=g(x)\)在\([-2，2]\)上的图像如图所示，给出下列四个命题：

①方程\(f[g(x)]=0\)有且仅有\(6\)个根；②方程\(g[f(x)]=0\)有且仅有\(3\)个根；

③方程\(f[f(x)]=0\)有且仅有\(5\)个根；④方程\(g[g(x)]=0\)有且仅有\(4\)个根；

则正确的命题有 _______________。①③④

【法1】：从里向外分析，

对于命题①而言，复合函数为\(f[g(x)]\)；为什么如下选择区间？当我们先选择函数\(g(x)\)的区间为\([-2，-1]\)时，此时虽然能保证内函数\(g(x)\)单调递增，但是此时内函数的值域\(g(x)\in [-2，2]\)，其投射到外函数\(f(x)\)上时，就放置到了外函数\(f(x)\)的定义域\([-2，2]\)内，此时外函数的单调性不唯一，说明我们一开始选取的内函数的研究区间\([-2，-1]\)有些大了，所以需要压缩；一直压缩到\([-2，x_0]\)，其中\(g(x_0)=-1\)，这时候内函数的值域\(g(x)\in [-2，-1]\)，刚好投射到外函数的单调递增区间上，说明此时的区间选取是恰当合理的，其他的区间选取与此同理同法；

在\([-2，x_0]\)上，\(f[g(x)]\nearrow\)，\(f[g(-2)]=f(-2)=-2\)，\(f[g(x_0)]=f(-1)=1\)，其中\(g(x_0)=-1\);

在\([x_0，x_1]\)上，\(f[g(x)]\searrow\)，\(f[g(x_1)]=f(0)=0\)，其中\(g(x_1)=0\)；

在\([x_1，x_2]\)上，\(f[g(x)]\searrow\)，\(f[g(x_2)]=f(1)=-1\)，其中\(g(x_2)=1\)；

在\([x_2，-1]\)上，\(f[g(x)]\nearrow\)，\(f[g(-1)]=f(2)=2\)；

在\([-1，0]\)上，\(f[g(x)]\searrow\)，\(f[g(0)]=f(1)=-1\)；图中未说明，假定\(g(0)=1\);

在\([0，1]\)上，\(f[g(x)]\nearrow\)，\(f[g(1)]=f(-0.3)=0.4\)；\(g(1)=-0.3\)，\(f(-0.3)=0.4\)为估算值；

在\([1，x_3]\)上，\(f[g(x)]\nearrow\)，\(f[g(x_3)]=f(-1)=1\)，其中\(g(x_3)=-1\)；

在\([x_3，2]\)上，\(f[g(x)]\searrow\)，\(f[g(2)]=f(-2)=-2\)；

根据上述函数值，做出函数图像，由图像可知方程\(f[g(x)]=0\)有且仅有\(6\)个根；故①正确；

对于命题②而言，复合函数为\(g[f(x)]\)；

在\([-2，x_4]\)上，\(g[f(x)]\nearrow\)，\(g[f(-2)]=g(-2)=-2\)，\(g[f(x_4)]=g(-1)=2\)，其中\(f(x_4)=-1\);

在\([x_4，x_5]\)上，\(g[f(x)]\searrow\)，\(g[f(x_5)]=g(0)=1\)，其中\(f(x_5)=0\)；

在\([x_5，-1]\)上，\(g[f(x)]\searrow\)，\(g[f(-1)]=g(1)=-0.3\)；

在\([-1，0]\)上，\(g[f(x)]\nearrow\)，\(g[f(0)]=g(0)=1\)；

在\([0，1]\)上，\(g[f(x)]\nearrow\)，\(g[f(1)]=g(-1)=2\)；

在\([1，x_6]\)上，\(g[f(x)]\searrow\)，\(g[f(x_6)]=g(1)=0\)，其中\(f(x_6)=1\)；

在\([x_6，2]\)上，\(f[g(x)]\searrow\)，\(g[f(2)]=g(2)=-2\)；

根据上述函数值，做出函数图像，由图像可知方程\(g[f(x)]=0\)有且仅有\(4\)个根；故②错误；

对于命题③而言，复合函数为\(f[f(x)]\)；

在\([-2，x_4]\)上，\(f[f(x)]\nearrow\)，\(f[f(-2)]=f(-2)=-2\)，\(f[f(x_4)]=f(-1)=1\)，其中\(f(x_4)=-1\);

