数学解题的减法和加法
有时候在审题和分析求解方向时，是需要一定的方法策略的，用减法做题，可以让我们将题意理解的更透彻，然后用加法做题，可以将更多的知识点交汇融合在一起。
前言
在高考数学备考过程中，我们少不了【从学】和【自学】这两种学习模式。其中跟随老师指导学习 [从学] 的模式，基本是线性学习形式，从低级到高级，从基础到综合，能很容易地理解和接受，但是学习周期有些长，极容易前学后忘；对于高中数学而言，自学的成本很高，自学的道路上到处都是拦路虎，但是如果推到了这一堆堆的 “墙” 以后，它们就都变成了 “桥” ，将我们学过的知识点互通串联在一起，触类旁通，印象深刻，效果非常好，所以绝大多数学生的高三数学备考都是二者结合，本博文针对这种结合模式下的习题自学的方法和思路作以探索。
习题展示
解析：令 \(g(x)=e^x\cdot f(x)\)，则 \(g'(x)=e^x[f'(x)+f(x)]>0\) ，故函数 \(g(x)\) 在 \(R\) 上单调递增，
则所求的抽象不等式 \(e^{x+1}\)\(\cdot\)\(f(2x-1)\)\(-\)\(f(x-2)\)\(>0\)具体解释：
\(e^{x+1}\)\(=\)\(\cfrac{e^{2x-1}}{e^{x-2}}\)，
则\(e^{x+1}\)\(\cdot\)\(f(2x-1)\)\(-\)\(f(x-2)\)\(>0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\cfrac{e^{2x-1}}{e^{x-2}}f(2x-1)\)\(-\)\(f(x-2)\)\(>0\)
\(\Leftrightarrow\) \(e^{2x-1}\)\(\cdot\)\(f(2x-1)\)\(>\)\(e^{x-2}\)\(\cdot\)\(f(x-2)\)\(\quad\) 可等价转化为
\(e^{2x-1}\cdot f(2x-1)>e^{x-2}\cdot f(x-2)\)，即 \(g(2x-1)>g(x-2)\)，
由于 \(g(x)\) 在 \(R\) 上单调递增，故有 \(2x-1>x-2\)，
解得 \(x>-1\)，故所求解集为 \((-1,+\infty)\).
案例分析
上述的题目一般都是高考数学中的压轴题层次，对学生的数学素养要求很高，对学生的数学思维能力要求很高，所以一般的学生都是望而却步，即使参照答案来分析题目的解析过程也是步步有坑，层层是墙，推进理解非常吃力和痛苦；
估计看过了解析过程，我们会产生以下的一些问题：
➊为什么“令 \(g(x)=e^x\cdot f(x)\)” 这样来构造函数，其他题目中我该如何构造函数？
➋题目为什么已知 “若对于任意实数 \(x\in R\)，都有 \(f(x)\)\(+\)\(f'(x)\)\(>0\)”，是干什么用的.
➌解题中为什么要将 “\(e^{x+1}\)\(\cdot\)\(f(2x-1)\)\(-\)\(f(x-2)\)\(>0\) ”变形为 “\(e^{2x-1}\)\(\cdot\)\(f(2x-1)\)\(>\)\(e^{x-2}\)\(\cdot\)\(f(x-2)\)，”
➍如何得到的 “\(g(2x-1)>g(x-2)\)，”，
➎为什么能“由于 \(g(x)\) 在 \(R\) 上单调递增，故有 \(2x-1>x-2\)”，是不是不论函数为奇函数还是偶函数，都是这样做的，等等，
为了更好的解答这些问题，我们不妨先用减法：
减法解题
若理解不了 令 \(g(x)=e^x\cdot f(x)\) 和 \(e^{x+1}\)\(\cdot\)\(f(2x-1)\)\(-\)\(f(x-2)\)\(>0\) ，我们不妨将题目已知条件和结论简化[减去函数构造的综合要求和不等式的恒等变形]为：
如果还是不行，我们不妨将题目再简化[减去函数的单调性的难度]为：
如果还是不行，我们不妨将题目再简化[减去抽象函数的抽象性]为：
说明：题目简化到这种程度，已经精简到不能再精简了，其实这应该是上述所有题目的最精简的模型 . 依托具体函数 \(g(x)=e^x\) 的定义域和单调性，我们解析如下，
解析：由于函数 \(g(x)\) 是定义在 \(R\) 上的增函数，
故由 \(g(2x-1)>g(x-2)\) ，得到 \(2x-1>x-2\)，即解得 \(x>-1\)，故所求解集为 \((-1,+\infty)\).
