分组和分配问题

前言

对排列组合中的常见模型，依托例题，作以总结提炼。

模型分析

• 分组和分配

[题目] 按照下列要求分配 \(6\) 本不同的书，各有多少种不同的分配方式？

⑴. 分成三份(堆)，\(1\) 份 \(1\) 本， \(1\) 份 \(2\) 本， \(1\) 份 \(3\) 本 ；

分析：无序不均匀分组问题，\(C_6^1\times C_5^2\times C_3^3=60\)；

或者相当于先从 \(6\) 本中任取 \(1\) 本 \(C_6^1\) 种放成一堆，再从剩余的 \(5\) 本中任取 \(1\) 本 \(C_5^2\) 种放成一堆，再从剩余的 \(3\) 本中任取 \(3\) 本 \(C_3^3\) 种放成一堆，到此分成了符合要求的三份，事件完成，故有 \(C_6^1\times C_5^2\times C_3^3=60\)；

⑵. 甲、乙、丙三人中，一人得 \(1\) 本，一人得 \(2\) 本，一人得 \(3\) 本

分析：有序不均匀分组问题，先分组再分配到人手中。

\(C_6^1\times C_5^2\times C_3^3\times A_3^3=360\)

⑶. 平均分成三份，每份 \(2\) 本

分析：无序均匀分组问题，\(\cfrac{C_6^2\times C_4^2\times C_2^2}{A_3^3}=15\)

[问题]为什么必须要除以 \(A_3^3\) 呢？

解释：先分为三份，则应该是 \(C_6^2\times C_4^2\times C_2^2\) 种方法；但是这里出现了重复。不妨记 \(6\) 本书为\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)、\(E\)、\(F\)，若第一步取了 \(AB\) ，若第二步取了 \(CD\) ，若第三步取了 \(EF\) ，标记该种分法为 \((AB,CD,EF)\)，则 \(C_6^2\times C_4^2\times C_2^2\) 种方法中还有 \((AB,EF,CD)\)，\((CD,AB,EF)\)，\((CD,EF,AB)\)，\((EF,AB,CD)\)，\((EF,CD,AB)\)，共有 \(A_3^3\) 种情况，而这 \(A_3^3\) 种情况仅仅是 \(AB,CD,EF\) 的顺序不同，因此只能作为一种分法，

故分配分法有 \(\cfrac{C_6^2\times C_4^2\times C_2^2}{A_3^3}=15\) 种。可以类比定序问题理解。

⑷. 平均分配给甲、乙、丙三人，每人 \(2\) 本

分析：有序均匀分组再分配问题，\(\cfrac{C_6^2\times C_4^2\times C_2^2}{A_3^3}\times A_3^3=90\)

或解：先让甲来领取有 \(C_6^2\) 种，再让乙来领取有 \(C_4^2\) 种，最后让丙来领取有 \(C_2^2\) 种，

故有 \(C_6^2\times C_4^2\times C_2^2=90\)

⑸. 分成三份， \(1\) 份 \(4\) 本，另外两份每份 \(1\) 本

分析：无序部分均匀分组，\(\cfrac{C_6^4\times C_2^1\times C_1^1}{A_2^2}=15\)，

其中每份 \(1\) 本的这两堆是大小一样，没有顺序的，故需要除以 \(A_2^2\)。

⑹. 甲、乙、丙三人中，一人得 \(4\) 本，另外两人每人得 \(1\) 本

分析：有序部分均匀分组再分配问题，\(\cfrac{C_6^4\times C_2^1\times C_1^1}{A_2^2}\times A_3^3=90\)

⑺. 甲得 \(1\) 本，乙得 \(1\) 本，丙得 \(4\) 本

分析：直接分配问题， \(C_6^1\times C_5^1\times C_4^4=30\)

或者 \(C_6^4\times C_2^1\times C_1^1=30\)

备注：其中第⑺问，相当于甲乙丙这三个人依次上来领取一样，

这样的话，“领取”模型就可以同化第⑴、⑷问了。

• 先分组再分配

①. \(3\) 个不同的小球分给 \(3\) 个人，每个人至少有一个球的不同分法？

分析：共有 \(\cfrac{C_3^1C_2^1C_1^1}{A_3^3}\cdot A_3^3=C_3^1C_2^1C_1^1\) ，或者 \(A_3^3\) 种不同的放法。

评：整体平均分组。

②. \(4\) 个不同的小球分给 \(3\) 个人，每个人至少有一个球的不同分法？

分析：共有 \(\cfrac{C_4^2C_2^1C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3=C_4^2A_3^3\) 种不同的放法。

评：部分平均分组。

③. \(5\) 个不同的小球分给 \(3\) 个人，每个人至少有一个球的不同分法？

分析：共有 \(\cfrac{C_5^3C_2^1C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3+\cfrac{C_5^2C_3^2C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3\) 种不同的放法。

