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三角形的某角取到最大值 | 题型

💎更新于 2024-07-09 19:39 | 发布于 2021-04-14 15:19
约 5267 字 | 阅读估时 18 分钟

公式定理💯随心记

复数的乘法:设 z1=a+biz2=c+dia,b,c,dR,则 z1z2=(acbd)+(ad+bc)i;


前言

当三角函数题目中有关键词 “三角形某角取到最大值 [可引申为或求最小值] 时”,这类题目常要用到这个角的某种三角函数 [或正弦、或余弦、或正切] 的单调性,至于到底要用到哪一种,取决于题目的给定条件和变形方向,同时此类题目也常会用到均值不等式求题目中的最值.

线线角或线面角或面面角取到最大或者最小值,都可以依托上述的思路来转化;

另外,请注意参阅和总结关于分式的常用变形

典例剖析

【2019 届宝鸡市高三理科数学质检 Ⅱ 第 16 题】已知三角形的内角 ABC 所对的对边分别是 abc ,若 a=2b2c2=6 ,则角 A 取得最大值时,三角形 ABC 的面积为_________。

分析:由 cosA=b2+c2a22bc=b2+c222bc

=b2+c2b2c232bc=b2+2c23bc223

cosA 的最小值为 223 ,当且仅当 b=2cb2c2=6

b=23c=6 时取到等号;此时 A 取到最大值,sinA=13

SABC=12bcsinA=12×23×6×13=2

反思:①常数代换,由 2=63=b2c23,之所以做常数代换,是为了整理后便于使用均值不等式求 cosA 的最值。

【2020 安徽名校联盟联考】在 ABC 中,角 ABC 所对的边分别为 abc, 若 bc=1b+2ccosA=0, 则当角 B 取得最大值时, ABC 的周长为【

A.2+3 B.2+2 C.3 D.3+2

解析: 由题意可得, sinB+2sinCcosA=0

sin(A+C)+2sinCcosA=0

sinAcosC=3sinCcosA, 即 tanA=3tanC

cosA=b2c<0,所以角 A 为钝角,于是 tanC>0

从而 tanB=tan(A+C)=tanA+tanC1tanAtanC

=2tanC1+3tan2C

=21tanC+3tanC,

由基本不等式, 得 1tanC+3tanC21tanC×3tanC=23

当且仅当 tanC=33 时, 等号成立,

tanB223=33,由于 y=tanx(0,π2) 上单调递增,

故此时角 B 取得最大值, 且 tanB=tanC=33tanA=3

b=cA=120, 又 bc=1

所以 b=c=1a=3, 故 ABC 的周长为 2+3.

ΔABC 中,角 ABC 的对边分别为 abc,若 b=1a=2c,则当 C 取最大值时,ΔABC 的面积为【】

A33 B36 C233 D3

分析:当 C 取到最大值时, cosC 取得最小值,故先研究 cosC

cosC=a2+b2c22ab=3c2+14c

=14(3c+1c)1423=32

当且仅当 3c=1c,即 c=33 时取得等号;

且此时 sinC=12,故当 C 取到最大值时,

SΔABC=12absinC

=122c112=36

故选 B

【2021 届高三文科小题满分练】 已知 ABC 的内角 ABC 的对边分别为 abc, 若 2csinC=(a+b)(sinBsinA), 则当角 C 取得最大值时, B 等于【

A.π3 B.π6 C.π2 D.2π3

解析: 由 正弦定理角化边,得 2c2=(a+b)(ba)

b2a2=2c2,即 c2=b2a22

则由余弦定理得,

cosC=a2+b2c22ab=3a2+b24ab23a2b24ab=32

当且仅当 b=3a 时等号成立,则易知角 C 的最大值为 π6.

b=3a 时, 3a2a2=2c2, 则 a=c

所以 A=C=π6B=ππ6π6=2π3, 故选 D.

【2024 高一训练题目】如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,点 F 是线段 BC1 上的动点,则直线 A1F 与平面 BDC1 所成的最大角的余弦值为___________.

解:如图所示,利用正方体中储备的知识 [1] 很容易想到,连接 A1C,则可知体对角线 A1C 平面 BC1D,令垂足为点 O,连接 OF ,则直线 A1F 与平面 BDC1 所成的角为 A1FO,为了求 A1FO 的最大值,可以考虑两个角度:其一,从形上思考,在等边 DC1B 中,当动点 F 靠近点 B 或点 C1A1FO 越来越小 (可以借助极端的情形思考,让线段 BC1 非常长,则角的顶点就近乎在无限远处,其大小就接近 0 了),那么在线段的中点位置时 [其实是 OFBC1 时,为什么这样可以从思路二中得到解答和印证],A1FO 达到最大,为便于计算,令 AB=1,则 A1C=3A1O=23A1C=233BD=2,则 BF=22DF=62,则 OF=13DF=66,又由 RtA1B1F 可得 A1F=62,故 cosA1FO=OFA1F=13

其二,从数上思考,由上述可知所求的线面角为 A1FO,在 RtA1FO 中,由于 A1O 的长度为定值,故可设 A1O=aOF=x,则 A1F=x2+a2,这样 cosA1FO=OFA1F=xx2+a2=x2x2+a2=x2+a2a2x2+a2=1a2x2+a2.

由于 a 为常数,故当 x>0 时,xx2x2+a2a2x2+a2a2x2+a21a2x2+a21a2x2+a2,故当 xcosA1FO,又由于 y=cosx[0,π2] 上的减函数,故如果要 A1FO 最大,则需要 cosA1FO 最小,即需要 x 最小,这样就需要 OF 最小,而直线外一点和直线上的动点之间的点点距中只有垂线段最短,故需要 OFBC1, 依托思路一求得 A1O=233OF=66,代入求得 cosA1FO=OFA1F=13


  1. 比如,积累正方体中体对角线 A1C 平面 BC1D,且知道 A1O=23A1C,等等,数学学习中的好多东西是需要积累的; ↩︎

作者:陕西凤翔,微信:wh1979448597,邮箱:wanghai0666@126.com,敬请雅正,欢迎联系。
情怀:一直设想如何利用自己浅陋的教学感悟和粗鄙的电脑知识,将数学学习的手段和要素都整合到云端。

出处:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/14658077.html

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题记:用数学的眼光观察世界,用数学的思维分析世界,用数学的语言表达世界!
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