那么该如何理解原本的那个题目呢？这次我们采用加法，详述如下：
加法解题
首先尝试在最精简模型的基础上，增加定义域的限制，题目变化为：
解析：由于 \(g(x)=\ln x\) 的定义域为 \((0,+\infty)\)，
故原不等式等价于 \(\left\{\begin{array}{l}2x-1>0\\x-2>0\\2x-1>x-2\end{array}\right.\) ，故解集为 \((2,+\infty)\).
其次，增加函数的抽象性，变换为抽象函数，题目变化为：
解析：由于函数 \(g(x)\) 是定义在 \([-2,2]\) 上的增函数，
故原不等式等价于 \(\left\{\begin{array}{l}-2\leqslant 2x-1\leqslant 2\\-2\leqslant x-2\leqslant 2\\2x-1>x-2\end{array}\right.\) ，故解集为 \([0,\cfrac{3}{2}]\).
再次，增加函数的单调性的给出难度，题目变化为：
解析：由对任意不相等的\(x_1,x_2\in [-2,2]\)，都有\(\cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}>0\) ，刻画的是单调递增性，
可知函数 \(g(x)\) 是定义在 \([-2,2]\) 上的增函数，
故原不等式等价于 \(\left\{\begin{array}{l}-2\leqslant 2x-1\leqslant 2\\-2\leqslant x-2\leqslant 2\\2x-1>x-2\end{array}\right.\) ，故解集为 \([0,\cfrac{3}{2}]\).
再次，增加函数的单调性的给出难度，利用奇偶性和单调性结合，题目变化为：
解析：由 \(g(-x)+g(x)=0\) ，可知函数是奇函数，在 \([0,2]\) 上单调递增，又定义在 \([-2,2]\) 上，
故其在 \([-2,2]\) 上也是单调递增的，
故原不等式等价于 \(\left\{\begin{array}{l}-2\leqslant 2x-1\leqslant 2\\-2\leqslant x-2\leqslant 2\\2x-1>x-2\end{array}\right.\) ，故解集为 \([0,\cfrac{3}{2}]\).
再次，增加函数的单调性的给出难度，由符号法则和导数结合，题目变化为：
解析：本题目在定义域上没有增加难度，但在单调性上增加了难度，
由函数 \(g(x)\) 满足 \(e^x\cdot g'(x)>0\)，则 \(g'(x)>0\)，故函数 \(g(x)\) 在 \(R\) 上单调递增，
故有 \(2x-1>x-2\)，解得 \(x>-1\)，故所求解集为 \((-1,+\infty)\).
在上述基础上，增加函数的单调性的给出难度，利用求导法则，题目变化为：
解析： \(g'(x)=e^x[f'(x)+f(x)]>0\) ，故函数 \(g(x)\) 在 \(R\) 上单调递增，
故有 \(2x-1>x-2\)，解得 \(x>-1\)，故所求解集为 \((-1,+\infty)\).
在上述基础上，增加函数的给出难度，利用主动构造函数的思维和求导法则结合，题目变化为：
解析： \(g'(x)=e^x[f'(x)+f(x)]>0\) ，故函数 \(g(x)\) 在 \(R\) 上单调递增，
而所求 \(e^{2x-1}\)\(\cdot\)\(f(2x-1)\)\(-\)\(e^{x-2}\cdot f(x-2)\)\(>0\) 即 \(g(2x-1)>g(x-2)\) ，
故有 \(2x-1>x-2\)，解得 \(x>-1\)，故所求解集为 \((-1,+\infty)\).
在上述基础上，增加代求结论不等式的相关变形，题目变化为：
到此，我们用加法将题目的难度一步一步增加到了源题的难度，在此过程中，我们也能理解每一个条件的作用，也自然能回答上述存在的问题。
关联问题
尽管我们学生不能想这么多的难度层次，但在此过程中，我们至少应该意识到主动总结函数的各种性质的给出方式，体会其综合应用的过程。
1、函数的单调性给出方式；
