求曲线的对称方程

前言

利用对称性求解曲线的对称方程或函数的对称函数，采用的都是相关点法。

典例剖析

【北师大选修教材4-4 \(P_{_{19}}\) \(A\)组第 \(10\) 题】求与曲线 \(\rho\cos\theta+1=0\) 关于直线 \(\theta=\cfrac{\pi}{4}\)对称的曲线的极坐标方程。

法1： 转化为在直角坐标系中思考求解，

\(\rho\cos\theta+1=0\) 的直角坐标方程为： \(x+1=0\)，

直线 \(\theta=\cfrac{\pi}{4}\) 的直角坐标方程为： \(y=x\)，

故所求的对称曲线为 \(y+1=0\)，即所求的极坐标方程为 \(\rho\sin\theta+1=0\) .

方法延申：求直线 \(x+3y-1=0\) 关于 \(y=x\) 对称的直线的方程。

分析：由于关于\(y=x\) 对称，故将 \(y\Rightarrow x\)， \(x\Rightarrow y\)，得到 \(y+3x-1=0\).

法2：在极坐标系下，利用相关点法直接思考求解；

如图所示，在曲线 \(\rho\cos\theta+1=0\) 上任取一点\(P(\rho_1,\theta_1)\)，其关于直线 \(\theta=\cfrac{\pi}{4}\) 的对称点 \(P'(\rho,\theta)\)，

则由图可知，\(\left\{\begin{array}{l}\rho=\rho_1\\ \theta=\cfrac{\pi}{2}-\theta_1 \end{array}\right.,\) 即 \(\left\{\begin{array}{l}\rho_1=\rho\\ \theta_1=\cfrac{\pi}{2}-\theta \end{array}\right.,\)

由于\(P(\rho_1,\theta_1)\)满足方程 \(\rho\cos\theta+1=0\) ，故代入得到 \(\rho\cos(\cfrac{\pi}{2}-\theta)+1=0\)

即 \(\rho\sin\theta+1=0\) 为所求曲线的极坐标方程.

解后反思：对于法2而言，更一般化的曲线的对称曲线，也可以采用此法求解；

【原题目改编】已知函数 \(f(x)=2\sin\left(2x-\cfrac{\pi}{6}\right)+1\)，将函数 \(f(x)\) 的图象向左平移 \(\cfrac{\pi}{3}\) 个单位长度， 再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的 \(2\) 倍(纵坐标不变)得到函数 \(g(x)\) 的图象， 若曲线 \(y=h(x)\) 与 \(y=g(x)\) 的图象关于直线 \(x=\cfrac{\pi}{4}\) 对称， 求函数 \(h(x)\) 在 \(\left(-\cfrac{\pi}{6}, \cfrac{2\pi}{3}\right)\) 上的值域。

解析：将函数 \(f(x)\) 的图象向左平移 \(\cfrac{\pi}{3}\) 个单位长度，

可得 \(y=2\sin\left[2\left(x+\cfrac{\pi}{3}\right)-\cfrac{\pi}{6}\right]+1=2\cos2x+1\) 的图象，

再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的 \(2\) 位(纵坐标不变)， 得到函数 \(g(x)=2\cos x+1\) 的图象，

又曲线 \(y=h(x)\) 与 \(y=g(x)\) 的图象关于直线 \(x=\cfrac{\pi}{4}\) 对称设函数\(h(x)\)上的任意一点坐标为\(P\)\((x\)\(,\)\(y)\)，则点\(P\)关于直线\(x\)\(=\)\(\cfrac{\pi}{4}\)的对称点坐标为\(P'\)\((\)\(\cfrac{\pi}{2}\)\(-\)\(x\)\(，\)\(y)\)，故将点\(P'\)代入函数\(y=g(x)\)的解析式，整理即得到函数\(h(x)\)的解析式；此方法是相关点法；，

所以，\(h(x)=g\left(\cfrac{\pi}{2}-x\right)=2\cos\left(\cfrac{\pi}{2}-x\right)+1=2\sin x+1\)

由于 \(x \in\left(-\cfrac{\pi}{6}, \cfrac{2\pi}{3}\right)\)，所以， \(\sin x\in\left(-\cfrac{1}{2}, 1\right]\)， 则\(2\sin x+1\in(0,3]\)

故函数 \(h(x)\) 在 \(\left(-\cfrac{\pi}{6}, \cfrac{2 \pi}{3}\right)\) 上的值域为 \((0,3]\).

【2018年全国卷Ⅲ卷文科数学第7题】下列函数中，其图像与函数\(y=lnx\)的图像关于直线\(x=1\)对称的是【\(\qquad\)】

$A.y=\ln(1-x)$ $B.y=\ln(2-x)$ $C.y=\ln(1+x)$ $D.y=ln(2+x)$

解析1：图像法，先做出函数\(y=\ln x\)关于 \(y\) 轴对称的函数 \(y=\ln(-x)\) 的图像，再将其向右平移两个单位即可，得到\(y=ln[-(x-2)]=ln(2-x)\)，故选 \(B\) .

解析2：待求解的函数图像上任取一点 \(P_0(x_0，y_0)\)，则其关于直线 \(x=1\) 的对称点坐标为 \(P(2-x_0，y_0)\)，则其必然满足 \(y=\ln x\)，得到 \(y_0=ln(2-x_0)\)，即 \(y=ln(2-x)\) ，故选 \(B\)。

解析3：由于点\((1，0)\)在给定函数图像上，也在对称轴上，则其必然也在所求函数图像上，代入验证，故选\(B\)。