三角形的某角取到最大值 | 题型
💎更新于 2024-07-09 19:39 | 发布于 2021-04-14 15:19
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前言
当三角函数题目中有关键词 “三角形某角取到最大值 [可引申为或求最小值] 时”,这类题目常要用到这个角的某种三角函数 [或正弦、或余弦、或正切] 的单调性,至于到底要用到哪一种,取决于题目的给定条件和变形方向,同时此类题目也常会用到均值不等式求题目中的最值.
线线角或线面角或面面角取到最大或者最小值,都可以依托上述的思路来转化;
另外,请注意参阅和总结关于分式的常用变形;
典例剖析
分析:由 cosA=b2+c2−a22bc=b2+c2−22bc
=b2+c2−b2−c232bc=b2+2c23bc⩾2√23,
即 cosA 的最小值为 2√23 ,当且仅当 b=√2c 且 b2−c2=6 ,
即 b=2√3 , c=√6 时取到等号;此时 A 取到最大值,sinA=13,
故 S△ABC=12bcsinA=12×2√3×√6×13=√2。
反思:①常数代换,由 2=63=b2−c23,之所以做常数代换,是为了整理后便于使用均值不等式求 cosA 的最值。
解析: 由题意可得, sinB+2sinCcosA=0,
即 sin(A+C)+2sinCcosA=0,
得 sinAcosC=−3sinCcosA, 即 tanA=−3tanC,
又 cosA=−b2c<0,所以角 A 为钝角,于是 tanC>0,
从而 tanB=−tan(A+C)=−tanA+tanC1−tanAtanC
=2tanC1+3tan2C
=21tanC+3tanC,
由基本不等式, 得 1tanC+3tanC⩾2√1tanC×3tanC=2√3,
当且仅当 tanC=√33 时, 等号成立,
即 tanB⩽22√3=√33,由于 y=tanx 在 (0,π2) 上单调递增,
故此时角 B 取得最大值, 且 tanB=tanC=√33, tanA=−√3,
即 b=c, A=120∘, 又 bc=1,
所以 b=c=1, a=√3, 故 △ABC 的周长为 2+√3.
分析:当 C 取到最大值时, cosC 取得最小值,故先研究 cosC ,
cosC=a2+b2−c22ab=3c2+14c
=14(3c+1c)≥14⋅2√3=√32,
当且仅当 3c=1c,即 c=√33 时取得等号;
且此时 sinC=12,故当 C 取到最大值时,
SΔABC=12absinC
=12⋅2c⋅1⋅12=√36,
故选 B。
解析: 由 正弦定理角化边,得 2c2=(a+b)(b−a),
即 b2−a2=2c2,即 c2=b2−a22,
则由余弦定理得,
当且仅当 b=√3a 时等号成立,则易知角 C 的最大值为 π6.
当 b=√3a 时, 3a2−a2=2c2, 则 a=c,
所以 A=C=π6, B=π−π6−π6=2π3, 故选 D.
解:如图所示,利用正方体中储备的知识 [1] 很容易想到,连接 A1C,则可知体对角线 A1C⊥ 平面 BC1D,令垂足为点 O,连接 OF ,则直线 A1F 与平面 BDC1 所成的角为 ∠A1FO,为了求 ∠A1FO 的最大值,可以考虑两个角度:其一,从形上思考,在等边 △DC1B 中,当动点 F 靠近点 B 或点 C1 时 ∠A1FO 越来越小 (可以借助极端的情形思考,让线段 BC1 非常长,则角的顶点就近乎在无限远处,其大小就接近 0 了),那么在线段的中点位置时 [其实是 OF⊥BC1 时,为什么这样可以从思路二中得到解答和印证],∠A1FO 达到最大,为便于计算,令 AB=1,则 A1C=√3,A1O=23A1C=2√33,BD=√2,则 BF=22,DF=62,则 OF=13DF=√66,又由 Rt△A1B1F 可得 A1F=√62,故 cos∠A1FO=OFA1F=13;
其二,从数上思考,由上述可知所求的线面角为 ∠A1FO,在 Rt△A1FO 中,由于 A1O 的长度为定值,故可设 A1O=a,OF=x,则 A1F=√x2+a2,这样 cos∠A1FO=OFA1F=x√x2+a2=√x2x2+a2=√x2+a2−a2x2+a2=√1−a2x2+a2.
由于 a 为常数,故当 x>0 时,x↗,x2↗,x2+a2↗,a2x2+a2↘,−a2x2+a2↗,1−a2x2+a2↗,√1−a2x2+a2↗,故当 x↗,cos∠A1FO↗,又由于 y=cosx 为 [0,π2] 上的减函数,故如果要 ∠A1FO 最大,则需要 cos∠A1FO 最小,即需要 x 最小,这样就需要 OF 最小,而直线外一点和直线上的动点之间的点点距中只有垂线段最短,故需要 OF⊥BC1, 依托思路一求得 A1O=2√33,OF=√66,代入求得 cos∠A1FO=OFA1F=13;
比如,积累正方体中体对角线 A1C⊥ 平面 BC1D,且知道 A1O=23A1C,等等,数学学习中的好多东西是需要积累的; ↩︎
作者:陕西凤翔,微信:wh1979448597,邮箱:wanghai0666@126.com,敬请雅正,欢迎联系。
情怀:一直设想如何利用自己浅陋的教学感悟和粗鄙的电脑知识,将数学学习的手段和要素都整合到云端。
出处:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/14658077.html
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