评：分类讨论+部分平均分组。

典例剖析

【2017全国卷2理科第6题高考真题】安排 \(3\) 名志愿者完成 \(4\) 项工作，每人至少完成 \(1\) 项，每项工作由一个人完成，则不同的安排方式共有【\(\qquad\)】种。

$A.12$ $B.18$ $C.24$ $D.36$

分析：部分平均分组再分配问题，

可以先将 \(4\) 项工作分成 \(3\)份\((1+2+1)\)的情形，共有 \(\cfrac{C_4^2C_2^1C_1^1}{A_2^2}\) 种，

然后将分成的 \(3\) 组工作分配给 \(3\) 个人，有 \(A_3^3\) 种，故有 \(\cfrac{C_4^2C_2^1C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3=36\) 种。

【2021年高考乙卷理数第\(6\)题】将 \(5\) 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 \(4\) 个项目进行培训，每名志愿者只分配到 \(1\) 个项目， 每个项目至少分配 \(1\) 名志愿者， 则不同的分配方案共有【\(\qquad\)】种

$A.60$ $B.120$ $C.240$ $D.480$

解析: 从 \(5\) 名志愿者中任选 \(2\) 个分成 \(1\) 组，再从剩余的 \(3\) 名志愿者中任选 \(1\) 个分成 \(1\) 组， 再从剩余的 \(2\) 名志愿者中任选 \(1\) 个分成 \(1\) 组，再从剩余的 \(1\) 名志愿者中任选 \(1\) 个分成 \(1\) 组， 共有分组数为 \(\cfrac{C_5^2C_3^1C_2^1C_1^1}{A_3^3}=C_5^2=10\) 种方法，然后这 \(4\) 组进行全排列，有\(A_{4}^{4}\)种，共有 \(C_{5}^{2}A_{4}^{4}=240\) 种，故选: \(C\) .

【姊妹题】安排 \(3\) 名志愿者完成 \(5\) 项工作，每人至少完成 \(1\) 项，每项工作由一个人完成，则不同的安排方式共有多少种？

安排 \(5\) 名毕业生到 \(3\) 个单位实习，则每个单位至少去一名的不同分派方法有多少种？

分析：将工作分配给人：\(\cfrac{C_5^3C_2^1C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3+\cfrac{C_5^2C_3^2C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3=150\)；

【对照题】将 \(5\) 名志愿者分配到 \(3\) 个单位，每个单位至少分配 \(1\) 人，则不同的安排方式共有多少种？

分析：将人分到单位：\(\cfrac{C_5^3C_2^1C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3+\cfrac{C_5^2C_3^2C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3=150\)；

【对照题】将 \(5\) 名志愿者分配到 \(3\) 个单位，每个单位至少分配 \(1\) 人，其中甲同学不能分配到 \(A\) 宿舍，则不同的安排方式共有多少种？

分析：不考虑甲同学的情形，共有\(\cfrac{C_5^3C_2^1C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3+\cfrac{C_5^2C_3^2C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3=150\)种；

其中将甲分配到 \(A\) 宿舍占总数的 \(\cfrac{1}{3}\)，故甲同学不能分配到 \(A\) 宿舍的不同方式有 \(150\times (1-\cfrac{1}{3})=100\)。

在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡村医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两人不能安排在同一个医院，丙、丁两人也不能安排在同一个医院，则不同的分配方法种数为__________。

分析：将五人安排到三所医院，且每所医院至少安排一名医生，则不同的分组方式有 \(1+1+3\) 和 \(1+2+2\) 两种，

当分组方式为\(1+2+2\)时，用间接法求解，所有的分配方法共有\(\cfrac{C_5^3C_2^1C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3\)种，

其中不符合题意的有甲乙两人同医院的，\(C_2^2(\textbf{选甲乙})C_3^2(\textbf{另三人选一个})C_1^1(\textbf{剩余一人})A_3^3\)，

丙丁两人同医院的，\(C_2^2(\textbf{选丙丁})C_3^2(\textbf{另三人选一个})C_1^1(\textbf{剩余一人})A_3^3\)，

在这其中多算了甲乙同医院且丙丁同医院的情形 \(A_3^3\)，

故共有\(\cfrac{C_5^3C_2^1C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3-(2C_3^2A_3^3-A_3^3)=90-30=60\)；

当分组方式为\(1+1+3\)时，用直接法求解，从甲乙两人中选一个 \(C_2^1\)，从丙丁两人中选一个 \(C_2^1\)，将剩余的三人自然合成一组共三组，再分配有 \(A_3^3\)，故共有\(C_2^1C_2^1A_3^3=24\)；

综上所述，共有\(N=60+24=84\)种。