2021届宝鸡质检[3]文数参考答案

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参考答案

典例解析

【2021届宝鸡市质检3文第12题】 切比雪夫在用直线逼近曲线的研究中定义偏差 \(E:\) 对任意的 \(x\)\(\in\)\([m,\)$ n]$， 函数 \(y=|f(x)-(ax+b)|\) 的最大值为 \(E\)， 即 \(E=\max\limits_{m\leqslant x\leqslant n}|f(x)-(ax+b)|\) . 把使 \(E\) 取得最小值时的直线 \(y=ax+b\) 叫切比雪夫直线， 已知 \(f(x)=x^{2}\)， \(x\in[-1,2]\)，有同学估算出了切比雪夫直线中 \(x\) 的系数 \(a=1\)，在这个前提下，\(b\) 的值为 【\(\quad\)】

$A.\cfrac{1}{4}$ $B.1$ $C.\cfrac{7}{8}$ $D.\cfrac{11}{8}$

解析：由题可知，切比雪夫直线为 \(y=x+b\)，系数 \(b\) 待定，曲线为 \(f(x)=x^2\)， \(x\in [-1,2]\)

令 \(g(x)=|x^2-x-b|\)，则有

则 \(E=\max\limits_{-1\leqslant x\leqslant 2}|x^2-x-b|=\max\limits_{-1\leqslant x\leqslant 2}|(x-\cfrac{1}{2})^2-b-\cfrac{1}{4}|=h(x)\)，

由于函数的最大值可能在左右端点处取到，此时 \(E=h(x)=g(-1)=2-b\)，也可能在对称轴处取到，此时 \(E=h(x)=g(\cfrac{1}{2})=b+\cfrac{1}{4}\)，

其中由 \(2-b=b+\cfrac{1}{4}\)，可以求得 两个最值相等的临界值为 \(b=\cfrac{7}{8}\)，

故 \(E=h(x)=\left\{\begin{array}{l}2-b，&b\leqslant\cfrac{7}{8}\\b+\cfrac{1}{4}，&b>\cfrac{7}{8}\end{array}\right.\)

接下来求解函数 \(h(x)\) 的最小值点，由分段函数可得，

在 \(b\leqslant \cfrac{7}{8}\) 时，\(h(x)_{min}=\cfrac{9}{8}\)，当 \(b>\cfrac{7}{8}\) 时，\(h(x)_{min}=\cfrac{9}{8}\)，

故函数 \(h(x)\) 的最小值点为 \(b=\cfrac{7}{8}\)，故 \(b=\cfrac{7}{8}\)，故选 \(C\) .

【2021届宝鸡市质检3文第17题】已知函数 \(f(x)=2\cos^{2}x-2\sqrt{3}\sin x\cos x-1\)，

(1). 求函数 \(f(x)\) 的最小正周期；

(2). 在 \(\Delta ABC\) 中，内角 \(B\) 满足 \(f(B)=-2\)， 且 \(BC=4\), \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=8\)， 求 \(\Delta ABC\) 的周长.

解析：当求得 \(b^2+c^2=32\)以后，找不到另外一个独立的方程，此时应该这样想，需要用余弦定理或正弦定理得到关于 \(b\) 和 \(c\)的一个方程。

比如用余弦定理， \(b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot\cos B\)，

【2021届宝鸡市质检3文第21题】 已知函数 \(f(x)=2 \ln x-x^{2}+1\).

(1)求函数 \(f(x)\) 的最大值;

解析： \(f'(x)=\cfrac{2}{x}-2x=\cfrac{2(1-x^{2})}{x}(x>0)\)，

当 \(x \in(0,1)\) 时， \(f'(x)>0\)， 函数 \(f(x)\) 在此区间上是增加的；

当 \(x \in(1,+\infty)\) 时， \(f'(x)<0\)， 函数 \(f(x)\) 在此区间上是减少的，

所以，当 \(x=1\) 时，函数 \(f(x)\) 取得唯一极大值 \(f(1)=0\),

所以函数 \(f(x)\) 的最大值为 \(0\).

(2)证明 \(: 3+\cfrac{5}{2^{2}}+\cfrac{7}{3^{2}}+\cdots+\cfrac{2 n+1}{n^{2}}>2\ln(n+1)(n \in N^{*})\).

【证法1】: 由(1)可知，当 \(x>1\) 时， \(f(x)<0\)， 即 \(2 \ln x<x^{2}-1\)，

令 \(x=\cfrac{n+1}{n}(n\in N^{*})\)， 则 \(2\ln\cfrac{n+1}{n}<(\cfrac{n+1}{n})^{2}-1=\cfrac{2n+1}{n^{2}}\)

即 \(\cfrac{2n+1}{n^{2}}>2\ln\cfrac{n+1}{n}\)，

所以 \(3+\cfrac{5}{2^{2}}+\cfrac{7}{3^{2}}+\cdots+\cfrac{2n+1}{n^{2}}>2(\ln\cfrac{2}{1}+\ln\cfrac{3}{2}+\cdots+\ln\cfrac{n+1}{n})\)，

\(=2[(\ln 2-\ln 1)+(\ln 3-\ln 2)+\cdots+(\ln (n+1)-\ln n)]=2\ln(n+1)(n\in N^{*})\)

故 \(3+\cfrac{5}{2^{2}}+\cfrac{7}{3^{2}}+\cdots+\cfrac{2n+1}{n^{2}}>2\ln(n+1)\) \((n\in N^{*})\)， 证毕.

【证法2】：由常用的不等关系 \(e^x>x+1\) (\(x>0\)) 开始证明，

令\(g(x)=e^x-x-1\)，则 \(g'(x)=e^x-1\)，由于 \(x>0\) ，则 \(g'(x)>0\)，

故函数 \(g(x)\) 在区间 \((0,+\infty)\) 上单调递增，故 \(g(x)>g(0)\)，即 \(e^x>x+1\)，

令 \(x=\cfrac{2n+1}{n^2}>0\) ，则 \(e^{\cfrac{2n+1}{n^2}}>\cfrac{2n+1}{n^2}+1=\cfrac{(n+1)^2}{n^2}\)，

两边取自然对数得到，\(\cfrac{2n+1}{n^2}>ln\cfrac{(n+1)^2}{n^2}=2\ln(n+1)-2\ln n\)

给 \(n\)分别赋值\(n=1\)，\(2\)，\(3\)，\(\cdots\)，\(n\)，得到

\[\cfrac{3}{1^2}>2\ln2-2\ln1, \]

\[\cfrac{5}{2^2}>2\ln3-2\ln2, \]

\[\cfrac{7}{3^2}>2\ln4-2\ln3, \]

\[\cdots,\cdots,\cdots, \]

\[\cfrac{2n+1}{n^2}>2\ln(n+1)-2\ln n, \]

以上 \(n\) 个式子累加，得到

\(3+\cfrac{5}{2^{2}}+\cfrac{7}{3^{2}}+\cdots+\cfrac{2n+1}{n^{2}}>2\ln(n+1)\) \((n\in N^{*})\).

【证法3】：理科学生还可以利用数学归纳法证明；