在\([x_4，x_5]\)上，\(f[f(x)]\searrow\)，\(f[f(x_5)]=f(0)=0\)，其中\(f(x_5)=0\)；

在\([x_5，-1]\)上，\(f[f(x)]\searrow\)，\(f[f(-1)]=f(1)=-1\)；

在\([-1，0]\)上，\(f[f(x)]\nearrow\)，\(f[f(0)]=f(0)=0\)；

在\([0，1]\)上，\(f[f(x)]\nearrow\)，\(f[f(1)]=f(-1)=1\)；

在\([1，x_6]\)上，\(f[f(x)]\searrow\)，\(f[f(x_6)]=f(1)=-1\)，其中\(f(x_6)=1\)；

在\([x_6，2]\)上，\(f[f(x)]\nearrow\)，\(f[f(2)]=f(2)=2\)；

根据上述函数值，做出函数图像，由图像可知方程\(f[f(x)]=0\)有且仅有\(5\)个根；故③正确；

对于命题④而言，复合函数为\(g[g(x)]\)；

在\([-2，x_0]\)上，\(g[g(x)]\nearrow\)，\(g[g(-2)]=g(-2)=-2\)，\(g[g(x_0)]=g(-1)=2\)，其中\(g(x_0)=-1\);

在\([x_0，x_1]\)上，\(g[g(x)]\searrow\)，\(g[g(x_1)]=f(0)=0\)，其中\(g(x_1)=0\)；

在\([x_1，x_2]\)上，\(g[g(x)]\searrow\)，\(g[g(x_2)]=g(1)=-0.3\)，其中\(g(x_2)=1\)；

在\([x_2，-1]\)上，\(g[g(x)]\searrow\)，\(g[g(-1)]=g(2)=-2\)；

在\([-1，0]\)上，\(g[g(x)]\nearrow\)，\(g[g(0)]=g(1)=0\)；

在\([0，1]\)上，\(g[g(x)]\nearrow\)，\(g[g(1)]=g(0)=1\)；

在\([1，x_3]\)上，\(g[g(x)]\nearrow\)，\(g[g(x_3)]=g(-1)=2\)，其中\(g(x_3)=-1\)；

在\([x_3，2]\)上，\(g[g(x)]\searrow\)，\(g[g(2)]=f(-2)=-2\)；

根据上述函数值，做出函数图像，由图像可知方程\(g[g(x)]=0\)有且仅有\(4\)个根；故④正确；

综上所述，正确的命题有①③④。

法2：从外向里分析，由图像可知，\(-2\leqslant g(x)\leqslant 2\)，\(-2\leqslant f(x)\leqslant 2\)，

对于命题①而言，由于满足方程\(f[g(x)]=0\)的\(g(x)\)有\(3\)个不同值，由于每个值\(g(x)\)又对应了\(2\)个\(x\)值，故满足\(f[g(x)]=0\)的\(x\)值有\(6\)个，即方程\(f[g(x)]=0\)有且仅有\(6\)个根，故命题①正确；

[图像使用方法说明]：由\(y=f(x)\)的图像可以看出，使得\(f(x)=0\)的三个零点值分别为\(x_1=-1.6\)，\(x_2=0\)，\(x_3=1.6\)[估算]，

在函数\(y=g(x)\)的图像中，分别做直线\(g(x)=-1.6\)，\(g(x)=0\)，\(g(x)=1.6\)，每一条直线和函数\(y=g(x)\)都有\(2\)个交点，故共有\(6\)个交点。

对于命题②而言，由于满足方程\(g[f(x)]=0\)的\(f(x)\)有\(2\)个不同值，从图中可知，每一个值\(f(x)\)，一个\(f(x)\)的值在\((-2，-1)\)上，另一个\(f(x)\)的值在\((0，1)\)上，当\(f(x)\)的值在\((-2，-1)\)上时，原方程有一个解；当\(f(x)\)的值在\((0，1)\)上时，原方程有\(3\)个解，故满足\(g[f(x)]=0\)的\(x\)值有\(4\)个，即方程\(g[f(x)]=0\)有且仅有\(4\)个根，故命题②不正确；

对于命题③而言，由于满足方程\(f[f(x)]=0\)的\(f(x)\)有\(3\)个不同值，从图中可知，一个\(f(x)\)的值在\((-2，-1)\)上，一个\(f(x)\)的值为\(0\)，另一个\(f(x)\)的值在\((1，2)\)上；当\(f(x)=0\)对应了\(3\)个不同的\(x\)值，当\(f(x)\)在\((-2，-1)\)上时，只对应一个\(x\)值；当\(f(x)\)的值在\((1，2)\)上时，也只对应一个\(x\)的值，故满足\(f[f(x)]=0\)的\(x\)值有\(5\)个，即方程\(f[f(x)]=0\)有且仅有\(5\)个根，故命题③正确；

对于命题④而言，由于满足方程\(g[g(x)]=0\)的\(g(x)\)有\(2\)个不同值，从图中可知，每个\(g(x)\)的值对应\(2\)个不同的\(x\)值，故满足\(g[g(x)]=0\)的\(x\)值有\(4\)个，即方程\(g[g(x)]=0\)有且仅有\(4\)个根，故命题④正确；

综上所述，正确的命题有①③④。