三角函数单调性的应用

前言

切实掌握模板函数 \(f(x)=\sin x\)，\(g(x)=\cos x\)，\(h(x)=\tan x\) 的单调区间的求解和相应的结论，有助于我们的解题。

常用结论

若 \(\cos A=\sin B\) ，且\(A\)、\(B\)为锐角， 故\(A+B=\cfrac{\pi}{2}\)，

法1：如图所示，角\(A\)、\(B\)关于直线\(x=\cfrac{\pi}{4}\)对称，

故 \(A+B=\cfrac{\pi}{2}\)，

法2：由于 \(\cos A=\sin B\) ，且\(A\)、\(B\)为锐角，

则有 \(\cos A=\cos(\cfrac{\pi}{2}-B)\) ，且 \(A\)，\(\cfrac{\pi}{2}-B\in (0,\cfrac{\pi}{2})\)

且由于函数 \(y=\cos x\)在区间 $ (0,\cfrac{\pi}{2})$上单调，

故 \(A=\cfrac{\pi}{2}-B\) ，即 \(A+B=\cfrac{\pi}{2}\).

若\(\cos A=\sin B\)诱导公式:\(\sin(\cfrac{\pi}{2}+\theta)\)\(=\)\(\cos\theta\)\(\quad\)，\(A\) 为锐角， \(B\) 为钝角， 故\(B=A+\cfrac{\pi}{2}\)，

法1：如图所示，角\(A\)、\(B\)相差\(\cfrac{\pi}{2}\)，

故 \(B=A+\cfrac{\pi}{2}\) .

法2：由于 \(\cos A=\sin B\) ，\(A\) 为锐角， \(B\) 为钝角，

则 \(\cos A=\sin(\cfrac{\pi}{2}+A)=\sin B\)，且 \(B\)，\(\cfrac{\pi}{2}+A\in (\cfrac{\pi}{2},\pi)\)

又由于 函数 \(y=\sin x\)在区间 $ (\cfrac{\pi}{2}，\pi)$上单调，

故 \(B=A+\cfrac{\pi}{2}\) .

典例剖析

【2021届高三文科小题满分练】 设 \(\alpha\in(0, \cfrac{\pi}{2})\)， \(\beta\in(0, \cfrac{\pi}{2})\)， 且 \(\cos\beta=\tan\alpha(1+\sin\beta)\)， 则【\(\quad\)】

$A. \alpha-\beta=\cfrac{\pi}{4}$ $B. \alpha+\beta=\cfrac{\pi}{2}$ $C. 2\alpha-\beta=\cfrac{\pi}{2}$ $D. 2\alpha+\beta=\cfrac{\pi}{2}$

解析： 由题设，切化弦得， \(\cos\alpha\cos\beta=\sin\alpha(1+\sin\beta)\)，

所以，\(\cos(\alpha+\beta)=\sin\alpha=\cos(\cfrac{\pi}{2}-\alpha)\)，

由于 \(\alpha\)， \(\beta\in (0, \cfrac{\pi}{2})\)，

所以 \(0<\alpha+\beta<\pi\)， \(0<\cfrac{\pi}{2}-\alpha<\cfrac{\pi}{2}\)，

由于函数 \(y=\cos x\) 在区间 \([0,\pi]\) 上单调[递减]，

所以 \(\alpha+\beta=\cfrac{\pi}{2}-\alpha\)， 则 \(2\alpha+\beta=\cfrac{\pi}{2}\). 故选 \(D\).

【2020 \(\cdot\) 湖南衡阳八中月考】 已知角 \(\alpha\in(\pi, \cfrac{3\pi}{2})\)， \(\beta\in(0,\cfrac{\pi}{2})\)， 且满足 \(\tan\alpha\cos\beta=1+\sin\beta\)，则 \(\beta\) 等于【 \(\quad\)】

$A.2\alpha-\cfrac{\pi}{2}$ $B.\cfrac{5\pi}{2}-2\alpha$ $C.2\alpha-\cfrac{5\pi}{2}$ $D.2\alpha-\cfrac{3\pi}{2}$

解析： 由已知得 \(\cfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\cfrac{1+\sin\beta}{\cos\beta}\)，

所以 \(\sin\alpha\cos\beta=\cos\alpha(1+\sin\beta)\)，

即 \(\sin(\alpha-\beta)=\cos\alpha\)， 由诱导公式得 \(\sin(\alpha-\beta)=\sin(\cfrac{\pi}{2}-\alpha)\)，

因为 \(\alpha\in(\pi, \cfrac{3\pi}{2})\)， \(\beta\in(0, \cfrac{\pi}{2})\)，

所以 \(\alpha-\beta\in(\cfrac{\pi}{2}, \cfrac{3\pi}{2})\)， \(\cfrac{\pi}{2}-\alpha\in(-\pi,-\cfrac{\pi}{2})\)，

由诱导公式可得 \(\sin(\alpha-\beta)=\sin[2\pi+(\cfrac{\pi}{2}-\alpha)]\)，

此时，\(2\pi+(\cfrac{\pi}{2}-\alpha)\in (\pi,\cfrac{3\pi}{2})\)，\(\alpha-\beta\in(\cfrac{\pi}{2}, \cfrac{3\pi}{2})\)，

而函数\(y=\sin x\) 在区间 \((\cfrac{\pi}{2}, \cfrac{3\pi}{2})\)是单调的，

所以 \(\alpha-\beta=2\pi+(\cfrac{\pi}{2}-\alpha)\)， 即 \(\beta=2\alpha-\cfrac{5\pi}{2}\)，故选 \(C\).

【2021届高三文数三轮模拟考】已知 \(\alpha\)，\(\beta\)，\(\gamma\in (0,\cfrac{\pi}{2})\)，\(\sin\alpha\)\(+\)\(\sin\gamma\)\(=\)\(\sin\beta\)， \(\cos\beta\)\(+\)\(\cos\gamma\)\(=\)\(\cos\alpha\)，则 【\(\quad\)】

$A.\cos(\beta-\alpha)=\cfrac{1}{2}$ $B.\cos(\beta-\alpha)=-\cfrac{1}{2}$ $C.\beta-\alpha=\cfrac{2\pi}{3}$ $D.\beta-\alpha=-\cfrac{\pi}{3}$

解析： 由题可知， \(\sin\gamma\)\(=\)\(\sin\beta\)\(-\)\(\sin\alpha\)， \(\cos\gamma\)\(=\)\(\cos\alpha\)\(-\)\(\cos\beta\)，

两式平方再相加，得到，\((\sin\beta-\sin\alpha)^2+(\cos\alpha-\cos\beta)^2=1\)，

化简得到，\(-2\cos(\beta-\alpha)=-1\)，即 \(\cos(\beta-\alpha)=\cfrac{1}{2}\)，

故选项 \(A\) 正确，选项 \(B\) 错误，

又由于 \(\sin\gamma\)\(=\)\(\sin\beta\)-\(\sin\alpha>0\)，故得到 \(\sin\beta\)>\(\sin\alpha\)，又由于

\(\alpha\)，\(\beta\in (0,\cfrac{\pi}{2})\)，故 \(\beta>\alpha\)，故 \(\beta-\alpha=\cfrac{\pi}{3}\)，则 选项 \(C\) 错误，选项 \(D\) 错误，

综上所述，选 \(A\).